救命，我怎么也想不出来

数学吧《救命，我怎么也想不出来》 https://tieba.baidu.com/p/8390493379 。

我没有去看原帖里的回复，想出来了一个答案，过几天发。你们也不要去看原帖里的回复，自己试试。

如果你们实在想知道我的答案，就说一声，我可以提前发，哈哈哈哈。

本文已发到高级民科吧《救命，我怎么也想不出来》 https://tieba.baidu.com/p/8392840491 。

3 楼我和 @黎合胜的对话，

“

LHS讲物理: 回复 K歌之王 :不会。点击链接回到数学吧，总算给了点安慰-钓鱼贴：无解。

K歌之王: 回复 LHS讲物理 :哈？这样啊。不过我真的弄出了一个答案。

LHS讲物理: 回复 K歌之王 :赶紧的，别卖关子

K歌之王: 回复 LHS讲物理 :过两天吧？等下先发个思路。

”

于是，我先发个思路，思路如下，

其实这题主要还是 “凑” 。

我的答案是 f ( x ) = ( x + 1/2 * 根号 10 ) ( x - 1/2 * 根号 10 - 根号 10 ) ^ [ ( x - x ) / ( - 1/2 * 根号 10 ) ] 。

但这个答案不成立，为什么？这里有一个思维陷阱，下面讲述。

先来推导一下 f ( f ( x ) ) 看看，

f ( x ) = ( x + 1/2 * 根号 10 ) ( x - 1/2 * 根号 10 - 根号 10 ) ^ [ ( x - x ) / ( - 1/2 * 根号 10 ) ]

= ( x + 1/2 * 根号 10 ) ( x - 1/2 * 根号 10 - 根号 10 ) ^ [ 0 / ( - 1/2 * 根号 10 ) ]

= ( x + 1/2 * 根号 10 ) ( x - 1/2 * 根号 10 - 根号 10 ) ^ 0

= ( x + 1/2 * 根号 10 ) * 1

= x + 1/2 * 根号 10

f ( f ( x ) )

= ( x + 1/2 * 根号 10 + 1/2 * 根号 10 ) ( x + 1/2 * 根号 10 - 1/2 * 根号 10 - 根号 10 ) ^ [ ( x - ( x + 1/2 * 根号 10 ) ) / ( - 1/2 * 根号 10 ) ] (1) 式

= ( x + 根号 10 ) ( x - 根号 10 ) ^ [ ( x - x - 1/2 * 根号 10 ) / ( - 1/2 * 根号 10 ) ]

= ( x + 根号 10 ) ( x - 根号 10 ) ^ [ ( - 1/2 * 根号 10 ) / ( - 1/2 * 根号 10 ) ]

= ( x + 根号 10 ) ( x - 根号 10 ) ^ 1

= ( x + 根号 10 ) ( x - 根号 10 )

= x ² - 10

开头已经说了，这个答案是不成立的，问题出在哪里？ (1) 式的指数 ( x - ( x + 1/2 * 根号 10 ) ) / ( - 1/2 * 根号 10 ) ，最左边的 x 应该是 x + 1/2 * 根号 10 ，这里却是 x，这里出错了。也就是说，第二次调用 f ( x )，即 f ( f ( x ) ) 的指数上最左边的 x 应该代入（代换为） x + 1/2 * 根号 10 ，但我还是把它想成了 x，这个地方想错了，这是一个思维陷阱，也就是开头说的思维陷阱。

这里的意图是，要通过参数 x 给函数 f ( x ) 传递一个 “信号”，表示 “第几次” 调用 f ( x ) ，但从上面的答案和思维陷阱看到，再经过一些分析，发现，在代数的层面，给函数传递 “信号” 是做不到的。为什么？下面慢慢说。

在计算机程序里，递归普遍存在，是日常操作，可以通过参数和返回值给被调函数、主调函数传递 “当前是第几次调用（调用到第几层）”，也可以轻易的控制程序流程。本题这样的题目，只是二层调用， f ( f ( x ) ) ，就算是 n 层调用 f ( f ( f ( …… f ( x ) ) ) ) ，计算机程序都能轻松的实现题目要求。

插一句，递归，是不是 @黎合胜最爱说的套娃？

你们会说，代数式，函数式没有 if 语句，没有 return 语句（跳转语句），没有赋值语句，没有中间变量 …… 但这些不是主要的，这题最关键的，这里最关键的，是在代数层面，不能查看变量的值。

计算机程序是可以查看变量的值的。

这是最关键的地方。

因为此，在代数层面，给函数传递 “信号” 是做不到的。

上述思路和方法称为 “信号” 方法，除了 “信号” 方法，能不能让函数式自己运算使得调用两次之后自己 “长成” x ² + 10 这个样子？调用两次就是 f ( f ( x ) ) 。

这是必须考虑的一个思路，称为 “自然长成” 方法。

最简单的，把题目 x ² + 10 改成一次式 x + 10，这就简单了，

f ( x ) = x + 5

f ( f ( x ) ) = x + 5 + 5 = x + 10

要实现 f ( f ( x ) ) = x ² + 10 ，可以试试 f ( x ) 时消一次项 x， f ( f ( x ) ) 时消四次项 x ⁴，或 f ( x ) 时消二次项 …… 等等等等，总之看到题目后，我先考虑的就是 “自然长成” 方法，试过若干种方法，发现不行，才转而去想 “信号” 方法。

如果这题有解，把 f ( f ( x ) ) = x ² + 10 变形为 f ( x ) = f-¹ ( x ² + 10 ) ，这是从反函数的角度来看，从反函数的角度来看，这题就很复杂了， f-¹ ( x ) 就很复杂了。

想了很多，没有全部写在这里，因为时间精力有限，写不过来，可以考虑的情况很多，也会引出各种延伸课题，很有意思，大家自己去琢磨联想吧。