《椭圆周长公式与椭圆积分》 回复

《椭圆周长公式与椭圆积分》         https://tieba.baidu.com/p/8177084286      

 

 

15 楼

回复 8 楼 @◎粒子宇宙观察者 ，左老师还在和椭圆较劲 ？感觉魔怔了 。 😄

 

椭圆周长应该可以用泰勒级数来计算，（我估计）泰勒级数只要几项或十几项就可以达到很高的精度，且可以根据余项计算出误差范围 。虽然椭圆周长的 n 阶导数公式可能冗长，但对计算机来说不算什么 。

 

前不久我说过用模拟微元的方法计算积分，可能是在三棱锥体积的帖里，三棱锥体积没有公式（因为涉及高次方程根式解），所以看起来不能用泰勒级数计算 。 @Excalibur！ @多项式之父      

模拟微元计算积分的微元数要达到千万或亿，才有很高的精度，这个计算工作量（时间复杂度）比泰勒级数多太多了 。

 

计算机专家 @dons222 来看看 。 @思维机器        

 

我刚想起来，三棱锥体积也可以用泰勒级数计算，可以先用模拟微元法做一小段模拟积分，来计算泰勒级数需要的一个定点的 n 阶导数，知道了 n 阶导数，就可以用泰勒级数计算完整的积分，即三棱锥的体积了 。 这个方法我在 2020 年 9 月 、10 月 时构思过，称为 “泰勒级数 无敌 逼近法” 。 当然，当时想的有很多还不太清楚，比如 三棱锥这个使用场景就是现在才想到的 。

 

 

K歌之王: 回复 粒子宇宙观察者 :@多项式之父 在 @Excalibur！ 那个帖里好像也说过三棱锥体积公式 。

dons222: 用极限的方法是可以求，但时间久了我记不清那个处理方法了，肯定不是按微元值来求的，计算机的数值精度都达不到。我记得我原来采用的都是很简单的标准圆投影算法，计算效率非常高，可以找找有没有标准公式，我当时都是自己灵机一动自己编的，没做数学上的深入研究。

粒子宇宙观察者: 回复 dons222 :投影法处理时夹角在不断旋转变化

K歌之王: 回复 dons222 :哇，真是八仙过海，各显神通 ，群英会 。 

 

 

 

 

23 楼

15 楼   @dons222  说到   标准圆投影算法  ，      标准圆投影算法  是  什么  ？   不知道  。   不过 从这里 我想到 用  三角形 的 外接圆 来  计算 三角形面积  。    计算 三棱锥体积 的  关键一步  是   已知 三角形 三个顶点 求 三角形面积，    可以 根据 三个顶点  求 外接圆圆心，   求出 外接圆圆心 后，   就可以 用 三角函数 求 三角形面积 了，   扇形面积 弓形面积 什么的 也可以  牵扯进来   。     列  二元二次方程组 求 圆心坐标 ，    代入消元，  方程组 可 化为  一个 规则 的  一元四次方程    a x ⁴ + b x ² + c = 0  ，   方程 里  x 只有 4 次方 和 2 次方，   解两次  一元二次方程 就可以 解出方程  。

 

说到这里，  想起 我 在   《聪明人用公式计算三棱锥体积吗？》      https://tieba.baidu.com/p/8056552446        23 楼  32 楼  说   “已知 三角形 三个顶点 求 三角形 面积，     这 又 涉及 到  四次方程 或 高次方程”  ，     “实际上  这个 代数方程 就是 要求 三角形 的 高，    也就是 这个 代数方程 的 一个 根 是 三角形 的 高  。”

 

实际上，    这里 的 求 高  也是 用   二元二次方程组，  未知数 是 高 和 底边 的 交点 的 坐标，   代入消元  也 是 得到  规则 的  一元四次方程    a x ⁴ + b x ² + c = 0  ，   和 上面 求 外接圆圆心 类似，   总之 可以 把 方程组 解出来，   得到 根式解  。      我 之前 时不时 会 把 代入消元 得到的 一元方程 想成是  高次方程，  高于 四次，  比如 六次  、八次，     如果 是  高次方程，   又不是 特殊的 规则的，    那 就没有 根式解，    当然 也 就 写不出 三棱锥体积 公式 了   。    不过，  这里 代入消元 化简方程 还真需要 一点技巧，   虽然 只是 一丁点 技巧，   但 如果 不要 这点 技巧，    直接 蛮干 的 话，   还 真会变成 高次方程  。

 

既然   已知 三角形 三个顶点 求 三角形面积  可以 得到 根式解，         那么，   就可以 写出 三棱锥体积 的 积分式， （三角形面积 在 三棱锥 的 高 上 积分 是 三棱锥体积），   积分式 可以 展开  为  泰勒级数，     也就是，   可以用 泰勒级数 计算   三棱锥体积   。

 

从 这里，  又想到，   多重积分 也可以 用 泰勒级数 展开，   多重积分 比如  二重积分  、三重积分  。    我在   《在引力问题中， 实心圆 是否可以认为是一个 质点》     https://tieba.baidu.com/p/6402553849      研究 过 二重积分  、三重积分 ，   在      《来个 硬核 点的， 谁把经典物理计算水星进动的计算过程贴出来？》   http://tieba.baidu.com/p/6539561735      12 楼  继续 评论了一下  。

 

以 三重积分 为例，   若 第一重积分 没有 解析解，   通俗的说，   就是 积不出来，   那么 可以 展开 为 泰勒级数，  对 泰勒级数 作 第二重积分，  也就是  对  泰勒级数 的 每一项 作 第二重积分，   若 第二重积分 也 积不出来，  也可以 展开 为  泰勒级数，    第一重积分 的 泰勒级数 的 每一项 又 展开 为 泰勒级数，  这 得到 一个 二维数组，  也就是  一个 矩阵，   矩阵元素  是  泰勒级数 的 项，    以此类推，   若 第三重积分 也 积不出来，  也可以 展开 为  泰勒级数，    得到 一个 三维数组  、三维矩阵  。

 

关键 的 问题 是，       要 怎么 找出 和 判定 收敛 的 余项   ？     并 由此 计算 误差范围   ？       这 有一点 复杂，   有一点 麻烦，   大家先想想，    明后天 说 我 的 思路  。     @小小泡泡飘飘     @多项式之父    @Henry272     @星野梦美a    

 

 

15 楼  说到   泰勒级数 无敌 逼近法，     泰勒级数 无敌 逼近法   是  一系列 方法  ，   15 楼 说的 “先用模拟微元法做一小段模拟积分，来计算泰勒级数需要的一个定点的 n 阶导数，知道了 n 阶导数，就可以用泰勒级数计算完整的积分”    是 其中 一种，  你问我 其它 的 是 什么  ？     不知道，  忘了，   也许还没想好  。      泰勒级数 无敌 逼近法 的 一些 想法 记录 见      《泰勒级数 无敌 逼近法》        https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13779710.html   ，    未写完，   现在是 草稿，  以后 会 修改完成   。   我 把 内容 贴在 下面，   算是 留一个 草稿原版  。

 

 

《泰勒级数 无敌 逼近法》

 

泰勒级数  本身 就是 一个  高次多项式   。

 

缩放法， 也可以 理解 为 改变 一下 变量 的 单位（量纲），   改变一下 变量 的 单位（量纲），  就可以 改变 函数曲线 的 增长性质，  这 很神奇  。

 

缩放法 除了 用来 改变 级数 的 项 的 收敛性，    也可以用在  牛顿迭代法 等，    让 函数曲线 变得 缓和，   使得 更 容易 迭代逼近，  当然，  即使 函数曲线 陡峭，  牛顿迭代法 的 收敛速度  也是 很快的 。   这里 是 以 牛顿迭代法 举一个 例子 来 说明 缩放法 的 用处  。

 

比例缩放，    函数曲线 的 形状 不改变  。

 

缩放法 ，   函数曲线 的 形状 改变，  具体 的 是  函数曲线 增长快慢 改变，  可能 变得 平缓 或 陡峭，   进一步，  单调性，   凹凸 ，   发散 收敛， 级数 的 发散收敛  会 发生改变  。

 

凹凸 是指 级数 离散函数曲线 的 凹凸  。        以 级数 的 项 的 序号 n 为 自变量，  级数 的 和 s 为 因变量，   每个 n 对应 一个 s，   s 是 计算到 第 n 项 的 和 。

 

因为 n 是 自然数，  是 离散 的 ，  所以 每个 n 对应的 s 在 坐标系 里 是 一个 点，    这些 点 组成了 一条 离散 的 函数"曲线"  。   这就是 级数 的 离散函数曲线 。

 

虽然，   离散函数曲线  是 一个个 离散 的 点，   但 仍然 可以看出 “曲线” 是 凹 的 还是 凸 的 ，   这就是  级数 离散函数曲线 的 凹凸  。

 

级数 离散函数曲线 的 凹凸     往往 和 级数 的 和 是否 收敛 相关  。

 

 

 

 

计算 定点 的 n 阶导数，   可以 用 模拟 的 方法，  模拟 的 方法  暂时想到 2 个  ：  

 

1   直接 切割 很多  ⊿ x ，   要求 计算 到 n 阶导数 时，   n * ⊿ x   仍然 很小，  以 保持 足够 的 精度  。    这种方法 只要 让 切割 的 ⊿ x 尽可能小，  就能 算 到 比较 多阶 的 导数  。

 

2   根据 定点 附近 很小区域 内 的 函数曲线 的 形状 和 形状趋势  来 得到 一阶导数 和 一阶导数 在 定点 附近 很小区域 内 的 形状 和 形状趋势， 

     根据 一阶导数 在 定点 附近 很小区域 内 的 形状 和 形状趋势，  得到 二阶导数 和 二阶导数 在 定点 附近 很小区域 内 的 形状 和 形状趋势， 

     根据 二阶导数 在 定点 附近 很小区域 内 的 形状 和 形状趋势，  得到 三阶导数 和 三阶导数 在 定点 附近 很小区域 内 的 形状 和 形状趋势， 

     ……

     

     这种方法 会 不断 放大 定点 附近 的 函数曲线，  就像 放大地图 一样，     定点 附近 的 很小区域 内 的 函数曲线 是 单调 的，  所以，  可以  模拟 预测 近似 并 尝试 不断 放大  。

     这里 的 单调 是指 函数曲线 的 形状 和 形状趋势 简单 和 单一，  并不 反复多变  。

     这种方法  也是 一种 规划  。

        

 

 

 

可以 研究 一下     y =  ( a / 10000)^x  *  100     这个 函数，   a 为 常数，  a ∈ ( 100 ,  10000  )  ，   x 为 自变量，  这是 一个 指数函数  。

 

当 a 取 ( 100 ,  10000  )   中 不同 的 值 时，    y =  ( a / 10000)^x  *  100    的 函数曲线 形状 是 怎样 ？

 

就是说，   对于 不同 的 a，     y =  ( a / 10000)^x  *  100    的 函数曲线 形状 是 怎样 ？

 

这个 课题 的 起因 是 缩放法  。

 

 

 

 

24 楼 

纠正一下  23 楼，       23 楼 说   用 一丁点技巧 代入消元 可把  已知 三个顶点 求 三角形面积 的  二元二次方程组  变成  一个 规则的  一元四次方程    a x ⁴ + b x ² + c = 0  ，   这个地方 又  想错了，   不是这样，      目前 没有 找到 好的办法 消元 把   这个  二元二次方程组  变成  规则的  一元四次方程    a x ⁴ + b x ² + c = 0   。

 

不过 在 这个 过程 中，     把  解  三次方程  四次方程 的 一些东西 又进一步 想清楚  了  。    我在   《开放式讨论 ： 复数几何有可能性吗？》    https://tieba.baidu.com/p/7639533472      8 楼    对   @思维机器   @dons222   说过，    我 计划 写  两篇   《研究代数 ：  从 一元二次方程 的 两个 复根 说起》  、《我解了 一个 一元三次方程》  。

 

我还想到了   简明直观 的 已知 三个顶点 求 三角形面积 的 方法  。

 

大概  在  2020 年 6 月 （7 月 ？），   我 注意 和 思考 了  已知 三个顶点 求 三角形面积  和   已知 三个边长 求 三角形面积   这两个问题，    起因 是  为了 研究 从 椭圆轨道 推导出 角动量守恒定律，  或  其它 原因，    有点  记不清了  。      在 直角坐标系 下 研究 二体问题，  尝试 已知 椭圆轨道，  推导出 角动量守恒定律，   当时 的 方法 也 比较 笨拙，    不知 怎么 会 用到  已知 三个顶点 求 三角形面积  和   已知 三个边长 求 三角形面积 ，    应该跟 直角坐标系 下  计算 质点 运动坐标 相关 的 一些 东西 有关 吧  。    当然，  刚也说了，  也许 是 从 其它 问题 、课题  想到   已知 三个顶点 求 三角形面积  和   已知 三个边长 求 三角形面积    这两个问题   。

 

经过  一些  莽撞 的 尝试 之后，   发现 要 从 椭圆轨道 推导出 角动量守恒 并不容易，     传统 的 方法，  是 从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道，    所以，  最后，  我 还是 从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道，  那段时间，  写了  《从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道》   。      你会问，    从 椭圆轨道 推导出 角动量守恒  和  从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道  不是 等价互逆  的 过程  吗 ，    怎么会 可以 从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道 ，   但 从 椭圆轨道 推导出 角动量守恒  困难  ？       嗯，  好问题，  我也问过，   你们 去看看  从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道 的 推导过程 就 知道了  。

 

说远了一点，  回到本文，  总之，   我 注意 和 思考 过  已知 三个顶点 求 三角形面积  和   已知 三个边长 求 三角形面积   这两个问题，   但 总想得  模模糊糊，    现在，  重新来一遍   。

 

已知  三角形 的 三边长 为  a, b, c  ，     求 三角形面积   。

 

设   h 为 高，  底边 是  c，    h 和 c  的 交点 把 c 分成  两段  d 、e  ，   d + e = c  ，   列方程组 ：

 

h ² + d ²  =  a ²

h ²  +  ( c - d ) ²  =  b ²      

h ,  d  为 未知数   。

代入消元

a ² - d ²  +  c ² - 2 c d + d ²  =   b ²

2 c d = a ² +  c ²   -    b ²

嗯  ？    这 直接 变成 一元一次方程  了  ？       理论上，   可以 是 一个 一元二次方程   。

d  =  ( a ² +  c ²  -   b ²  )  /  2 c

 

已知 三个顶点 求 三角形面积   可以 先 根据 三个顶点 坐标 求出 三边长，    然后 如上 根据 三边长 求出面积 就行   。      是不是 简明直观  ？      @小小泡泡飘飘     @多项式之父    @Henry272      

 

 

 

 

 

 

@小小泡泡飘飘         你 有没有 看过 庞加莱  证明 三体问题 没有 周期性解 和 对 初始条件 敏感  的 证明  ？      我没有 看过，    你也 不要 拿给我看  。

 

想起这个话题，   也 和  23 楼 的 讨论 有关，      你 喜欢 学习书本，     就 想到了 这个 话题，    这个 话题  可以  延伸 出  如何 学习数学  认识 数学  等 话题   。

 

@黎合胜    @黎耀天   @多项式之父    @Henry272