功 是 虚拟 的 概念， 动量未必守恒

写这篇文章 的 原因 见   《和 小梦 探讨 一个 经典力学 问题》  https://tieba.baidu.com/p/6817533042    的  12 楼  。

 

我 以前写过  《认真一点的说， 寻找 功 的 公式 W = Fs 是 一个 泛函问题》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13288644.html  ，  《从 功 W = Fs 推导出 动量守恒》   https://tieba.baidu.com/p/7020384200   ，    《物理学 的 基本原理》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13358103.html    。

 

在  《物理学 的 基本原理》  的  结尾，   说到了   “功 和 能 的 起源” ，  

“

物理学 的 基本原理 还 包括 ：

 

杠杆原理

二体问题

功 和 能 的 起源

 

等等   。

”

 

 

一直以来，   物理学 流传着 一个 传说 ：    用 动量守恒 解 的 题， 不能 用 能量守恒 解 ；    用 能量守恒 解 的 题，  不能 用 动量守恒 解  。

 

大家 在 中学 的 时候，  老师 有没有 对 你们 口口相授 过 这个 传说 ？    老师 也许会说，  等 你们 进入 高等学府，  你 就 知道 这个 传说 背后 真正的 原理，   你就 能 用 真正 的 原理 解题 了 。

 

等 你 进了 高等学府 ，   乃至 成了 科学家，   你会发现，  老师说的  “背后 真正的 原理”  并不存在，    高等学府 和 科学家 还是 沿袭 和 应用 着    “用 动量守恒 解 的 题， 不能 用 能量守恒 解 ；    用 能量守恒 解 的 题，  不能 用 动量守恒 解”    这一原理  。

 

说到这里，   家长们  提问，   “既然这样，  那 老师 能不能 总结一下，   什么时候 用 动量守恒，   什么时候 用 能量守恒  ？”

 

我一听 乐了，  好吧好吧，   我 告诉 你们，   这可是 口诀 哦  ：        如果 相互作用 的 两个物体 都是 “活动的”，  就 使用 动量守恒 ；   如果 相互作用 的 两个 物体 一个 是 “活动的”，  另一个 是  “固定的”  （比如 和 大地 连在一起），    就 使用 能量守恒  。

 

几百年来，   一代代 物理学家 把 物理学 建设到 今天 这样 宏伟高级，   其中 也是有 这个 口诀 的 屡试不爽  。

 

家长们 听了  嘁嘁喳喳，  欢欣鼓舞，    “谢谢老师  ！”

 

不用谢   ……

 

这时，   有 同学 提问，    “老师，  你说的不对，   有一类题目，  是这样的，   两个 小球 相撞，  先用 动量守恒 求出 相撞后 两个 小球 的 速度，  再根据速度 求出 相撞前后 的 总动能，  相撞前后 的 总动能 之差 就是 有多少动能 转换成了 其它 形式的 能量，  比如 热能  。”

 

嗯  ……  我 挠了挠头，    好像 是有这么回事，     我们来 看一看 这一类 题目  。

 

设  有 A 、B 两个 小球，    质量相等，  均 为 m，     A 、B 的 速度 为  va, vb，  va = v，  vb = 0 ，   A 碰撞 B，   是 刚性碰撞，   A 减少的 速度 全部 传给了 B， 成了 B 的 速度  。

 

设 碰撞 后 A 、B 的 速度 为  va ′, vb ′，    va ′ = 0

 

根据 动量守恒     m * va + m * vb  =  m * va ′ + m * vb ′

m * v + m * 0 = m * 0 + m * vb ′

m * v + 0 = 0 + m * vb ′

m * v = m * vb ′

vb ′ =  v

 

看 能量 守不守恒，

 

碰撞前 总动能 =  1/2 * m va ² + 1/2 * m vb ² = 1/2 * m v ²  + 1/2 * m * 0 ² = 1/2 * m v ²  +  0   =   1/2 * m v ² 

碰撞后 总动能 =  1/2 * m va ′ ² + 1/2 * m vb ′ ² = 1/2 * m * 0 ²  + 1/2 * m * v ² = 0  +  1/2 * m v ²    =   1/2 * m v ² 

 

碰撞前 总动能   =   碰撞后 总动能，     能量守恒，  OK   。

 

 

设 A 的 质量 仍为 m，   B 的 质量 为 M，   M > m  。

 

根据动量守恒      m * va + M * vb  =  m * va ′ + M * vb ′

m * v + M * 0 = m * 0 + M * vb ′

m * v + 0 = 0 + M * vb ′

m * v = M * vb ′

vb ′ =  m / M * v

 

碰撞前 总动能  Ek =  1/2 * m va ² + 1/2 * M vb ² = 1/2 * m v ²  + 1/2 * M * 0 ² = 1/2 * m v ²  +  0   =   1/2 * m v ² 

碰撞后 总动能  Ek ′=  1/2 * m va ′ ² + 1/2 * M vb ′ ² = 1/2 * m * 0 ²  + 1/2 * M * ( m / M * v ) ² = 0  +  1/2 * m ² / M v ²   =   1/2 * m ² / M v ² 

 

Ek =  1/2 * m v ² 

Ek ′=  1/2 * m ² / M v ² 

 

显然，    Ek  !=  Ek ′   ，      什么  ？    这是 什么情况  ？    能量不守恒了  ？

 

这令人 吃惊，     我们 不得不 一遍又一遍 的 检查 推理 和 计算过程，   是不是 哪里 搞错了 ？

 

有人说 ，   刚性碰撞 是 理想状况，   实际中 肯定会有一部分动能 转换成 其它 形式 的 能量 的 ……

 

但，    这 分 2 点 来说，

 

1      理想状况 下 的 理论计算 的 结果 应该 也是 要 在  “理想状况”  下 能量守恒 的 吧  ？

2      如果 有 一部分 动能 转换成了 其它 形式 的 能量，  那么，  这部分 能量 记为  ⊿ E，     ⊿ E = Ek  -  Ek ′

 

⊿ E = Ek  -  Ek ′

=   1/2 * m v ²   -  1/2 * m ² / M v ² 

 

显然，   Ek   应 大于   Ek ′，     即    1/2 * m v ²   >   1/2 * m ² / M v ²  ，

 

因为   M > m，   m / M < 1，      1/2 * m v ²   >   1/2 * m v ²  * m / M   =  1/2 * m ² / M v ²  ， 

1/2 * m v ²   >   1/2 * m ² / M v ²    成立   。    于是，  ⊿ E = 1/2 * m v ²   -  1/2 * m ² / M v ²    。

 

⊿ E  就是 动能 转换成 的 热能  ？       有点 想当然，   可以从 理论上 来 证明，   但 理论上 分析 这个问题 比较 麻烦，   我们 可以 直接看 实验数据 。   @上帝之友sdzy

 

我可以先给出一个预告，      第一，   ⊿ E  不等于 动能 转换成 的 其它 能量，  比如  热能  、弹性势能   。     第二，  若 有一部分 动能 转换成 了 其它 能量，   则 碰撞后 的 总动量  小于  碰撞前 的 总动量  mv ，     即 不满足 动量守恒 公式，   也可以说  “动量不守恒”   。  注意 这里 的 碰撞 是  碰撞前 A 运动， B 静止 ；  碰撞后 A 静止， B 运动  。

 

还可以这样来看，    若  M < m，   m / M > 1，    1/2 * m v ²   <   1/2 * m v ²  * m / M   =  1/2 * m ² / M v ²  ， 

1/2 * m v ²   <   1/2 * m ² / M v ²  ，     这和  Ek   应 大于   Ek ′，     即    1/2 * m v ²   >   1/2 * m ² / M v ²     矛盾了  。

 

还可以 计算  其它 的 情况，   比如 

 

va != 0 ,   vb = 0 ，   va ′ != 0 ,    vb ′ != 0

va != 0,    vb != 0 ，  va ′  != 0 ,   vb ′ != 0

M > m

M  远大于  m 

M  大于 接近 m

M < m

M  远小于 m

M 小于 接近 m

 

等等  。     此处 略  。        大家可以试试，    看 有什么 发现  ？

 

 

设 一个 质量 为 m 的 物体，    初速度 为  v₀ ，    在  力 F 的 推动下 前进，   经过 时间 t 后，   它 的 速度 为  v，   经过 路程 为 s，

 

v = v₀ + F / m * t

s = v₀ * t  +  1/2 * F / m * t ²

F 做的功  W  =  F s = F * (  v₀ * t  +  1/2 * F / m * t ² )  =   v₀ * F * t   +   1/2 * F ² / m * t ²

若 初速度 v₀ = 0，   F 做的功  W0 = 1/2 * F ² / m * t ²

 

注意看，   

 

W  =   v₀ * F * t   +   1/2 * F ² / m * t ²   

W0 =  1/2 * F ² / m * t ²

 

W 和 W0 相差 一个  v₀ * F * t ，   同样 的 一个 力 F，   推动物体 的 时间 是 一样 的 t，    那么，  物体 有没有 初速度，  F 做的 功 应该 是一样 的，   但 这里，   W != W0 ，   且 初速度 v₀ 越大，    W 越大  。   v₀ 很大 时，    W 远大于 W0，     就 因为 物体 的 初速度 大，   F 做的 功 真的有 那么 大 吗  ？

 

从这里 可以看出来，    功 是 一个 虚拟 的 概念  。

 

“功”  是 力 的 贡献，  力 的 效用，  是  付出， 是 成果， 是 力量，  是 能力，  “劳苦功高”，   力拔山兮气盖世（这是 功率，哈哈）  。    力 越大，  功 越大，   力 的 作用时间 越长，  功 越 大  。

 

功  是 由  力 和 时间 决定 的，   也就是 功 = 力 * 时间  。   也就是  W = F * t  。   而  功 = 力 * 位移 ，   也就是  W = F * s  这个 “功” 是 一个 虚拟量  。

 

v = v₀ + F / m * t  

动能  Ek =  1/2 * m v ²

=   1/2  *  m  *  ( v₀ + F / m * t ) ²

=   1/2  *  m  *   [  v₀ ² + 2 *  v₀  *  F / m * t  +   ( F / m * t ) ²  ]

=    1/2  m v₀ ²   +    v₀  *  F  * t    +   1/2  *  F ² / m * t ²

看，  这里 中间的 一项  v₀  *  F  * t ，   W  里 也有   v₀ * F * t    这一项，     W 里 的  v₀ * F * t     就是为了 满足 这里 Ek 里 的 v₀ * F * t   。

这样的话，   可以

Ek  =   1/2  m v₀ ²   +    v₀  *  F  * t    +   1/2  *  F ² / m * t ²

=    1/2  m v₀ ²   +   (  v₀  *  F  * t    +   1/2  *  F ² / m * t ²   )

=    Ek₀  +  W

 

即    Ek = Ek₀  +  W   ，      其中  Ek₀  =  1/2  m v₀ ² ，  表示 物体 的 初始动能  。

Ek = Ek₀  +  W      表示 功 和 能 统一 了  。

 

 

最初  提出  “功” 这个概念 大概 是 为了 描述 和 解决 一些 不适合用 动量守恒 的 场合 的 力 的 “作用”  的 传递 和 守恒 问题  。

 

功 还有 一个 特性 是  两个 力 做的 功（标量） 的 和 等于 两个力 的 合力（矢量和） 做 的 功  。      这个 特性 很有用，  可以 很大 的 简化 解题过程，  也是 一个 大发明  。   比如  二体问题（天体 的 椭圆轨道）   的 传统解法 就是 用 机械能守恒 来 解 的  。   具体的说，  是   角动量守恒 和 机械能守恒   。  注意，  角动量守恒 不是 动量守恒，   有趣的是，  我在  《从 功 W = Fs 推导出 动量守恒》    里 说     “二体， 角动量守恒 则 动量不守恒， 动量守恒 则 角动量不守恒 。 这里面 似乎 也 暗藏了 什么 玄机 ？”

 

“两个 力 做的 功（标量） 的 和 等于 两个力 的 合力（矢量和） 做 的 功”      这个 特性  要 在 两个 力 的 方向 正交 的 情况 下 才 成立  。

 

其实 说白了，    W = F * s   就是 为了 凑平方，   为什么 要 凑平方 ？     因为 要  勾股定理，    为什么 要 勾股定理 ？    因为 要 矢量合成  ……

 

从这里也可以 看出来，      功 是 为了 满足 某些需求 而 定义 出 的 虚拟 的 量  。

 

就像   @星野梦美a （宇心）   在   《@高松山，筷子理论可能是正确的》    https://tieba.baidu.com/p/7710778969   的  7 楼  说 的    “物理学中的虚数描述的不是对象，而是关系。”

 

 

来看一个 实验，

 

 

一个大球 M，   一个小球 m，     假设 牛顿第一定律 、牛顿第二定律 、牛顿第三定律  都 成立，    M 和 m 间 存在 引力 F，  F 为 恒力 。

 

第一步 的 时候，   M 和 m 相距  L，   M 静止，   m 以 速度 v = v₀  出发，    在 引力 F 作用下，   v 逐渐变小，  到 第二步 时，   v 减为 0，   之后 在  F 作用下  加速 向 M 运动  。

第三步 时，    m 和 M  相距  L，     m 的 速度 v = v1   。

 

可知 在 第二步  v = 0 时，    m 的 动量 全部 传给了 M，   因为 牛顿第一定律 、牛顿第二定律 、牛顿第三定律  都 成立，  所以 动量守恒 ，   此时 M 的 动量 为  m v₀ ，

 

第三步 时，   因为 从 第一步 到 第三步，    大球 M 一直 在 向前运动，  因此 小球 m 从 v = v₀ 位置 到 v = 0 位置 的 距离 大于 从 v = 0 位置 到 v = v1 位置 的 距离，  由此可知  | v₀ | > | v1 |  ，    | v₀ | 和 | v1 |    是  v₀ 和 v1  的 绝对值，  也可以说 速率  。

 

第二步 时，  大球 M 的 动量 是 m v₀ ，    到 第三步，   M 一直在加速，   因此 第三步 时 M 的 速度 大于 第二步 时 的 速度，  则 第三步 时 M 的 动量 大于 第二步 时 M 的 动量  m v₀  。

 

m v₀  是 第一步 时 的 系统 总动量，   记为  P₀  =  m v₀  ，      M 的 动量 记为  PM，    m 的 动量 记为 Pm  ，

 

第三步 时，    PM > m v₀  =  P₀  ，   Pm = m v1，     可知    | PM | >  | P₀ |  ，    | PM | + | Pm | >  | P₀ |

 

 | PM | + | Pm | >  | P₀ |      表示  第三步 时 的 动量绝对值 总和 大于 第一步 时 的 动量绝对值 总和，   这 意味着 系统 的 动能总和 增加了  。

 

这个 现象 称为    “能量可以创生现象”    。

 

这里，  如果要 “能量守恒”，  也就是 让 系统 的  动量绝对值 总和 守恒，    就要 在 比如 小球 m  远离 大球 M 时，   不能把 m 减少的 动量 全数 传给 M，   要 把 m 减少 的 动量 的 一部分 由 引力 自己 “储藏起来”，   只 把 另一部分 传给 M ，   但 这样 就要求  对 m 的 力 F 大于 对 M 的 力 F，     这样 牛顿第三定律 就 不成立 了  。

 

如果 既要 动量绝对值 总和 守恒，   又要  牛顿第三定律  成立，   则 M 在 F 作用下 的 加速度 比 F / M 要 小一些，   实际上 就是 牛顿第二定律 不成立，  这样 动量 就 不守恒 了  。

 

其实这里还是有一点问题的，   第一步 和 第三步 的 M 和 m 的 距离 都为 L，   但 第一步 的 M 和 m 之间 的 “引力势能” 和 第三步 的 M 和 m 之间 的 “引力势能”  相等 吗 ？

 

 

再来看一个 实验，      一个 电磁铁 固定，    把 一块 永久磁铁 放到 离 电磁铁 一段距离 的 地方，  然后 让 电磁铁 通电， 产生磁性，  电磁铁 的 N 极 正对 永久磁铁 的 S 极，  N 极 和 S 极 产生 引力，   吸引 永久磁铁 向 电磁铁 运动，   到达 电磁铁 时，  永久磁铁 速度 为 v，  具有 动能，   而 刚才 我们 把 永久磁铁 拿到 离 电磁铁 一段距离 的 地方 时，  电磁铁 没有 引力，   因此 我们 并没有  克服 磁力（引力） 做功，    因此 永久磁铁 速度 为 v 的 动能 是 凭空创造出来 的  。

 

一般，   我们 想当然 的 说 “能量守恒”，   大概 是 觉得 万有引力 不会断电，      假设 我们 让 一艘 飞船 以 速度 v = v₀ 从 地面 出发，  飞到 距离 地球 L  时 v = 0，  此时，  地球引力 没了，  地球 没有 引力 了 ，  飞船 就 停在 了 太空 中，   说好的 “动能转换成 引力势能 储存起来”  呢 ？        于是，  我们 开动 飞船 的 火箭发动机，  让 飞船 飞回地球，   飞船 到达 地面 时，   地球引力 恢复了，   地球 又 有 引力 了  。   飞船 出发 时 速度 为 v₀ ，    这个 动能 不是i说    “转换成 引力势能 储存起来”   了吗 ？      现在 到 哪里 去找  ？

 

我还 思考了 一些 详细 的 情况 ，   但 说起来 比较麻烦，  就不说了 。   比如 大家 可以 分析 一下 弹簧 的 情况 看看  。

 

我们可以把 功 定义 为 力 * 时间，  即  F * t，   把 能 定义为  | mv | ，   即 动量 的 绝对值   。

 

有时候，   动量（绝对值）  会 转换成 其它形式，  比如 弹性 、热  。   这里 又 引出了一个问题，   罡吧  @罡风潇洒   提出的 问题 ：     究竟是 原子分子微粒 运动 是 热，   还是 热 让 原子分子微粒 运动  ？