数学吧 第六届 吧赛 结束了， 我们 是不是 也来点 反相吧 物理竞赛 什么的 ？

《【吧赛成绩】第六届百度数学吧吧赛成绩公布》       https://tieba.baidu.com/p/7956761496

《【吧赛解答】第六届百度数学吧吧赛大学组部分解答发布》      https://tieba.baidu.com/p/7955872597

《【吧赛点评】第六届吧赛初中组点评》      https://tieba.baidu.com/p/7955361325

 

数学吧 第六届 吧赛 结束了，  我们 是不是 也来点 反相吧 物理竞赛 什么的 ？           @incinc    

 

@ddx7171       @黎合胜       你们 也  一起来 吧  。

 

前几天 我 在    @mocaizhi  《费马大定理的证明是错的→觉醒→寻找控失的智慧 02》    https://tieba.baidu.com/p/7927896956    10 楼 就 提过这事  。

 

 

 

 

本文 已发到 反相吧   《数学吧第六届吧赛结束了，我们是不是也来点反相吧物理竞赛什么的》    https://tieba.baidu.com/p/7957047032    。

 

 

5 楼

比如    @sunny何川   《分享: 高中物理受力分析》    https://tieba.baidu.com/p/7955056517   ，

 

作为 高中题，    这题  是 选择题，    把 它 提升一下，   不仅 要 选择 正确选项，   还要 给出 推导计算 过程，   即  推导计算 出  小球速度 函数曲线  。

 

 

 

 

 

 

 

 

@XDDongfang        《【东方之珠】正确诠释分子动力学基本定律的东方学帝公式》             https://tieba.baidu.com/p/7958661668     

 

看了 学帝 的 这篇论文，  总觉得和 我 的 《@物空必能 （@tigeduy） 的 大发现》   https://tieba.baidu.com/p/7891593417     差不多，   我在想的是 为什么 论文 里 涉及 那么多细节   。

 

后来想到，  可能跟 “速度分布” 有关，   查了一下速度分布 的 定义，   跟 流体 湍流 有关， 嗯， 这是个 大问题 了   。    我前几天 好像 看  @也宜明月博客 说过 “湍流 是 个 大问题 。”，  大意 是 这样  。

 

因为 论文 是 英文，  看得 不太清楚，   不过 这篇论文 在 学帝 的 论文 里 似乎 是 简单 基础 的，  像 之前 Dirac 方程 相关 的 论文，  需要 先 了解 Dirac 方程，   或是 汤川秀树 介子 相关的， 需要 先 了解  汤川秀树 介子 理论，   或是 电磁波 的，   要 先 了解 麦克斯韦方程  。

 

这篇 很基础 很自由，  不用什么基础，  直接上手，  当然， 因为 是 英文，  只能 看个 大概  。

 

 

        

 

10 楼

熊老师    @xzwqstt    《恳请求解》        https://tieba.baidu.com/p/7959608620      收录为 竞赛题目  。

 

我 的 思路 是   列 微分方程 ，     微分方程 的 积分 好像可以用 三角函数 换元积分法  积出来，  结果 可能 包含 正切函数  。

 

大家 先试试   。

 

 

 

 

 

 

 

12 楼

10 楼 题目解答

 

设  从 A 运动 到 C 的 路程 为 s，     r₀ = s * r / L  

 

u = U *  a r₀²  /  [ b ( R - r₀ ) ² ] 

= U *  a ( s * r / L  ) ²  /  [ b ( R - s * r / L ) ² ] 

=  U  *  a  ( s * r / L  ) ²  /  [ b * ( r / L ) ² ( R L / r - s ) ² ]

=   U a s ²  /  [ b  ( R L / r - s ) ² ]

 

ds / dt  =   V - u

ds / dt  =   V - U a s ²  /  [ b  ( R L / r - s ) ²  ]

ds / dt =  [  V b  ( R L / r - s ) ²  -  U a s ²  ]  /  [ b  ( R L / r - s ) ² ]

 [ b  ( R L / r - s ) ² ]  /  [  V b  ( R L / r - s ) ²  -  U a s ²  ]   ds  =  dt

两边积分

ʃ   [ b  ( R L / r - s ) ² ]  /  [  V b  ( R L / r - s ) ²  -  U a s ²  ]   ds    =    ʃ  dt 

 

ʃ   [ b  ( R L / r - s ) ² ]  /  [  V b  ( R L / r - s ) ²  -  U a s ²  ]   ds

=      ……

 

过程 懒得写了，  实在太烦，   而且 容易 搞错，      简单 的 说一下  。

 

 [ b  ( R L / r - s ) ² ]  /  [  V b  ( R L / r - s ) ²  -  U a s ²  ]      分子分母 都 把  平方括号 展开 为 多项式，     再 配平方，   整理 可得     ʃ  ( x ² + bx + c ) / ( x ² + a )  dx    这一类型 的 积分  。      这里 的  a, b, c  表示 常数，  不是 题目 里 的 a, b ，   下同  。

 

  ʃ  ( x ² + bx + c ) / ( x ² + a )  dx 

=       ʃ  x ² / ( x ² + a )  dx   +   ʃ  bx / ( x ² + a )  dx   +   ʃ  c  / ( x ² + a )  dx 

 

 ʃ  x ² / ( x ² + a )  dx

=     ʃ  ( x ² + a - a ) / ( x ² + a )  dx

=     ʃ  ( x ² + a ) / ( x ² + a )  dx    -     ʃ  a  / ( x ² + a )  dx

=     ʃ   dx    -    a   ʃ  1 / ( x ² + a )  dx

=     x    -    a   ʃ  1 / ( x ² + a )  dx

 

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx     有公式，  下面会推导 。

 

 ʃ  bx / ( x ² + a )  dx

=   b   ʃ  x / ( x ² + a )  dx

=   b   ʃ  1/2 * 2 * x / ( x ² + a )  dx

=   1/2 * b   ʃ  1 / ( x ² + a )  d ( x ² + a ) 

=   1/2 * b *  ln  | x ² + a |  

 

 ʃ  c  / ( x ² + a )  dx 

=   c    ʃ  1 / ( x ² + a )  dx 

 

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx     分两种情况 ：     ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ,  a > 0   和    ʃ  1 / ( x ² - a )  dx  ,  a > 0   。

 

先看     ʃ  1 / ( x ² - a )  dx  ,  a > 0

 ʃ  1 / ( x ² - a )  dx  ,  a > 0

=    1 / a  *  ʃ  1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 }  dx 

=    1 / a  *  根号 ( a ) *  1 / 根号 ( a )   *   ʃ  1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 }  dx  

=    1 / a  *  根号 ( a ) *   ʃ  1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 }  *  1 / 根号 ( a )  dx  

=    1 /  根号 ( a ) *   ʃ  1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 }  *  1 / 根号 ( a )  dx  

=    1 /  根号 ( a ) *   ʃ  1 / { [ x / 根号 ( a ) ] ² - 1 }   d [ x / 根号 ( a ) ]

设    u =  x / 根号 ( a ) 

=    1 /  根号 ( a ) *   ʃ  1 / ( u ² - 1 )  du             (1) 式

 

 ʃ  1 / ( u ² - 1 )  du

=    ʃ  ( 1 + u - u ) / ( u ² - 1 )  du

=    ʃ  ( 1 + u )  / ( u ² - 1 )  du   -   ʃ  u / ( u ² - 1 )  du

=    ʃ  ( 1 + u )  /  [ ( u + 1 ) ( u - 1 ) ]  du    -    1/2 *  ʃ  2 u / ( u ² - 1 )  du

=    ʃ  1 / ( u - 1 )  du    -     1/2 *  ʃ  1 / ( u ² - 1 )  d ( u ² - 1 )

=    ln | u - 1 |    -     1/2  ln | u ² - 1 | 

将    u =  x / 根号 ( a )   代回

=    ln | 根号 ( a )  - 1 |    -     1/2  ln | a - 1 |

代回     (1) 式

 ʃ  1 / ( x ² - a )  dx  ,  a > 0

=    1 /  根号 ( a ) *   ʃ  1 / ( u ² - 1 )  du  

=    1 /  根号 ( a ) *   [   ln | 根号 ( a )  - 1 |    -     1/2  ln | a - 1 |  ]

=    1 /  根号 ( a )  *  ln | 根号 ( a )  - 1 |    -     1 / 根号 ( a )  *  1/2  ln | a - 1 | 

 

 ʃ  1 / ( x ² - a )  dx  ,  a > 0   =   1 /  根号 ( a )  *  ln | 根号 ( a )  - 1 |    -     1 / 根号 ( a )  *  1/2  ln | a - 1 |

 

其实 这是一个 公式         ʃ  1 / ( x ² - a ² )  dx   =    1 / ( 2 a )  ln  | ( x - a ) / ( x + a ) |   。

 

 

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ,  a > 0   的 积分方法 没想出来，  看了一下，   也有公式，      ʃ  1 / ( x ² + a ² )  dx   =   1/a  *  arctan ( x / a )    。

 

看到公式，   也就知道 怎么推导 的  。

 

其实  我想了 一个   推导    ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ,  a > 0    的 办法，   只是没有成功，   如下 ：

 

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ,  a > 0 

=     ʃ  ( 1 + x - x )  / ( x ² + a )  dx 

=     ʃ  ( 1 + x )  / ( x ² + a )  dx    -     ʃ  x / ( x ² + a )  dx 

=     ʃ  ( 1 + x )  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ] ′   -    1/2  ʃ  2 x / ( x ² + a )  dx 

=     ( 1 + x )  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx    -     ʃ  ( 1 + x ) ′  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ]  dx    -   1/2  ʃ  1 / ( x ² + a )  d ( x ² + a )

=     ( 1 + x )  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx    -     ʃ  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ]  dx    -    1/2  ʃ  1 / ( x ² + a )  d ( x ² + a )

=     ( 1 + x )  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx    -     ʃ  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ]  dx    -    1/2  ln | x ² + a |

 

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx    =     ( 1 + x )  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx    -     ʃ  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ]  dx    -    1/2  ln | x ² + a |

 ʃ  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ]  dx   =   x  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx    -    1/2  ln | x ² + a |

 {  ʃ  [  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ]  dx  } ′    =     [  x  ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  ] ′   -    [  1/2   ln | x ² + a |  ] ′

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx     =      ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  +  x / ( x ² + a )    -    1/2 * 2 x *  1 / ( x ² + a )

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx     =      ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  +  x / ( x ² + a )    -    x / ( x ² + a )

 ʃ  1 / ( x ² + a )  dx     =      ʃ  1 / ( x ² + a )  dx  

 0  =  0

 

 

过程 就交代到这里 ，     还是 用 数学软件 推导出 解析解 和 画出 函数曲线 吧  。     @fz8zi8    @dons222       @ylyyjjlh         @雾里民工         @lzmsunny96           

 

dons 老板 有没兴趣  研发 一款 会 做 解析积分 的 数学软件 ？     可以 先 做成  开源项目，   我们 就在 反相吧 做这个 开源项目 。

 

解析积分 是 相对于 数值积分 而言，   解析积分 就是 用 推导公式 的 方式 推导 出 积分 的 解析解  。

 

 

 

 

 

 

14 楼

@xzwqstt       熊老师   客气了   ^ ^  

 

我在这里 对 本帖   12 楼 和   《恳请求解》     https://tieba.baidu.com/p/7959608620      13 楼  一起 回复  。

 

s 是 质点 从 A 运动 到 C 的 路程，  是 随 时间 t 变化 的 变量  。   质点 从 A 出发 时，  s = 0，   质点 运动到 C 点 时，  s = L   。

 

根据 相似三角形 可得     r₀ / s = r / L   ，    于是    r₀  =   s * r / L   。

 

人工 推导 和 代入数据 运算  比较 繁琐，   也容易 出错  。

 

一个 值得 注意 的 地方是，     @lzmsunny96  在    《恳请求解》  12 楼  贴出 的 计算过程 （如下图），  红线部分 是 积分，  这个 积分 是 对  V + u 积分，  而 我在 本帖  12 楼  的 积分 是  对   1 / ( V - u )  积分，  我是 按  V - u 的 条件做的，  如果 按 V + u 的 条件做，  就是 对    1 / ( V + u )   积分 。   所以，  我们 两个 的 积分 是 不一样 的，   积分结果  当然 也是 不一样 的  。   简单的看，  我的 积分 应该有 2 项 自然对数  ln ( ... )，   而 他的 积分 只有 一项   自然对数  ln ( ... )    。       @lzmsunny96   的 思路 是 计算 平均速度，    这个 思路 也说得通，    那么，  我们 的 两个结果，    哪个 才是 对 的   ？

 

 

另外一件事 是，         @fz8zi8    在 本帖  13 楼  贴出了  数学软件 计算    ʃ  1 / ( x ² + a ) dx  =  1/a^(1/2)*atan(x/a^(1/2))  ，    看起来  数学软件 把  a  默认看作是   大于 0 的，    所以，  在 做  熊老师 的 这一题 的 时候，   要 先 把  要 积分 的 表达式  整理出来，   搞清楚   ʃ  1 / ( x ² + a ) dx    这一类型 的 积分 的 表达式 里 的  a 是 大于 0 还是 小于 0  。    按照 我在 12 楼 列的  微分方程，    这个 a 是 和 题目条件  a, b, R, r, L, V, U   有关 的 表达式，   代入  a, b, R, r, L, V, U   的 数据  才能 确定  这个 a 的 表达式 是 大于 0 还是 小于 0  。   注意，     ʃ  1 / ( x ² + a ) dx   表示 一种类型 的 积分，   这里 的 a 和  题目条件   a, b, R, r, L, V, U   里 的 a 不是 一个 a  。

 

 

 

 

K歌之王 :回复 lzmsunny96 :lzm 同学 是 拟合大王， 看 15 楼 。

K歌之王 :回复 xzwqstt :问一下， V 的 方向 是 AC 方向， u 的 方向 是不是 AC 方向 ？ 按理，应该是， 因为 u 和 V 直接加减 。

K歌之王 :回复 xzwqstt :这里的意思是， u 的 方向 是 水平方向 还是 AC 方向 ？ 不是 问 从 A 到 C 的 方向 还是 从 C 到 A 的 方向 。

 

 

 

 

15 楼

还发现一件 有意思 的 事，       @lzmsunny96  以  r₀  为  “基底” 来 求 平均速度 （见  14 楼），   也就是 以  r₀  为  基底 求 均值   。   那，  以   s 为 基底 来 求 平均速度 行不行  ？   即 以  s 为 基底 求 均值  。

 

想当然的，   以 r₀ 为 基底 计算 的 平均速度 和 以 s 为 基底 计算 的 平均速度 应该 等价，    但 实际上 两者 并不相等  。

 

@lzmsunny96   在 14 楼 回复 说   “计算结果应该差不多。我的计算方法简单一些。”        我 不反对 这个 看法，   但 到底 差不多 还是 差多少，   别的不说，    看看   以 r₀ 为 基底 计算 的 平均速度 和 以 s 为 基底 计算 的 平均速度   差多少 ？

 

 

以前 我 应  左老师   @渝中寿人   的  需求，   写了一个 计算 模拟积分 的 简单程序，   原理 很简单，   就是 模拟 微元，   当 微元 数量 很多时，  比如  100 万 个，  1000 万 个，   1 亿 个，    结果 的 精度 就 越高  。     当时 计算 左老师 的 一个 包含 指数函数 的 积分，   结果 和   @国手张伯   用 数学软件 计算 的 差不多   。

 

我 稍后 把 这个 程序 完善一下，   用来 计算      熊老师    @xzwqstt      这题 的 积分  。

 

其实 如果 只是 单纯 的 积分，  不涉及 解 微分方程 的 话，   用  模拟积分 就很适合，   绿色 环保 无污染，   简便 快捷 傻瓜式，     精度 全靠 微元数 （Step 数），  多核计算 并行计算 来 支持  。

 

用 模拟积分 可以 避免 积分推导 的 种种 数学问题 ，      所以 是  傻瓜式，    有点像 亚历山大 用 剑 劈开 绳结，   通俗的说  就是 简单粗暴，   用一个 字 形容 这种感觉（feel），  就是     爽    。

 

在     计算资源 过剩，   多核 并行 大行其道 的 年代，     有限元外推法 还有 价值 吗  ？      其实 也有 哈，    有限元外推法 和 数学方法 让 你 节省了 1000 台 服务器 的 成本， 是不是 价值  ？    其实 还不止于此   。    但 反过来，    即使 没有 有限元外推法 和 相关 数学方法，   也不用慌，    还有 傻瓜式 的 办法   。

 

模拟积分  也是  数值积分 吧   ？

 

计算机 解 微分方程，   求 解析解 和 数值解 都 需要 专门 的 程序 和 算法，    就不像  模拟积分 这样简单 了  。