今天做了一题 数学题， 感觉很厉害

数学吧   《求教拖了地：在》     https://tieba.baidu.com/p/7967295687   

 

今天下午吃饭的时候，  看到这题，   天气晴朗，   边吃边想，  做出来了，   感觉自己很厉害   。

 

大家 想看 解题过程 的 话，   过几天 发上来   。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

本文 已 发到  反相吧   《今天做了一题 数学题， 感觉很厉害》    https://tieba.baidu.com/p/7967844320    。

 

 

6 楼

若  a, b, c  >= 0 ，     这题 可以这样做 ：

 

猜测  ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²   最大值 为   18 ，   此时   a = 3,  b = 0,  c = 0 ，   或   a = 0, b = 3, c = 0，   或    a = 0,  b = 0,  c = 3  。

 

以    a = 3,  b = 0,  c = 0   为例，     让 a 从 3  减小 到  2，    为了 满足   a ² + b ² + c ²  =  9 ，    b 和 c   至少 有一个 会 增大，  也可能 b 和 c 都 增大 。

( a - b ) ²   可能 时而增大， 时而减小，   ( c - a ) ²  可能 时而增大， 时而减小，    ( b - c ) ²   可能 时而增大， 时而减小，   ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²  可能 时而增大， 时而减小，   情况 不确定  。

 

当    a  =  2   时，      

a ² + b ² + c ²  =  9 

2 ² + b ² + c ²  =  9 

4 + b ² + c ²  =  9

b ² + c ²  =  5

此时，   b 最大 为  根号 5，    c 最小 为 0，    或  b 最小为 0，  c 最大 为 根号 5 ，

 ( b - c ) ²  最大 为   ( 根号 5 - 0 ) ² = 5，       此时 b = 根号 5，  c = 0

 ( c - a ) ²  最大 为   ( 根号 5 - 2 ) ²  ，      此时 c = 根号 5，  b = 0

 ( a - b ) ²   最大 为   4  ，    此时  a = 2，   b = 0  

事实上，    ( b - c ) ²   =   5   和   ( c - a ) ²   =    ( 根号 5 - 2 ) ²    不可能 同时存在 ，    因为  b = 根号 5 和 c = 根号 5  不可能 同时存在，   若 b = 根号 5，  c = 根号 5，   a = 2，   则   a ² + b ² + c ²   =    4 + 5 + 5  = 14 > 9，   与 题目不符  。      还有  c = 0 和 c = 根号 5  不可能 同时存在  。

 ( b - c ) ²  =  5   和      ( a - b ) ²    =   4     也 不可能 同时存在，   因为   b = 根号 5   和   b = 0   不可能 同时存在   。

但  取 最坏 的 情况，       假设     

 ( b - c ) ²   =   ( 根号 5 - 0 ) ²   =   5     

 ( c - a ) ²   =    ( 根号 5 - 0 ) ²   =   5   ，      当前 a = 2，  但可以让 情况 更坏一点，  让  a = 0

 ( a - b ) ²    =   ( 2 - 0 ) ²   =   4  

同时存在，   此时 的    ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²   =    4   +   5   +   5   =    14    <   18

既然 推想 的  “最坏的情况”  都 小于 18，  那 实际 的 情况 也 小于 18  。

即     a = 2  时，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18  

由此，  能不能说   a ∈ [ 2, 3 ]  时，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²   <=   18    ？         还差一点  。

仿照 上面的 过程，   对于 一个 确定 的 a，     b ² + c ²  =  9 - a ² 

b 最大 为  根号 ( 9 - a ² )，    c 最小 为 0，    或  b 最小为 0，  c 最大 为 根号 ( 9 - a ² ) 

最坏的情况

 ( b - c ) ²   =   [ 根号 ( 9 - a ² ) - 0 ] ²   =   9 - a ²

 ( c - a ) ²   =   [ 根号 ( 9 - a ² ) - 0 ] ²   =   9 - a ²     或     ( c - a ) ²   =   [ 0 - a ] ²   =   a ² 

 ( a - b ) ²    =   ( a - 0 ) ²   =   a ² 

若     ( c - a ) ²  =   9 - a ²，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    =   a ²  +  9 - a ²  +  9 - a ²   =   - a ² + 18

y = - a ² + 18    是 一个  二次函数，    开口朝下，    对称轴 是  a = 0  。    即  a > 0  时，    - a ² + 18   单调递减，     a ∈ [ 0, 3 ] ，    y ∈  [ 18, 9 ]

若      ( c - a ) ²   =   a ² ，      ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    =   a ²  +  9 - a ²  +  a ²   =   a ² +  9

y = a ² + 9    是 一个  二次函数，    开口朝上，    对称轴 是  a = 0  。    即  a > 0  时，    a ² + 9   单调递增，     a ∈ [ 0, 3 ] ，    y ∈  [ 9, 18 ]

 

这 就 证明了   ？

 

如果    a, b, c  可以 为 负数，     题目 可能 超出 中学范围  。

 

一开始 想得 比较 初级，  后来 边想  边发现  想法 里 的 问题，   再后来 实际做起来 发现 问题 更多  。

 

 

 

 

8 楼

其实 还可以这样证，     这也是 一开始 的 思路   。

 

假设 已经 证明了   a ∈ [ 根号 3, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18  

同理，     

b ∈ [ 根号 3, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

c ∈ [ 根号 3, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

这称为  推论 (1)   。

 

接下来只要 证明   a ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18  

b ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18  

c ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

就可以 证明 题目  。

 

当    a  =  根号 3   时，      

a ² + b ² + c ²  =  9 

( 根号 3 ) ² + b ² + c ²  =  9 

3 + b ² + c ²  =  9

b ² + c ²  =  6

此时，   b 最大 为  根号 6，    c 最小 为 0，    或  b 最小为 0，  c 最大 为 根号 6 ，

当  b < 根号 3 时，  c > 根号 3，    当  c < 根号 3 时，   b > 根号 3  ，    这是 因为 当  b = c 时，   

b ² + c ²  =  6  

b ² + b ²  =  6  

2 b ²  =  6  

b ²  =  3

b  =  根号 3

c  =  根号 3

即  b 和 c 总有一个 在   [ 根号 3,  根号 6 ]    里  ，

即   当  a = 根号 3   时，    b 和 c 总有一个 在   [ 根号 3,  根号 6 ]    里   。   

当   0 <= a < 根号 3  时，     b ² + c ²  =  9 - a ² > 6，   于是，   如上推理，   b 和 c 总有一个 在   [ i,  j ]   里，  i > 根号 3，  j  >  根号 6，   i <= 根号 ( 4.5 ) ,   j  <= 3  。

即  a ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，    b 和 c 总有一个 在  [ 根号 3, 3 ]   里，

若    b ∈  [ 根号 3,  3 ]  ，   根据 推论 (1)，        ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

若    c ∈  [ 根号 3,  3 ]  ，   根据 推论 (1)，        ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

即   当  a ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，         ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

 

同理可证，    

当  b ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，         ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

当  c ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，         ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

 

推论 (2)

当  a ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，         ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

当  b ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，         ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

当  c ∈ [ 0, 根号 3 ]  时，         ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

 

推论 (1) 和 推论 (2)  合起来 就是，      a, b, c  >= 0 ，   ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 

即      证明了 题目  。

 

这个 证明逻辑 也可以 描述 为 

a, b, c   从各自 的 角度 来看 可以 划为 各种情况，   这些情况 满足   ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18 ，   这些情况 互相重叠，  覆盖了  a, b, c  的 所有 取值，   则   a, b, c  的 定义域 内，      ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <=   18  。

 

这个  证明方法  有没有问题  ？   大家觉得  ？

 

为什么   a, b, c  刚好 取   根号 3  作为 一个 （范围）边界  ？    如果 （这个 边界 的 取值）  a 再大一点，   b 小一点 （或 大一点），  c 小一点 （或 大一点） ；     或   a 小一点，   b 小一点 （或 大一点），  c 小一点 （或 大一点）  ……   会怎么样  ？       还能证明吗  ？         这样 展开来，    就是 各种 情况 和 题目   。

 

这样 扩展开来，    就是 各种 情况 和 题目   。     

 

 

 

 

6 楼 还少了 一种情况，   

最坏的情况，     ( a - b ) ²     也有 2 种 情况，   

  ( a - b ) ²    =   ( a - 0 ) ²   =   a ²    或     ( a - b ) ²    =   [ 0 - 根号 ( 9 - a ² ) ] ²   =   9 - a ² 

6 楼 少了      ( a - b ) ²  =   9 - a ²    ，      把 这种 情况 加进来，   组合 还可以得到一种 情况 

  ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    =   9 - a ²  +  9 - a ²  +  9 - a ²   =   - 3 a ² + 27

y = - 3 a ² + 27    是 一个  二次函数，    开口朝下，    对称轴 是  a = 0  。    即  a > 0  时，    - 3 a ² + 27   单调递减，     a ∈ [ 0, 3 ] ，    y ∈  [ 27, 0 ]

哎呀，   y 最大 是 27，  大于 18 了，    不符合 题目 了  。   

那 怎么办  ？       试试   a ∈ [ 根号 3, 3 ] 

 a ∈ [ 根号 3, 3 ] ，      y ∈  [ 18, 0 ]

刚好，     y <= 18  ，     用  8 楼 的  方法 可以 证明 题目  。

 

 

 

 

 

如果 不只  3 个变量  a, b, c ，    而是 有   a, b, c, d, e, f, g  ……   多个 变量  呢  ？

 

 

 

 

 

 

 

以下 是 草稿   *************************************

b 

 

如此，  只要看 b 的 情况 就可以，  c 的 情况 和 b 同理  。

 

 

 

a 从 2 减小 到 0，  b 最大 和 c 最大 增大，   当  a <  时，   b 最大 > 根号 5，    c 最大 > 根号 5 

也就是说，    当  a ∈ [ 0, 2 ] 时，     b ∈ [ 根号 5,  3 ]    或    c ∈ [ 根号 5,  3 ]

 

因为     a ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18  ，    同理，     

b ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

c ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

这称为  推论 (1)   。

 

既然 已证明   a ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 ，       接下来只要证明   a ∈ [ 0, 2 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18    就行  。

a ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    b ∈ [ 根号 5,  3 ] ，      因为   推论 (1) ，    b ∈ [ 根号 5,  3 ]   时，      ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 ，

于是，    a ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

a ∈ [ 0, 2 ]  时 ，   也可能是  c ∈ [ 根号 5,  3 ]，   同理，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

 

总之，    a ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

同理，   

b ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

c ∈ [ 0, 2 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²   <   18 

这称为  推论 (2)  

 

推论 (1)  推论 (2)   合起来 就是    a, b, c  ∈  [ 0, 3 ]  时，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 ，  也就证明了 题目  。

 

这个 证明逻辑 也可以  描述 为 ：

推论 (1)  

a ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18   

b ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

c ∈ [ 2, 3 ]  时，       ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

 

推论 (2)

a ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    b ∈ [ 根号 5,  3 ]    或    c ∈ [ 根号 5,  3 ]，   由 推论 (1)，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

b ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    a ∈ [ 根号 5,  3 ]    或    c ∈ [ 根号 5,  3 ]，   由 推论 (1)，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

c ∈ [ 0, 2 ]  时 ，    a ∈ [ 根号 5,  3 ]    或    b ∈ [ 根号 5,  3 ]，   由 推论 (1)，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18 

 

由  推论 (2) 可见，    

a ∈ [ 根号 5,  3 ]     对应  b ∈ [ 0, 2 ]  和  c ∈ [ 0, 2 ]  

b ∈ [ 根号 5,  3 ]     对应  a ∈ [ 0, 2 ]  和  c ∈ [ 0, 2 ]  

c ∈ [ 根号 5,  3 ]     对应  a ∈ [ 0, 2 ]  和  b ∈ [ 0, 2 ]  

 

 

 

 

 

由此可知，    最坏的情况，

 

即   当   a = 2 时，   b 最大 为 根号 5，

 

 

6 楼

“

既然 推想 的  “最坏的情况”  都 小于 18，  那 实际 的 情况 也 小于 18  。

即     a = 2  时，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²    <   18  

由此，  能不能说   a ∈ [ 2, 3 ]  时，     ( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ²   <=   18    ？         还差一点  。

”

 

从 这里 接着 证  。

 

a = 2   时，   最坏的情况

 ( b - c ) ²   =   ( 根号 5 - 0 ) ²   =   5     

 ( c - a ) ²   =    ( 根号 5 - 0 ) ²   =   5   ，      当前 a = 2，  但可以让 情况 更坏一点，  让  a = 0

 ( a - b ) ²    =   ( 2 - 0 ) ²   =   4  

 

可知   a > 2 时，   b ² + c ²   <   9 - 2 ² = 9 - 4 = 5  ，    即   a > 2 时，   b ² + c ²  < 2

于是   a > 2 时，    最坏的情况

 ( b - c ) ²   <   ( 根号 5 - 0 ) ²   =   5     

 ( c - a ) ²   <    ( 根号 5 - 0 ) ²   =   5   ，      当前 a = 2，  但可以让 情况 更坏一点，  让  a = 0

 ( a - b ) ²    =   ( 2 - 0 ) ²   =   a ²  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

既然 是 单调递增，    那么，   

 

 

 

 

( a - b ) ² + ( b - c ) ² + ( c - a ) ² 

=   ( a - b ) ² + [ ( a - b ) + ( c - a ) ] ² + ( c - a ) ² 

=   ( a - b ) ² + ( a - b ) ²  +  2 ( a - b ) ( c - a ) + ( c - a ) ² + ( c - a ) ² 

=    2  ( a - b ) ²   +   2 ( c - a ) ²  +   2 ( a - b ) ( c - a )

=    2  ( a - b ) ²   +   2 ( a - c ) ²  -  2 ( a - b ) ( a - c )              (1) 式

 c > a > b

 

-2  2   1

 

当   a - b 和 a - c  都 取 各自 可能 的 最大值 时，   (1) 式 的 值 最大 ，    这里 考虑了  a - b ,  a - c  可能 为 负数，   负数 小于 正数  。

 

根据   a ² + b ² + c ²  =  9  ，   

不考虑  b - c， c - a ，    a - b 可以取 的 最大值 是 3，  此时，  a = 3,    

 

草稿    end   *************************************

 

 

 

 

感谢  左老师  @渝中寿人   的 热心参与    ！

 

15 楼 的 整数解 对应 的 是   ( x - y ) ² + ( y - z ) ² + ( z - x ) ²   的  最大值 和 最小值 吗  ？

看起来不是，  因为 还有 比如    

x = 2,  y = 1,  z = -2  

( x - y ) ² + ( y - z ) ² + ( z - x ) ²   =   1 + 9  + 16 = 26

 

16 楼  的 解 是    x, y, z  和  f   的 关系，    f  =  ( x - y ) ² + ( y - z ) ² + ( z - x ) ²  

但 并没有 给出 最大值 条件 ，    也 没有 给出  最小值 条件，  等等  。    当然，    题目 问的是 最大值，   最小值 是 我 举例，   我 是指 数学软件 这里 没有 给出 最大值 最小值 等等  类似   的 条件 建议 资讯  。

我 奇怪 的 是 它（数学软件） 是 怎么 得出 最后 的 解 的 ，     中间 的 过程 一大段，   公式（方程） 很 冗长  。

看起来 一开始 是用  代入消元法  解出  y，     即    y 和  x, f  的 关系  。

最后 的 解 有 4 个，  每个 解 包含 x, y, z  。   4 个 解  的 差别 仅仅在  正负号  。

实际上，

x ² + y ² + z ² = 9

f  =  ( x - y ) ² + ( y - z ) ² + ( z - x ) ²  

这是个 不定方程组，   记为 方程组 (1) ，   这个 不定方程组 有 无数个 解，   不只 这 4 个   。

这  4 个 解 中 有  18 和  27  两个 常数，   可以发现，   只要 满足 

m + 9 = n

3 m = 2 n     ，       这个 方程组 记为  方程组 (2)

的  m,   n ，     用 m 代替 18，  用 n 代替 27，    得到 的 都是 方程组 (1)   的 解  。    哎 ？    我 以为 方程组 (2)  也有 无数个解，  实际上 只有  m = 18,   n = 27  这 一个 解  。   这样的话，     方程组 (1)   是不是 不定方程组，  还要 再看看  。   这 4 个 解 应该是   方程组 (1)    的   一组 特解，  也是 根式解，    这样一来，   除了 这  4 个 解，   方程组 (1)   还有没有 其它 的 根式解   ？

总之，  数学软件 给出 的 4 个 解  不是 单纯 傻傻 的 用 代入消元法 就可以得到 的，   这 需要 一些 技巧  。

我猜想   数学软件 的 设计者 给 数学软件 “灌输过”      方程组 (1)     这一类 题型，   毕竟  方程组 (1)   挺特殊，  是 一类 典型 的 题型  。

 

90 年代 播出 的 动画片 《机动警察》   常 讲到 一个 情节，    机器人 在 驾驶运行 的 过程中 会 学习 和 积累 经验，    用的越多，  经验越多，    还会 学习积累 驾驶员 的 习惯   ……   这些  经验 记录 在 一个  磁碟 上，   而 这些 经验 就 富有价值，   和 今天 我们 讲  数据 的 价值 ，  大数据 的 价值 类似，   于是，  记录了  经验 的 磁碟 也 成了 正反派 各方 争夺 的 一个  资源  ……   这也让 情节更加 丰富，  推动了 情节 的 发展  。     香贯花子 回美国时，   条原游马  代表同事们 把  泉野明 驾驶的 机器人 阿里风斯  的 磁碟 复制了 一份 送给 香贯花子，    作为 纪念，    因为 磁碟 中  存储了 机器人 的 经验 和 习惯，    就 相当于 是 机器人 的 灵魂 的 复印件  。

 

我想 数学软件 和 数学软件 的 公司 也有 类似 的  “题库”  吧 ，    把  题库 灌输给 数学软件，   就 相当于 把 经验 灌输给 机器人   。

 

从  左老师  提供 的 这个 例子，    可以 看到 当今 数学软件 的 水平 和 工作方式 及其 背景  。    @dons222