《牛顿和莱布尼兹对最速降落线问题的解法，少为人知》 回复

《牛顿和莱布尼兹对最速降落线问题的解法，少为人知》    https://tieba.baidu.com/p/7676293920    。

 

 

牛爵爷 和 莱布爵爷 的 图 不知 是 什么，   但 这 2 张图 让人 联想起 古典数学 的 风格  。  古典数学 的 风格 是  叙拉古 古希腊 古罗马 ，  和 地中海 吹来 的 海风  。    要不再加个 大西洲 ？

 

古典数学 + 最速降线  确实 是 一道 风味 独特 的 料理  。   （笑）          用  古典数学 的 思维 和 眼光 来 研究 最速降线  充满了 穿越的 奇妙 体验  。

 

试想，    我们 是 古人，   用 铅笔 在 微微泛黄 的 图纸 上 绘画 着 由 圆周 或 各种图形 旋转（运动） 出来 的 各种曲线，    思索着，    小球 最快滚落 的 路径，     这 ，  非常 富有 电影感，   穿越感，  游戏画面感   。

 

用 折线 分析，  会 知道  让 小球 滚落 时间 最短 的 路径 不是 平 的 斜坡，   也不是 太陡 的 折线，   就是说 要 “凹” 一点，   但 又 不能 太 “凹”   。

 

直觉上，      数学家 们 想要 寻找 一条   “凹” 一点，   又 不能 太 “凹”   的  ，   对称 的 曲线  。

 

半圆 对称，  但 太 凹 了，    而且 如果 圆 和 重力 下 滚动  的 最快路径 直接 对应，  会不会 太 巧合 了 ？    与其说是 巧合，  不如说是 突兀 ，  总觉得  答案 不会 如此简单  。

 

“最速降线”  似乎 要 比 半圆 更要有一些  “技术含量”   才行  。

 

椭圆  的  “凹” 可以调节，   可以 调 到   “凹” 一点，   又 不能 太 “凹”   ，   但 正因为 可调，  问题来了，    要 调到 多 “凹”    才是 最速降线  ？

 

另外，   椭圆 的 对称性 还 不够 理想   。

 

等，    为什么要  “对称”  ？      这个嘛，   你去 问 爵爷们 和 数学家 吧 ，   哈哈  。

 

摆线，    由 圆 滚动产生，   这个不得了，    圆 是 对称 的，   滚动 也是 对称 的，   滚动 时 的 前进 是 线性 的，   这样，   摆线  比 圆 多了 一点 复杂性 、“技术含量”，    又 保持了 脱胎于圆  的  近乎 完美  的 对称  。

 

摆线 各处 的 曲率 似乎 是 相等 的  。   我把  各处 曲率 相等 的 曲线 叫做 “各处同性”  曲线  。     这一类 曲线 任意 截取一段，  都可以和 其它 部分 重合  。

 

从 数学 上，    摆线 方程  比 圆  复杂一点，    但 也 不太 复杂，    可以用 初等函数 表示，    和 三角函数 有关  。

 

这些 特点  恰到好处 的 戳中（挠到） 了  数学家 的 痒点，    （爵爷们）数学家 们 直呼过瘾，   内心一阵狂喜 ：     这一切 都 那么 和谐，  刚刚 好  ！

 

其实回到 更古老些 的 时候，   还没有 牛顿力学 和 微积分 的 时候，  比如 古希腊，    以 古希腊人 的 数学 和 科学 思维，   也可能  提出 最速降线问题  和  发现  最速降线 是 摆线 的 ，  虽然 不能  严格证明，   但 可以 实验检验  。

 

古人 若 发现 最速降线 是 摆线  凭 的 是 数学 、科学 思维，  认为 数学 、科学 存在 简明性 、和谐性 ，  从 现实 中 抽象出 的  符号 表达了 规律   。

 

但  古希腊 时代，    人们 对 物理 的 认识 还不足，   可能 还 在 思考  “两个 铁球 是否 同时落地”  、“一吨 棉花 和 一吨 铁 哪个 更重”    这一类问题，  因此 可能 还 不会 想到 最速降线问题  。 如果  两个铁球同时落地 的 问题 早早 被 证实 认识，    那么 古人 是 可能 提出 最速降线问题，   并 发现 最速降线 是 摆线 的  。

 

但   最速降线 的 实验装置，   不是 正好 可以 观察 检验   一轻一重 两个小球 谁 先 滚落到 终点 吗  ？