O的二重积分

高等数学吧《O的二重积分》 https://tieba.baidu.com/p/8406056738 。

图中的橙色线是我画的，橙色线上面那个是 dσ ？ dσ 是 dx dy 的简写吧？

这题可以用常规的二重积分方法来做，先对 dy 积分，再对 dx 积分，或先对 dx 积分，再对 dy 积分，由 D : ( x - 2 ) ² + ( y - 1 ) ² <= 1 可以知道积分的面积区域是个圆。后来看到 14 楼 @wohaoshuaitime 说 “不会用极坐标？” ，对嘛，是可以用极坐标，很妙。

前几天在数学吧看到，好像是说， “用不同的方式积分得到一样的结果，才叫黎曼积分。” ？

嘿，极坐标系积分这招还是从 @别问是劫是缘那里学来的，见《圆面积公式推导》 https://tieba.baidu.com/p/6869353576 2 楼，当然，现在这题要多一点东西。

吃完晚饭，刚又看了一下，高兴太早了，如果是 ʃ ʃ 根号 [ ( x - 2 ) ² + ( y - 1 ) ² ] dσ ，用极坐标系就很简单了，但题目是 ʃ ʃ 根号 ( x ² + y ² ) dσ ，就呵呵了。

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4 楼

既然要硬积，先来点需要的步骤、公式。

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx

设 x = tan α

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx

= ʃ 根号 [ 1 + ( tan α ) ² ] d ( tan α )

= ʃ 1 / cos α d ( tan α )

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = ʃ 1 / cos α d ( tan α ) (1) 式

由 (1) 式有

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = ʃ 1 / cos α d ( tan α )

= ʃ 1 / cos α * 1 / ( cos α ) ² dα

= ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα (2) 式

由 (1) 式又有

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = ʃ 1 / cos α d ( tan α )

= 1 / cos α * tan α - ʃ tan α d ( 1 / cos α )

= tan α / cos α - ʃ tan α * sin α / ( cos α ) ² dα

= tan α / cos α - ʃ ( sin α ) ² / ( cos α ) ³ dα

= tan α / cos α - ʃ [ 1 - ( cos α ) ² ] / ( cos α ) ³ dα

= tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα + ʃ 1 / cos α dα

= tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα + ʃ 1 / cos α d ( sin α ) / cos α

= tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα + ʃ 1 / ( cos α ) ² d ( sin α )

= tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα + ʃ 1 / [ 1 - ( sin α ) ² ] d ( sin α )

= tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα - ʃ 1 / [ ( sin α ) ² - 1 ] d ( sin α )

= tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα - 1/2 ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1 ) |

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = tan α / cos α - ʃ 1 / ( cos α ) ³ dα - 1/2 ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1 ) | (3) 式

把 (2) 式代入 (3) 式

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = tan α / cos α - ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx - 1/2 ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1 ) |

2 ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = tan α / cos α - 1/2 ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1 ) |

ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx = 1/2 tan α / cos α - 1/4 ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1 ) | (4) 式

(4) 式就是 ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx 的积分结果，这个结果对不对？本来可以求导验算，但实在太麻烦了，你们帮我检查一下吧。

把 α = arc tan x 代入 (4) 式，积分结果还是一个 x 的代数式。

有了 ʃ 根号 ( 1 + x ² ) dx 的公式，就可以做 1 楼题目二重积分的第一重积分了，然后，接着积吧。

要是我也带学生就好了，我可以指导小朋友们做，求导验算也好，第一重积分，第二重积分也好，我看看结果。不过，你会说，为什么不是人工智能呢？或者，数学软件？

如果是 D : x ² + y ² <= 1 ，求 ʃ ʃ 根号 ( x ² + y ² ) dσ ，就可以用极坐标系了。

ʃ ʃ 根号 ( x ² + y ² ) dσ 写成极坐标系，就是 ʃ ʃ r dσ 。

ʃ ʃ r dσ

= ʃ ʃ r * r dθ dr

= ʃ ʃ r ² dθ dr

对吗？

r dθ dr 是极坐标系的面积微元， dx dy 是直角坐标系的面积微元，在微观上， r dθ dr 和 dx dy 并不相等，但在宏观上，以 r dθ dr 为面积微元进行二重积分，和以 dx dy 为面积微元进行二重积分，得出的积分结果一样，这很神奇，很有趣，很好玩，严格的说，这需要 r dθ dr - dx dy 是 r dθ dr 的高阶无穷小，也是 dx dy 的高阶无穷小，就好像当 x -> 0 时， sin x 和 x 是等价无穷小，但 sin x - x 是 sin x 的高阶无穷小，也是 x 的高阶无穷小。

但实际上，因为 r 的存在， r dθ dr - dx dy 并不能总是 r dθ dr 和 dx dy 的高阶无穷小，只能说对于一个特定的 r， r dθ dr - dx dy 可以是 r dθ dr 和 dx dy 的高阶无穷小。这似乎对极坐标系和直角坐标系的积分结果一样这个结论造成了困扰，也许因此而这个结论不成立？这让人大吃一惊，我们不知道（正方反方）那一方才是对的，但即便如此，我们似乎仍然愿意相信 “极坐标系和直角坐标系的积分结果一样”，直观上想象也是如此，但更重要的是，我似乎能在数学上证明它，但严格的、细致的、全面的证明我还要再想一想。

技术上，极坐标系的积分仍然是直角坐标系的函数的积分。由此，可以推导出极坐标系积分的合理性。由此又延伸到微分方程、偏微分方程。

从这里，可以引出一个话题，深究一些东西，比如积分的基本模型为什么是由一个一个的小矩形组成，而不是小三角形，小梯形 …… ？

直角坐标系的面积微元 dx dy 由 dx 、dy 两个微分组成，极坐标系的面积微元除了 dθ 、dr 两个微分，还多了一个变量 r （有时候是常量），这是为什么？这意味着什么？这里面有什么？总觉得这里面有东西，这个问题不能忽视。

这是不是说明，极坐标系不是 “最基本的” ？不是最基本的形式？不是最基本的坐标系？