伟大的吧u们看看十六题吧

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过几天 发 解题思路，    大家 也可以先说说  。

 

 

 

 

 

 

 

 

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2 x ² + 4 x y + 5 y ² = 1                 (1) 式

 

本来 我 的 解题思路 是  从   (1) 式 解出  y ，   y = f ( x )，  代入  x ² + y ² ，  得     x ² + y ²   =   g ( x )   ，    找出  g ( x )  的 最小值  就行  。   昨天 （2023-05-18）  试了一下，  发现不行，  比较繁琐，  要   搞出 x 的 6 次方程来了，    难怪 发到 数学吧 来问，   而且 原帖 回复里 很热闹，   解法 五花八门，   有 什么 椭圆  、短轴  什么的   。     另外 原帖 作者 也 提出了    “三角换元和齐次处理根的分布” ，   这两个 又是 什么 方法  ？    看不懂  。     但 总之，  看起来，  这题 还是 有点 技术含量，  有点门道 的，   要 认真一点 才行  。

 

昨天 一开始想  从   (1) 式 解出  y ，  代入  x ² + y ² ，  得   g ( x )    这个 思路 的 时候，  还把  方程  （ (1) 式  ）  右边 的  1  忘记了，   于是，   无论 以 x 为 未知数，  还是 以  y  为  未知数，   方程 的 判别式  b ² -  4 a c  都 小于 0，   比如 以  y 为 未知数，   b ² -  4 a c    =   16 x ² -  40 x ²  =   -  24 x ²   <  0，  （刚想起来把  x = 0 算上，  b ² -  4 a c  也可以等于 0，  不过不管了），     b ² -  4 a c  <  0，    这又惊到我了，    这就 玄幻了，     这意味着   y 不能 写成  x 的 函数式，   这怎么解 （这题）  ？     我当时想的是  x,  y  在 实数 上 的 函数关系 仍然存在，  但是写不出函数式，   这就 玄幻了   。

 

于是，   就想了 很多东西  ……  想到了  代数基本定理，  高斯  ……  想呀想呀，  遨游太空，   在 太空中，  在 教室里，  见到了  高斯 ……  ？

 

我说 我证明了 代数基本定理，   你们信吗  ？        不过 因为没写下来，  也 忘得差不多了，   都是 在 脑子 里 想的，   本来 就 比较模糊，    时间长了，    一些 关键步骤 还有 一点印象  或  只记得一点 印象  了  。

 

当然，  也 重新 审视了 题目，   最后，  想到 一个 解法，  如下

 

2 x ² + 4 x y + 5 y ² = 1     

x ² + 4 x y + 4 y ²  +  x ² + y ²  =  1

( x + 2 y ) ²  +  x ² + y ²  =   1             (2) 式

 

设   u = x ² + y ²  ，   

y  = 根号  ( u - x ² )                (3) 式

y  =  -  根号  ( u - x ² )            (4) 式

 

(3) 式 是 正根，   (4) 式 是 负根，    两个都要考虑，  但 我们 下面 以 正根 为例  。

 

把   (3) 式 代入  (2) 式，

 

[ x + 2 * 根号  ( u - x ² ) ]  ²  +   u   =    1

x ²  +  4 x 根号  ( u - x ² )   +   4 ( u - x ² )  +  u  =   1

x ²  +  4 x 根号  ( u - x ² )   +   4 u -  4 x ²  +  u  =   1

4 x 根号  ( u - x ² )     =     1 - 5 u + 3 x ²

16  x ²  ( u - x ² )     =     ( 1 - 5 u + 3 x ² ) ²                   (5) 式

 

(5) 式 是  u 的 一元二次方程，   它的项只有  u ²  、u  、x ² u  、x ²  、x ⁴  、常数项，   懒得作具体的演算了，  就把  (5) 式 记为   

 

a u ² + b u + c  =  0             (6) 式

 

u  =   [  - b + 根号  ( b ² - 4 a c )  ]  /  ( 2 a )                    (7) 式

u  =   [  - b - 根号  ( b ² - 4 a c )  ]  /  ( 2 a )                     (8) 式

 

(7) 式   (8) 式  都是   (6) 式  的 根，     以  (7) 式 为例，     求导  （以 x 为 自变量 求导）

 

u ′   =    ……

 

求导数之后，  让  u ′ = 0 ，  来找 u 的 极值点，    这里 实在懒得具体演算了，  我只能告诉你们，   u ′ = 0   这个 方程 可以 化为 一个 只包含 x 的 四次项 x ⁴ ， 二次项 x ² ，  常数项  的  方程，    即  a x ⁴ + b x ² + c = 0    这样的形式，   把  x ² 看作未知数，  就是一个 一元二次方程，   解方程 就可以 找出 u 的 极值点，  找出了 极值点，  就可以分析 极值点 两边 是 单增 或  单减，  就知道 极值点 是 极大值 还是 极小值，  把 所有 的 极值点 放在一起分析，  就知道 其中 的 极小值 是不是 最小值，  如果是，  则 极小值 就是 要求 的 最小值   。   如果 极小值 不是 最小值，    还不好办了  。

 

因为   u = x ² + y ²  ，   u 的 最小值 就是  x ² + y ²  的 最小值   。

 

总的来说，  这个 解法 还是 比较 繁琐 的，   用在 考试上，   做完这题，   一场考试（时间） 也 完了  。