《两种方法求解高数吧的一道题》 回复

《两种方法求解高数吧的一道题》           https://tieba.baidu.com/p/8325617946     

 

 

若   a > b ,   a > c   ，

 

开 n 次方  ( a^n + b^n + c^n )   ,    n -> 无穷

=     a  *  开 n 次方  [ 1 +  ( b / a ) ^ n + ( c / a ) ^ n  ] 

=     a  *  开 n 次方  ( 1 +  无穷小 + 无穷小  )  

=     a  *  开 n 次方  ( 1  )    

=     a * 1

=     a

 

不知 楼上 为什么 写 那么 多  ？

 

 

 

 

8 楼  的 解法，   开 n 次方  ( 1 +  无穷小 + 无穷小  )    到  开 n 次方  ( 1  )    ，     舍去了 无穷小，    如果 是 乘 n 次方，  即     ( 1 +  无穷小 + 无穷小  ) ^ n  ，   这里 的 无穷小 是不能  舍去 的，   正如  e  ，  当然， 这里 的 情况 和 e 有点不同，  到底 无穷小 能不能 舍去，  需要一点证明  。   

 

再来看看   开 n 次方，  即    开 n 次方  ( 1 +  无穷小 + 无穷小  )    ，    实际上，  也 无所谓 舍去 无穷小，   因为 把 无穷小 换成 常数，   结果 也一样   。

 

在 数学吧 时不时 看到  “第一个重要极限”   、“第二个重要极限”   、“三个重要极限”，   零零碎碎 的，   前几天整理了一下，    大概是 

 

第一个重要极限 ：       sin x / x  ,  x ->  0   

第二个重要极限 ：       ( 1 + 1 / n ) ^ n , n -> 无穷  

第三个重要极限 ：       x  ^ ( 1 / x )  ,    x -> 无穷

 

是这样吗  ？

 

巧了，   这三个 极限，   我 都 研究涉及 过，    见

 

《证明 夹逼定理 和 洛必达法则》          https://tieba.baidu.com/p/7574289087     

《走一走 欧拉先生 走过 的 路》           https://tieba.baidu.com/p/7502453309     

《( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 是 什么 ？》       https://tieba.baidu.com/p/7605488293     

 

 

另外，    为了让 本帖 的 讨论 完整丰富，   我 把  @小小泡泡飘飘  在   4 楼  6 楼 的  解法 贴出来，  

 

4 楼

“

e^[ln(a^n+b^n+c^n)/n]，洛一下=e^[(a^nlna+b^nlnb+c^nlnc)/(a^n+b^n+c^n)]=a/b/c里面最大那个

”

 

6 楼

“

更简单的，假定a最大，{(a^n)[1+(b^n+c^n)/a^n]}^(1/n)，令(b^n+c^n)/a^n=x，原式=[(a^n)^(1/n)]•[(1+1/x)^x]^(1/nx)，注意到[(1+1/x)^x]=e，1/nx=0，原式= (a^n)^(1/n)·e^0=a

”

 

 

 

 

2021 年 9 月  做过的 一题  。  （滑稽）

 

图上看的可能不太清楚，  我 把 题目 再叙述一遍   。           

 

已知  ：    ∂ f / ∂ x  =    -   f ( x , y )

f  ( 0 ,  π / 2 )  =  1

lim  [  f ( 0 ,  y + 1 / n )  /  f  ( 0 , y )  ]  ^  n  ,  n -> 无穷  =  e ^ ( cot y )

求  ：     f ( x ,  y )   =   ？

 

 

 

 

 

 

 

 

18 楼  说  

“

8 楼 的 解法， 开 n 次方 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) 到 开 n 次方 ( 1 ) ， 舍去了 无穷小， 如果 是 乘 n 次方， 即 ( 1 + 无穷小 + 无穷小 ) ^ n ， 这里 的 无穷小 是不能 舍去 的， 正如 e ， 当然， 这里 的 情况 和 e 有点不同， 到底 无穷小 能不能 舍去， 需要一点证明 。

”

 

乘 n 次方 时，    这个 无穷小 到底 能不能 舍去  ？    我 已经 想好证明了，   小朋友们，   你们 想好了 吗   ？