做题，求原函数。

高级民科吧 @黎合胜《做题，求原函数。》 https://tieba.baidu.com/p/8339781256 。

明天发解题过程。

本文已发到反相吧《做题，求原函数。》 https://tieba.baidu.com/p/8341549012 。

dy / dx = ( x ² + y ² ) / ( x y )

x y dy = ( x ² + y ² ) dx

x y y ′ dx = x ² dx + y ² dx

x * 1/2 * ( y ² ) ′ dx = x ² dx + y ² dx

1/2 * ʃ x ( y ² ) ′ dx = ʃ x ² dx + ʃ y ² dx

1/2 * [ x y ² - ʃ y ² dx ] = 1/3 x ³ + ʃ y ² dx

x y ² - ʃ y ² dx = 2/3 x ³ + 2 ʃ y ² dx

3 ʃ y ² dx - x y ² + 2/3 x ³ = 0 (1) 式

设 u = ʃ y ² dx ， (1) 式可看作

3 u - x u ′ + 2/3 x ³ = 0 (2) 式

3 u - x du / dx + 2/3 x ³ = 0

3 u dx - x du + 2/3 x ³ dx = 0 (3) 式

3 ʃ u dx - ʃ x du + ʃ 2/3 x ³ dx = 0

3 ʃ u dx - ʃ x du + 1/6 x ⁴ = 0

3 ʃ u dx - ʃ arc ( u ) du + 1/6 x ⁴ = 0 (4) 式

从 (3) 式开始，还可以这样，

3 u dx - [ d ( u x ) - u dx ] + 2/3 x ³ dx = 0

3 u dx - d ( u x ) + u dx + 2/3 x ³ dx = 0

4 u dx - d ( u x ) + 2/3 x ³ dx = 0

ʃ 4 u dx - ʃ d ( u x ) + ʃ 2/3 x ³ dx = 0

4 ʃ u dx - u x + 1/6 x ⁴ = 0 (5) 式

从 (4) 式 (5) 式要怎么接着往下做，就不知道了，有空再想想。

其实从 6 楼第 4 行可以约掉 dx 得到

x * 1/2 * ( y ² ) ′ = x ² + y ²

设 u = y ²

1/2 x u ′ = x ² + u

7 楼的 1/2 x u ′ = x ² + u ，如果等式左边没有 1/2 这个系数，那么可以

x u ′ = x ² + u

x u ′ - u = x ²

( x u ′ - u ) / x ² = 1

( u / x ) ′ = 1

ʃ ( u / x ) ′ dx = ʃ 1 dx

u / x = x + C , C 为任意常数

u = x ² + x C

注意，这里是说如果，不是原题的答案。

因为大概看到楼上 “换元法” 、“y / x”，就想到以上。

1/2 x u ′ = x ² + u

x u ′ = 2 x ² + 2 u

x ² u ′ = 2 x ³ + 2 x u

x ² u ′ - 2 x u = 2 x ³

( x ² u ′ - 2 x u ) / x ⁴ = 2 / x

( u / x ) ′ = 2 / x

ʃ ( u / x ) ′ dx = ʃ 2 / x dx

u / x = 2 ln | x | + C , C 为任意常数

u = 2 x ln | x | + x C

我大概看到楼上 “换元法” 、“y / x”，也看到答案似乎和 ln 、log 有关，但没有看具体的解题过程。

做这题增长了不少经验值，也对原方程 dy / dx = ( x ² + y ² ) / ( x y ) 和 1/2 x u ′ = x ² + u 这一类方程的结构特性有了深入了解，这类方程用分部积分法可以一直变形下去，但始终消除不了导数前的系数 x 。另一方面是，会同时存在函数和反函数的积分，比如 ʃ u dx 和 ʃ arc ( u ) du ，见 6 楼 (4) 式。

1/2 x u ′ = x ² + u

x u ′ = 2 x ² + 2 u

x u ′ - u = 2 x ² + u

( x u ′ - u ) / x ² = 2 + u / x ²

( u / x ) ′ = 2 + u / x ²

设 v = u / x

v ′ = 2 + v / x

x v ′ = 2 x + v

ʃ x v ′ dx = ʃ 2 x dx + ʃ v dx

x v - ʃ v dx = x ² + ʃ v dx