民科吧 的 @湿芋 出了 一题 u = x y^2 z

今天（2022-04-19）  看到 民科吧  @湿芋   在  《你最好学学微积分，因为它是上帝的语言。》    https://tieba.baidu.com/p/7802519184    的  4 楼 给 段老板 @冥河乘船人  出了一题 ：

 

“求一下函数 u = x y^2 z 在点（1，-1，2）处变化最快的方向和沿着这个方向的方向导数”

 

这一题嘛，   想了一下，   也不是很难 。     不过 也 确实 有点意思  。

 

 

两年前（2020-03-26），   在 《我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分》       https://tieba.baidu.com/p/6348409025    的  57 楼，   @湿芋  说  “单变量微积分确实不难，多变量微积分和线性代数理解起来就没那么容易了”  ，      言下之意，   他 当时 就在 学习 多变量微积分 了 ，

 

到  今天（2022-04-19） ，     两年了，    还是  多变量微积分，            莫非   @湿芋   学 的 专业 是 多变量微积分  ？   （滑稽）

 

 

方向导数 和 “梯度”   有关 吧，     前几天 在 知乎 上 看到 一篇 文章，   没细看，    标题 和 摘要  好像大致 是说，    学会了 偏导数 和 梯度，    也 差不多 了  。

 

 

 

 

 

本文已发到了 反相吧  《民科吧 的 @湿芋 出了 一题 u = x y^2 z》   https://tieba.baidu.com/p/7804018696    。

 

 

4 楼

回复 2 楼 @湿芋

 

有多深 ？ 二阶偏导数 ？ 矩阵的 各种 旋转积 ？

 

 

 

5 楼

我来 说一说 

 

“求一下函数 u = x y^2 z 在点（1，-1，2）处变化最快的方向和沿着这个方向的方向导数”

 

这题 的 解法 哈 ，

 

设   y = p x，  z = q x，

 

……

 

这样  就可以 推导出 方向导数 那一套  。

 

还可以 加点料，    求 四维曲面 u = x y^2 z 在点（1，-1，2）处， 在 哪个方向上 最陡峭 ？    陡峭 是指 距离变化快  。  这个 距离 是 曲面 上 两点间 的 距离，  当然，  这里 是 取 极限，  也就是 微分  d ( 距离 ) ，     看 在 哪个方向 上，   d ( 距离 )  最大  ？      严格一点，  也可以说，   d ( 距离 )  的 绝对值 最大  。   如果 不用 微分 的 概念，  而是用 微元 的 概念，  距离 是 非负 的，  距离微元 也是 非负 的，   看 在 哪个方向 上，   距离微元  最大  ？    也就不用 绝对值 的 说法  。          哈哈，   有点绕   。  

 

或者，   看 在 哪个方向 上，    d ( 距离 )  / dx   最大  ？     这样也不用 绝对值  。

 

说起 微分，   想起了 之前 写的  《转一个 数学吧 的 帖 ： 世界上最邪门的东西》   https://tieba.baidu.com/p/7517384747    。

 

 

 

 

 

6 楼

还可以 加 两 小题 ，

 

(1)      函数 u = x y^2 z 在点（1，-1，2）处变化最快的方向  记为 L，   求 四维曲面 u = x y^2 z  在点（1，-1，2）处，  在 L 方向 上 的 切线  。

(2)      求 四维曲面 u = x y^2 z  在点（1，-1，2）处，  在 所有方向 上 的 切线  。

 

 

 

 

 

7 楼

以上内容 加起来，    就是  K 氏 自创 微分几何 啦 ，   哈哈  。

 

感觉 好像 自创了  降龙十八掌  ……

 

再来一个   “K 氏 梯度”  ？      K 氏 梯度 的 离散描述，    K 氏 梯度 的 矩阵描述，    K 氏 梯度 的 矩阵 旋转 大法  ？