有理数 的 相干性

这篇文章 的 灵感 来自    《猜想：e＋π或e×π为有理数，求证明》     https://tieba.baidu.com/p/8327270906    20 楼  和      《哥猜 的 难点 在于 对 质数 的 掌握》      https://tieba.baidu.com/p/8274152355      20 楼    。

 

我 在   《傅里叶级数 和 高次多项式函数》     https://tieba.baidu.com/p/7902477319    和  《激光全息 的 原理 要 第二代 物理学 才能 揭开》    https://tieba.baidu.com/p/6992755179     提出过  正弦函数  的  “相干性”   。

 

两个 周期 之比 是 有理数 的 周期信号 叠加（相加），  结果 是 一个 周期信号，

一个 周期 信号 和 一个 非周期信号 叠加（相加），  结果 是 一个 非周期信号，

两个 非周期信号 叠加（相加），     结果 可能是 一个 非周期 信号，   也可能 是 一个 周期信号  。

 

这 就 好比   正正得正，    正负得负，   负负可能得正，也可能得负  ？

 

有理数 是 无限循环小数，   有 循环节，    一个 循环节 就是  一个周期   。

 

两个 有理数 相加，  结果 是 有理数，

一个 有理数 和 一个 无理数 相加，   结果 是 无理数，

两个 无理数 相加，  结果 可能是 无理数， 也可能 是 有理数   。

 

有理数 的 循环节 长度 是 自然数，   因此，  两个 有理数 的 循环节长度 之比 是 两个 自然数 之比，  是 有理数  。   有理数 的 循环节 就是 有理数 小数部分 循环 的 周期，  即 两个 有理数 小数部分 循环 的 周期 之比 是 两个自然数之比，  是 有理数  。    由此可知，   两个 有理数 相加， 结果 还是一个 有理数，  这里要说的 重点 是，  结果 的 小数部分 仍然 是 循环 的，   即      仍然 是 周期性 的   。

 

这样，   把  若干个 有理数 看作 若干个 正弦函数，   它们 的 循环节 数值 和 长度 是 各种各样，  就相当于 若干个 正弦函数，  它们 的 振幅  、周期 、相位 各种各样  。

 

把  有理数 的 小数部分 看作 是 一个 信号，  每一位 就是 信号的 一个 离散采样点，  比如 像素  、声音信号采样点  。

 

把 这些 有理数 加起来，  就可以 得到 一个 新的 有理数，     那么，  反过来，   已知 一个 有理数 S，  可以 尝试 用 若干个 有理数  a, b, c, d  ……   相加，  记为  S ′ = a + b + c + d +  ……     使得  S ′ = S 或 S ′ 接近 S  。    S ′ 接近 S 一般 不是 指  | S ′ - S |  最小，  因为 如果 是 | S ′ - S |  最小，  那 高位 有一位 不相等 得到 的  | S ′ - S |  比 离高位很远 的 低位（末位）   有一位 不相等 的   | S ′ - S |   大很多，   我们这里 并不关注 这个，   我们 这里 关注 的 是，  把  有理数 的 小数部分 当作 一个 信号来看，   小数 的 每一位 表示 信号 的  一个 离散采样点，  比如 像素  、声音信号采样点  。  这样， 这里说的 S ′ 接近 S  就是  信号 意义上 的 接近，   即  S ′  是 一个 和 S 相似 的 信号，   S ′   的 “波形” 接近 S  。  

 

 S ′   的 “波形” 接近 S   的 程度，  即  S ′  和 S 的 相似程度，  是 看  两个小数 有 多少位 不相等，    不相等 的 位 相差多大   。

 

你们会问，  为什么  S ′  接近  S，   而不是  S ′  = S   ？         实际上，  根本 不用 若干个 有理数  a, b, c, d  ……   相加 来得到 S ′，   我们 可以 直接 知道 信号 对应 的 S   。   比如，  一张图片，   它 的 每一个像素 可以 表示为 一位 或 几位数字，   把 所有 像素 的 数字 连起来，  就是 一个 很长 的 小数，  就是 S ，   我们 可以 找到 这个 小数，  即 S ，  对应 的 分数  。    这样，   一个 分数 就可以表示 一张图片，    这个 数据 压缩率  也是 无敌 了  。   但 寻找 这个 分数 的 时间复杂度 很大，   因为 小数 很长，  即 小数位数 很多，  它 对应 的 分数 的 分子分母 可能很大，  所以  寻找 的 时间复杂度  大   。

 

如果 退一步，  我们 不一定 找  S 对应 的 分数，   而是 找  S ′  对应 的 分数，   S ′ 在 信号意义 上 接近 S  ，   那 时间复杂度 也许 可以 降低很多，   这是一个 近似 的 做法  。

 

直接 找  S ′ 对应 的 分数，    时间复杂度 可能 还是 比较大，   因为 要 让   S ′    接近 S  ，   面临 和 寻找 S 的 分数 同样 的 问题，    S ′  对应的分数 的 分子分母 可能很大，     S ′   越接近 S，    时间复杂度 越大  。

 

实际上，   还有别的 玩法，   比如 上面说的，   用 若干个 有理数  a, b, c, d  ……   相加，  记为  S ′ = a + b + c + d +  ……     使得  S ′ = S 或 S ′ 接近 S  。   这 类似 傅里叶级数，  寻找     a, b, c, d  ……    类似 傅里叶展开，  也可以叫 傅里叶分解  。

 

我觉得 这个 办法 的 时间复杂度 可以更小  。

 

有理数 的 相干性 可以用于  数据 的 转换 传输 压缩 ，  总之 可以 用于 数据 的 处理  。

 

但 实际上，  解压的时候， 也就是  从 分数 得到 小数，  要 做 除法，  64 位 的 乘法 可以 一个 时钟周期 做完，    64 位 的 除法 不能 在 一个 时钟周期 做完，  需要 多个 时钟周期  。  小数 的 位数 很多，   除法 也 需要 很多 的 时钟周期，   时间复杂度 可能 和 一位一位 传递原始数据 差不多，   甚至更多  。    也就是说，    这个 技术（有理数 的 相干性）  好像 优点  就是   节省 存储空间，   但 其实，  也 节省 传输时间   。     假设 1 位 数据 从 网络 的 一端 传到 另一端 传输 的 时间复杂度 要  O ( 1000 ) ，   而 解压还原  1 位数据 在  CPU 里 作 除法 的 时间复杂度  只要  O ( 1 )  ，    假设 未压缩的源数据 大小 是 n 位，   那么， 在 网络 上 传输 n 位 数据 的 时间复杂度 是  O ( 1000 * n ) ，   计算机 里 解压还原 n 位 数据 的 时间复杂度 可以看作  O ( 1 * n ) ，    由此可以看出，   O ( 1000 * n )  / O ( 1 * n )  =  1000 ，   也就是说，    网络传输 n 位数据 的 时间 是 本地 解压还原 n 位数据 的 时间 的 1000 倍，   这样， 把 n 位数据 压缩后 在 网络上 传输，   下载到 本地 后 再 解压还原 是 划算 的，    也是 节省 传输时间  。

 

你们会说，  压缩后 的 数据 也有 一定大小，   在 网络 上 传输 也 需要 时间，  这部分 时间 也 应该 算进去  。  对，   这 取决于 压缩比，  假设 n 位数据 压缩 后 是 m 位，    m / n 是 压缩比，   如果  m 比 n 小很多，   那么，  把  传输 压缩后 的 数据（m 位） 的 时间 算进去，  和 上面讨论 的 解压还原 的 时间 算在一起，   还是 划算 的，    也是 节省 传输时间  。

 

这里 的 （网络传输  的）时间复杂度 似乎 说  时间花费（时间开销 ？  时间花销 ？）  更合适一些，   但 为了 讲起来方便，   还是说 时间复杂度，   知道就行  。