《聪明人用公式计算三棱锥体积吗？》 回复

《聪明人用公式计算三棱锥体积吗？》      https://tieba.baidu.com/p/8056552446      。

 

 

23 楼

计算  三棱锥 体积 涉及  已知 三角形 三个顶点 求 三角形 面积，     这 又 涉及 到  四次方程 或 高次方程，    难怪 是  @多项式之父 的 领域，  类似 的 问题 还有，  已知 三角形 的 三条边边长  求 三角形 面积   。

 

这些 问题 我 以前 遇到过，   比如   @bnllm    《有没有这样一道题任意n多边形中一点n分该多边形面积？》      https://tieba.baidu.com/p/7447888526  ，    我 在  9 楼 10 楼 回复了  。

 

其实 我也 可以 自己 推导一遍  三棱锥 体积 公式，   不过 算了，    明年 吧  。

 

如果 世界上 的 三棱锥 都是 直角三棱锥，      不就 简单 了  ？

 

 

K歌之王  ：     其实 这里 又 延伸 出来 一个 问题，     以 一个 任意形状 的 三角形 为 三棱锥 的 底面，    三棱锥 的 三条棱 要 怎么生长，   长出来 的 三棱锥 的 每个 横截面 都是 相似三角形    ？        这里 的 横截面 是 和 底面 平行 的 横截面  。      进一步，     这个 问题 是否 有解   ？         嘿嘿   。

K歌之王  ：     若  允许 三条棱 最终 不相交于 一点，    即 不构成 三棱锥，    那么，   在 一定 的 高度 内，     这个 问题 是否 有解   ？

 

 

 

 

30 楼

回复  24 楼      @太虚之父     @多项式之父      

 

四维空间 里  五面体 是 封闭 的 吗   ？

 

另外，   楼上 有一些 楼 说到了 数值计算 和  3D 打印，    数值计算 三棱锥体积 有一定 的 技术含量，    但 3D 打印 不是 那么 简单的，  我 不是说 3D 打印 简单不简单，   而是说    3D  打印  出 三棱锥 后，   要 怎么 测量 体积  ？    还是 要 装水（灌水）  的，     可能 还要 倒模 以后 再 装水，    或者 直接  3D 打印 一个 模子 出来，   用 模子 装水   。   如果  说  3D 打印 可以 告诉 你 体积 的 话，    那 还是 用了 数值计算  。 

 

 

K歌之王: @黎合胜 @星野梦美a  （宇心）   @ylyyjjlh @思维机器 @披萨反过来是你     

Excalibur！: 回复 K歌之王 :不是说没有公式吗？软件又是用什么计算的呢？

K歌之王: 回复 Excalibur！ :用 数值计算 啊 ，晚上详解 。 话说，谁说没有公式的 ？（疑问句）

Excalibur！: 回复 K歌之王 :@多项式之父 谁说没有公式的？

多项式之父: 回复 Excalibur！ :验证看看

Excalibur！: 回复 多项式之父 :@K歌之王 让你验证看看

K歌之王: 回复 Excalibur！ :有歧义， 是 让 @多项式之父 验证看看， 还是 让 @K歌之王 验证看看 ？

 

 

 

 

回复  30 楼，     数值计算  三棱锥 体积 比如 有 两种方法，  第一种 方法 是 单纯 的 模拟，    就是 把 三棱锥 看作是 许多 很薄 的 三角形块  叠成，   把  这些 三角形块 的 体积 加起来 就是 近似  的   三棱锥 体积   。     三角形块 的 体积 = 三角形面积 * 高  。   三角形面积 也是 用 模拟 的 方法 计算，   把  三角形 看作 许多  很窄 的  小长方形 组成，   把 这些 长方形 的 面积 加起来  就是 近似 的 三角形 面积  。     这种方法 （第一种方法）  的 时间复杂度 是 m * n，   m 就是 三角形块 的 个数，   n 是  长方形 的 个数  。   一般 用 n 个 很窄 的 小长方形 模拟 函数曲线  和  x 轴 围成 的 曲边形面积 来 计算  数值积分 会 把  n 取得 比较大，    n 很大 精度 才高  。     以前 （2020 年 ？）  我 帮  左老师   @渝中寿人   做过一次 这种 模拟 的 数值积分，   印象中，   n 取  100 万 时，   积分结果 和   @国手张伯   用 数学软件  计算 的 结果 比较 相似，   但 还是 相差 比较大，     n 取  1000 万 时，  和 数学软件 的 结果 就 比较 接近，  但 还是 有 一定差距，   我估计 数学软件 的 n 取到  1 亿 以上  。 

 

但 注意，   这里 计算  三棱锥 体积 是  m * n  ，   如果  m 和 n 都取  1000 万 或 1 亿，    那   1000 万 * 1000 万  或   1 亿 * 1 亿   这个 时间复杂度  就 太大 了  。

 

第一种 方法 中 可以说 全部 是 线性计算，    因为 根据 高度（位置） 计算 三角形块 的 三角形 的 三个顶点 坐标，    根据 三个 顶点 求 每一个 小长方形 的 顶点坐标 进而 求 长方形面积，  这些 全部 是 直线投影 和 直线相交 问题，    都是 线性方程（组） 。

 

第二种 方法 也是 把 三棱锥 看作是 许多 很薄 的 三角形块  叠成，     但  三角形 的 面积 用 数值方法 求解，   这里 的 数值方法 不是 用 许多 小长方形 模拟， （我认为 模拟 也是 数值方法  的 一种，  所以 这样说明），   而是 用 一些 算法  。    23 楼  已经说了  “已知 三角形 三个顶点 求 三角形 面积，     这 又 涉及 到  四次方程 或 高次方程”，    实际上  这个 代数方程 就是 要求 三角形 的 高，    也就是 这个 代数方程 的 一个 根 是 三角形 的 高  。 

 

数值方法 求解  高次方程 （n 次方程），     首先 要 分析 方程 有 几个 根，    这里只 讨论 实根  。   把  n 次方程 看作  n 次函数，   有 几个 实根 就是 函数曲线 和 x 轴 有 几个 交点  。  可以 对  n 次函数 求导数，   一阶导数， 二阶导数， 三阶导数  ……   一直 求到 二次函数，   根据 这个 导数关系 可以知道   n 次函数 最多 有   n 个 实根，   但 这 也只是 一个 范围  “最多”，   并不能 知道 一个  n 次方程  确切 的 有 几个 实根  。

 

在  “已知 三角形 三个顶点 求 三角形 面积”  问题 中，   要求 的 是 高，  从 几何 上 应该可以 知道，   方程 的 正根 只有一个，   就是 高  。   而且 可以知道  0 <= 高  <=  底边以外的两条边中较小的一条边 ，    知道了 高 的 取值范围，    用 跨越步进法 很容易 从 方程 中 求得 高  。

 

要 知道   n 次函数 和 x 轴 有 几个交点，   还可以 取 一些 样本点，  逐点绘制 出 函数曲线（当然 是 近似的），   来 看 函数曲线 的 大致趋势  。    这 算是  “数学规划”   吧   ？      这 也是   数值方法 （数值算法）  的 一种  。