《有人在冒用“超级时空相对论”的题目》回复

《有人在冒用“超级时空相对论”的题目》 https://tieba.baidu.com/p/8401224122

32 楼

回复 18 楼 @joywee2007 ，

设 V 为水容量， v 为水位上升速度，列方程组

dV / dt = k H / V (1) 式

H = H₀ + vt (2) 式

V = π r ² * H (3) 式

把 (3) 式代入 (1) 式

d ( π r ² * H ) / dt = k H / ( π r ² * H )

d ( π r ² * H ) / dt = k / ( π r ² ) (4) 式

把 (2) 式代入 (4) 式

d [ π r ² ( H₀ + vt ) ] / dt = k / ( π r ² ) (5) 式， π, H₀, v, k 为常量， t, r 为变量

(5) 式是一个微分方程，它的解就是题目的解。怎么解这个微分方程？我想了一下，嗯，还是交给楼主刘同学吧。

有空我们来发展一下这种微分方程的解法的新技术。不过如果你们有什么新技术、新发现，也要藏着掖着了，也对，我支持藏着掖着，因为我要去自己发现一遍，你们都说出来，岂不是很无趣？

@黎合胜 @黎耀天 @多项式之父 @渝中寿人

K歌之王: 我刚看出来，这题的微分方程可以从 (1) 式直接巧解，稍后或明天发。一开始的时候也隐约想过这个方向思路。 @joywee2007

34 楼

32 楼的微分方程可以从 (1) 式直接巧解。

dV / dt = k H / V

V dV = k H dt

V dV = k ( H₀ + vt ) dt

ʃ V dV = ʃ k ( H₀ + vt ) dt

1/2 V ² = k H₀ t + 1/2 k v t ² + C

1/2 [ π r ² ( H₀ + vt ) ] ² = k H₀ t + 1/2 k v t ² + C (6) 式， π, H₀, v, k 为常量， t, r 为变量

(6) 式就是微分方程的解，即 t, r 的函数关系。

求 C ， V = π r ² ( H₀ + vt ) ，当 t = 0 时， V = α₀ ，即 π r ² ( H₀ + vt ) = α₀ ，代入 (6) 式

1/2 [ π r ² ( H₀ + vt ) ] ² = k H₀ t + 1/2 k v t ² + C

1/2 α₀ ² = k H₀ * 0 + 1/2 k v * 0 ² + C

C = 1/2 α₀ ²

把 C = 1/2 α₀ ² 代回 (6) 式，

1/2 [ π r ² ( H₀ + vt ) ] ² = k H₀ t + 1/2 k v t ² + 1/2 α₀ ² (7) 式， π, H₀, v, k, α₀ 为常量， t, r 为变量

(7) 式是微分方程的一个特解，也就是题目的解，即 t, r 的函数关系。

37 楼

19 楼 @黎合胜做的答案和我在 34 楼做的答案一样，代入 W = Q0 - Q 就可以得到和我一样的答案。

@joywee2007

32 楼我回复说 “这题的微分方程可以从 (1) 式直接巧解”，也就是 34 楼的解法，想到这个解法，大概也是受到 19 楼 @黎合胜的答案的启发，我瞟过几眼 19 楼和其它楼，后来突然想起来， 19 楼等号右边的积分和我在 32 楼的等号右边积分似乎有相似之处。一开始想这题时，就想过把 V 和 dV 放到一起积分，但当时还想了把 V 和 dV 里的 V 展开为底面积 * 高这些，为什么当时这样想？（实际上现在知道不用），哎？为什么？想不起来了。有点乱，要捋一捋，是因为当时谁知道等号右边的 H，或还有其它什么，这些式子里有没有包含 V 里的一些变量呢？大概是（因为）这样吧？也许还想了别的什么、别的很多？想不起来了，哦，是懒得去想了，都说了有点乱。