《救命啊，这题我看了两个多小时了》 回复

《救命啊，这题我看了两个多小时了》          https://tieba.baidu.com/p/8438659361          

 

 

看了半天，  会做  第 (1) 题，    但  第 (1) 题 楼主 也会做 。   哎呀  。

 

第 (2) 题 看到 楼主 画的 辅助线，   深受启发  。

 

第  (2) 题 和 第 (3) 题 可能 需要 解析几何 计算，   考察  解析几何 计算 的 基本技能 和 熟练程度，   如果 做过 这个 题型，  当然 占便宜   。    有没有 不用 解析几何 或 计算 简单 的 巧解 简便方法，  还没想到  。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第  (2) 题  思路，

 

 

本来  想 要先证明确定  BE  和 CE 的 （长度 的）比例关系，   因为  CE = AD ，  也是 BE 和 AD 的 比例关系  。

 

但 发现 用 纯粹的 解析几何  、坐标系 进行 计算 很麻烦，

 

经过几番思考，    换个思路，   用 边角定理，  

 

已知 三角形 的 两个角，    写出 三条边 的 比例关系，   或，   已知 三角形 的 两条边（长度  / 比例） 和 一个角，  写出 第三条边（长度  / 比例） 以及 第三个角，   称为  三角形边角定理，    简称 边角定理  。

 

边角定理 的 公式  可以 推导 出来，  这里 先略过  。

 

这题 有许多 相似三角形，   相似三角形 的 角 都一样，   用 边角定理，  从 三角形 的 一条边 得到 另一条边，  这个 另一条边 也是 另一个三角形 的 边， 用 边角定理，   从 这条边 得到  另一个三角形 的 另一条边，   ……   就这样  递推下去，   可以得到 GF 、CF  ？

 

后来 又 发现 即使用了 边角定理，  似乎 在 求  GF 长度时，  仍然要用 解析几何，  比如  先知道 DE 、GF 的 斜率，  直线方程，  然后 用 直线相交 来 求 DE  、GF 的 交点 G，  用  G 点   、F 点 的 坐标 计算  GF 长度，   CF 的 长度 也是 用  F 点  、C 点 坐标 计算，  然后 比较  GF  、CF  。    这样做 很麻烦，  能不能做出来还不知道，   很容易  就 没有 要做下去  的 信心 和 耐心 了  。

 

在以上之前，   以 E 为 原点，  F 点 坐标 可以 通过 D 点 坐标旋转 得到，  又或是用  DE 长度 乘以  sin ∠ AEB , cos ∠ AEB 得到，  ∠ AEB 用 和角公式 得到  。   显然，  在此之前，  要先得到 D 点坐标 、DE 长度  。    用 相似三角形 求  求  D 点坐标 、DE 长度 ？   还是 直角坐标系 、直线方程  ？  还是 边角定理  ？   还是 这些方法 的 组合 ？ 

 

又经过 几番思考，  反复 推翻 - 敲定，  得出方案，   所有的 计算 全部 能用 边角定理 完成  。

 

∠  ABC 简称 ∠ A ，    ∠ ACB 简称 ∠ C ，    把  ∠ A  ， ∠ C 当作已知，   根据 边角定理，   已知  ∠ A  ， ∠ C ，  可知  AB / AC，  记为  AB / AC =  k1 ，  则   AB = k1 * AC  。   同理，  可知   BC / AC ，   记为  BC / AC = k2  ，   则  BC = k2 * AC   。

 

因为   Δ ABE 和 Δ ADE  是 相似三角形，    AE / AB = AD / AE 

 

AB * AD = AE ²                  (1) 式

 

(1) 式 是 一个方程   。

 

 

 

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因为  Δ BDE 和 Δ ACE  是 相似三角形，   BD / BE = CE / AC  ，   又 因为  BD = AB - AD ，   又 因为  AD = CE，  所以，   BD = AB - CE ，  又 因为   AB = k1 * AC  ，  所以，   BD =  k1 * AC - CE    。

 

(  k1 * AC - CE  )  /  BE  =   CE  /  AC

 

因为    BE = BC - CE  ，    又 因为  BC = k2 * AC  ，   所以   BE = k2 * AC  -  CE   。

 

(  k1 * AC - CE  )  /  (  k2 * AC  -  CE  )   =   CE  /  AC                            (1) 式

 

(1) 式 中，   CE  是 未知数，  k1,  k2,  AC  是 已知数，    k1,  k2  是    ∠ A  ， ∠ C   组成的 代数式   。

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这里 没有 使用 直线方程  、直线相交  、勾股定理  、两点间距离公式，   实际上，  是  一直在 避免 使用 勾股定理 和 两点间距离公式，   大家想想，   为什么  ？

 

但 求 还是 用到了 勾股定理  。

 

 

反推 和角公式，   和角公式 的 另一种推导方法  。

 

这题 相当于 两三题 角格点 问题  的 组合  。