《数学 的 最后一个 杰作 ： 傅里叶级数》 里 的 回复

《数学 的 最后一个 杰作 ： 傅里叶级数》     https://tieba.baidu.com/p/7647533106     。

 

 

9 楼

回复 4 楼  @dons222 ，

 

你一说， 我想起来了，  要 计算 旋转 平移 的 是 模型 上 很多的 点 ，   不是  一两个 点，   所以 大批量封送 到 GPU 计算  。  如此，  如果 是 有 加法 也有 乘法，  也许 加法 要 封送一次，乘法 要 封送一次，    加法 和 乘法 之间 交换数据  会 产生 一些 中间环节  。

 

我想  偏心旋转 仍然 是 2 次 旋转组成，   以 无限远 的 地方 为 原点 旋转一次， 以此 平移，   以 实际要旋转的 “支点” 为 原点 旋转一次，  以此 旋转  。

 

对于 以 无穷远 的 地方 为 原点 旋转坐标系 的 问题，   我 首先 想到的 是 精度，  即 计算机 的 运算精度，  比如 浮点数 的 精度 ，  即 有效数字位数  。

 

一直以来，   我一直 有一个 担心，   也 没 完全 搞清楚，   一些 缩放法，  是否 最终 都是 在 拼 精度 ？   如果 计算机 的 精度 不够，   比如 浮点数 的 有效数字 不够，   则 缩放 也许 是 “缩前放后一个样” ， “竹篮打水一场空”，   收不到 实际 的 效益 ？

 

32 位 浮点数 的 有效数字 范围 大概 是  - 20 亿 ~ 20 亿 ，    64 位 是    - 400 亿亿 ~ 400 亿亿 ，    如果   把  “无穷远” 设为   400 亿亿，   那么，   旋转 产生 的 近似平移 的 距离 可以 精确到 1， 或者说 个位数，    两者 比值 是   400 亿亿  : 1  ，   好像 很 可观  。 

 

但 到底 和 精度 有没有 关系 呢 ？     我还是 没 搞清楚  。

 

第二，  理论上，  以 二维坐标系 为例，   设 物体 A 的 坐标 是  ( Xa, Ya ) ，  Xa > 0 ,  Ya > 0 ，  物体 A 可以看作一个点  。    A 在 y 方向 上 离 原点 很远，即 Ya 很大 ，  在 x 方向 上 离 原点 很近， 即  Xa 很小，    坐标系 围绕 原点 旋转一个 很小 的 角度 θ，   旋转后  A 的 坐标 是  ( Xa ′, Ya ′ ) ，    ⊿ x = Xa ′ - Xa ，  ⊿ y = Ya ′ - Ya ，    要 满足 ⊿ x 远大于 ⊿ y，   才能 用 旋转 来  近似  平移  。

 

数学上，   可以表述为，    Ya -> 无穷，     θ  是 无穷小，  和  Ya 同阶，   试证明，  ⊿ x 是 有 确定大小 的 值，   ⊿ y 是 无穷小  。

 

也可以 等价 的 表述 为，    Ya 是 有确定大小 的 值，   θ  -> 0 ，     试证明，  ⊿ x 是 无穷小，   ⊿ y 是 高阶无穷小  。

 

二维坐标系 旋转 公式 主要 是 和角公式，     三维坐标系 旋转 可以由  三次 二维坐标系 旋转 合成  。

 

可以看到一个问题，   无论 二维 还是 三维，  都 需要  在 一个 坐标轴 方向 上 物体 离 原点 很远，   才能 用 旋转 近似 另一个（其它） 坐标轴 上 的 坐标平移  。

 

物体 离 原点 很远 的 这个 方向 的 坐标轴 的 坐标 平移 不能  通过 旋转 近似  。

 

比如，   x - y - z 坐标系，   让  物体 在 z 轴 方向上  离 原点 很远，    则 可以用 旋转 来 近似 物体 在  x 轴方向 、y 轴方向 上 的 平移，  但 不能用 旋转 来 近似 物体 在 z 轴方向 上 的 平移  。

 

也就是，     我们 正对 物体，   物体 离 我们 很远，   可以让 我们 或 物体 旋转 来 近似 物体 相对于 我们 的 左右移动 上下移动，   但是 不能 用 旋转 来 近似 物体 朝 我们 靠近 或 远离 的 移动  。

 

这里 涉及 的 证明 大家 都会，    但 我还是 写一下，     后面连载  。     （不一定 天天连载，  可能 隔几天 连载一次）

 

 

 

 

 

 

10 楼

接 9 楼  。    @dons222 

 

用 一次 旋转 来 实现 平移 + 旋转 是可以的，只要 选择 合适 的 支点 就行  。

 

 

 

 

 

 

未完待续  。

 

 

 

 

 

 

 

 

11 楼

接 10 楼  。

9 楼 的 要 证明 的 数学题目，   简单的，  可以这样来证 ：

 

 

 

 

⊿ x = BH，   ⊿ y = AH，    证明  θ -> 0 时，    BH 是 无穷小，   AH 是  高阶无穷小  。

 

实际上 就是 证明  θ -> 0 时，    sin θ  是 无穷小，    1 - cos  θ 是 高阶无穷小  ，  或者说，  求    ( 1 - cos  θ ) / sin θ  ,  θ -> 0  的 极限， 哈哈  。

 

当  θ -> 0 时，       1 - cos  θ  -> 0 ，  sin θ -> 0 ，   用 洛必达法则

 ( 1 - cos  θ ) / sin θ  ,  θ -> 0

=     ( 1 - cos  θ ) ′ / ( sin θ ) ′

=     sin θ  / cos θ

=     sin 0  / cos 0

=     0  / 1

=     0

 

即   ( 1 - cos  θ ) / sin θ  ,  θ -> 0   的 极限 是 0，     ( 1 - cos  θ ) / sin θ  ,  θ -> 0   是 无穷小，    所以  1 - cos  θ  是 sin θ  的 高阶无穷小  。

 

那     1 - cos  θ  比  sin θ    高了 几阶 呢 ？     可以这样看 ：

 

 ( 1 - cos  θ )  /  θ ²  ,   θ -> 0

过程略

=    1/2

 

所以    θ  ->  0 时，   1 - cos  θ  和  θ ²  是 同阶无穷小，   而   θ ² 比 θ  高了一阶，    所以        1 - cos  θ  比   θ  高了一阶，    又  θ  和  sin θ  是 等价无穷小，   所以   1 - cos  θ  比   sin θ  高了一阶  。

 

严格一点，   A 点 不一定 在  y 轴 上，    这要用 和角公式 证，  后面连载  。

 

 

刚在 10 楼 的 回复 中 和  dons222 讨论，  现在 的 需求 看起来是，  在 三维 下 要 求出 一次 旋转 等价于 平移 + 旋转 的 支点 和 围绕 3 个 坐标轴 旋转 的 角度  。

 

在 模型 上 找一点  A， 坐标为  ( Xa, Ya, Za ) ，    计算 A 点 平移 + 旋转 后 的 的 坐标   ( Xa ′, Ya ′, Za ′ ) ， 

 

设     坐标系旋转公式 为    

 

x ′  =   f ( X支, Y支, Z支,  θx,   θy,   θz,  x )

y ′  =   f ( X支, Y支, Z支,  θx,   θy,   θz,  y )

z ′  =   f ( X支, Y支, Z支,  θx,   θy,   θz,  z )

 

x, y, z  为 某点 旋转前 的 坐标，   x ′, y ′, z ′  为 旋转后 的 坐标，     X支, Y支, Z支  为 支点坐标 ，   θx,   θy,   θz  为 围绕  x, y, z 坐标轴 旋转 的 角度  。

 

这样，   可以 列 一个 方程组 ：

 

Xa ′  =   f ( X支, Y支, Z支,  θx,   θy,   θz,  Xa )

Ya ′  =   f ( X支, Y支, Z支,  θx,   θy,   θz,  Ya )

Za ′  =   f ( X支, Y支, Z支,  θx,   θy,   θz,  Za )

 

 Xa, Ya, Za ，  Xa ′, Ya ′, Za ′    是 已知数，    X支, Y支, Z支,   θx,   θy,   θz  是 未知数  。

 

有  6 个 未知数，   因此 还要 再找一点 B  ( Xb, Yb, Zb ) ，    同样 计算出 平移 + 旋转 后 的 坐标   ( Xb ′, Yb ′, Zb ′ ) ，   再列 3 个 方程，    这样 就 是  6 个 方程，   组成了  6 元方程组，

 

解这个 方程组，  可以 求得  支点  ( X支, Y支, Z支 )  和 旋转角度  θx,   θy,   θz  。

 

以    ( X支, Y支, Z支 )   为 支点  旋转  θx,   θy,   θz ，   这样一次 旋转 的 效果 等价于  平移 + 旋转 。

 

 

 

 

 

 

14 楼

dons222   思维机器，    看了  11 楼 13 楼 的 回复，  对 你们 的 架构 就 比较清楚了 。  大概 是 这样，  有一个 全局坐标系 O，   在 O 里 有一个 固定 位置 和 角度 的 镜头，  要 从 不同 位置 和 姿态（角度） 观察 物体 时，  可以先在 O 系 里 平移物体，  再 选取一个 新的 坐标系 O ′ ，   以  O ′  为 支点 旋转 物体，   然后 再由  O 系 里 的 镜头 观察 ，  观察 指 透视成像  。

 

O 系 的 平移 和 O ′ 系 的 旋转  可以让  物体 相对于 镜头 处于 任何 位置 和 姿态（角度） 。

 

现在  dons222 的 需求 是  把  O 系 的 平移 省掉，    用  O ′ 的 一次旋转 就 可以起到 O 系 平移 和 O ′ 系 旋转 的 效果  。

 

其实 可以有 2 种 架构，

1    移动镜头，   平移 和 旋转 镜头 使之 在 需要 的 位置 和 角度 对着 物体，   这个 方法 的 优点 是 不需要 物体 的 大量点 计算 平移，  也 不需要 物体 的 大量点 的 O 系 和 O ′ 系 之间 的 坐标变换  。        只需要 计算 镜头 的 平移 和 旋转，  这只 需要 计算 几个点  。        镜头 对好 物体 后，   直接 透视成像 就可以 ，   透视成像 使用  O 系 坐标  。

2    固定镜头，   对 物体 平移 和 选取 O ′  让 物体 旋转 使 物体 移动 到 指定 的 位置 和 旋转 到 指定 姿态（角度），    然后 由 固定镜头 透视成像  。  这个 方法 需要 做 物体 的 大量点 在 O 系 里 的 平移计算，   然后 还要 把 物体 的 大量点 的 O 系 坐标 转换成 O ′ 系 的，  然后 在 O ′ 里 旋转 物体，  这需要 计算 物体 大量点 的 旋转，   再 把 旋转后 的 物体 大量点 的 O ′ 系 坐标 转换回 O 系 坐标，   然后 由  O 系 的 固定镜头 透视成像  。

 

方法 1  只能 用于 整个场景（所有 物体） 的 位置 和 角度 一起改变 的 场合，     方法 2 可以用于  分别 对 一些 物体 移动 和 旋转 不同的 位置 和 姿态（角度） ，  再 一起 观察（透视成像） 的 场合  。

 

 

接下来  分析 二维 和 三维 上 能不能 通过 一次旋转 实现（等价）  平移 + 旋转  。 

 

先看 二维，      目前 的 结论 是 可以 ，  但 具体 的 证明 没有写，  可以来看 一个 例子 ：

 

 

 

AB 先 平移，  再旋转，   到    A ′ B ′  的  位置  。  A ′  在 AB 的 延长线 上，   AB 和 A ′ B ′   垂直  。  能不能 找到 一个 支点  O2 ，  让 AB 围绕 O2 旋转，  一次 旋转 就可以 让 AB 旋转到  A ′ B ′ ， 和   A ′ B ′   重合 ？

 

乍一看，  好像 不行，  找不到 合适 的 支点  O2，       但 实际上 是 可以的  。

 

再来 看 三维，    目前 的 结论 是 不行，    可以这样 证明 ：

 

一次 三维旋转 由 3 次 二维旋转 组成，  在 三维空间 里 取 一段 线段  AB，  再在 另一个 地方 取 同样 长度 的 一段 线段   A ′ B ′  ，   假设 一次 三维旋转 可以 让 AB 旋转 到  A ′ B ′  处 并 和  A ′ B ′   重合，    A 和  A ′ 重合，  B 和  B ′  重合，     这 需要 3 次 二维旋转，  也可能 只要 2 次 或 1 次，   不管怎样，   最后一次，    必然 是 一个 二维平面 上 让  AB 和 A ′ B ′   旋转重合 。

 

比如，  最后一次旋转 是 围绕  z 轴 旋转，   在 x - y 平面 或 平行于 x - y 平面 的 平面 上 旋转， 这个 平面 记为 P，  z 轴 和 P 的 交点 记为 Op， 根据 上文 讨论 的 二维 上 一次旋转 实现（等价） 平移 + 旋转 的 原理，  P 上 的  AB 和  A ′ B ′   要  旋转重合，   要 选择一个 正确的 支点 O2，    而 这个  O2 很可能 并不和 Op 重合，  如此，  围绕 O2 的 旋转 就不是 围绕 z 轴 的 旋转，  也就是  围绕 O2 旋转 使  AB 和  A ′ B ′  重合，   但  围绕 O2 旋转 不是 围绕 z 轴 旋转  。 

 

所以 一次 三维旋转 不能 实现 （等价） 平移 + 旋转  。

 

还需要 补充 一点，   三维旋转 的 3 次 二维旋转 可以 有 6 种 旋转顺序，  比如 先围绕 x 轴 旋转， 再围绕 y 轴旋转， 再围绕 z 轴旋转， 记为  x -> y -> z，   还有   x -> z -> y ,   y -> x -> z ,  y -> z -> x ,   z -> x -> y ,   z -> y -> x   。  不同 的 顺序 旋转的 结果 （AB 的 位置 和 姿态 ( 角度 ) ） 是 不一样 的  。

 

但 总可以举出例子  （AB 和  A ′ B ′ ），   使得  无论 以 何种 顺序 旋转，    最后 一次 二维旋转 都会 出现 上述 的  O2 不和 Op 重合 的 情况  。

 

以上 证明    一次 三维旋转 不能 实现 （等价） 平移 + 旋转  。

 

 

这次 写 的 时间长 是 想的多，   一些 中间过程 也 推翻重来，  没有 写出来  。

 

 

 

 

16 楼

之前 认为 三维 里 平移 + 旋转 不能 用 一次旋转 来 实现（等价） 的 结论 是 错误的， 我刚 想到了一个 方法 ， 用 2 个 二维旋转 就可以 实现 线段 AB 任意 的 位置姿态 变成 另一个 位置姿态 。 这个 方法 的 解 至少 有 2个， 可能 还有 若干个 。 这个 方法 跟 你说的 固定一个点 比如 B 在 一个 轴 上， 围绕 轴 旋转 的 方法 差不多 。

 

除了 上述方法， 因为 O ′ 可以是 任意的， 任意 的 O ′ 可能 还会产生 无数个 解 。

 

 

17 楼

三维旋转 的 讨论内容 后续 请看 《三维坐标系由一次转动代替“平动+转动”是否能得到数学证明?》 https://tieba.baidu.com/p/7656957355 。

 

 

 

 

20 楼

fjg5610  ：

模糊集不是数学问题？开创了人脑辩证思维的形式化方法。

 

K歌之王 :模糊集 是 模糊数学 吗 ？ 30 年前 就说 神经网络 和 模糊数学 是 人工智能 的 两个方向， 如今是 被 神经网络（卷积） 一统天下 了 ？ 不过 未来 白盒人工智能 里 模糊数学 应该 会 起作用 的 。

K歌之王 :模糊数学 也只是 发明了一些 形式 吧 ？ 发明了 一种 数学语言 。 我想 用 计算机语言 的 if else 也能 表达 吧 ？ 说白一点， 用 人类语言 大白话 也能表达（更能表达） 。