又 看到 数学吧 的 两题

又 看到 数学吧 的 两题  。

 

《孩子又来提问了 求助各位大神》    https://tieba.baidu.com/p/7603489362

 

第 1 题

 

第 2 题

 

 

 

 

 

 

为什么 要说 “又”  呢 ？        因为 这 两题 是      已封12138    发的，    前几天 刚 看到 他 发 的 一题 ，   见  《数学吧 的 一题 《实在想不出来了》》    https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15497036.html    ，   呵呵  。

 

做 一下  第 1 题 的  (1) 小题  ，        但  题目 似乎有点 问题  。

 

n  ʃ  x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx      里 有 2 个 变量，   n 和 x  ，     但 n 、x 之间没有关系，  可以 固定 一个 ，   让 另一个 变化，  这 类似 偏导数 和 重积分，   这也是  “多元 微积分”  吧  ！

 

n  ʃ  x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ]

=    ʃ  n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx  

 

先求   n x ^ ( n - 1 )  ,  n -> 无穷  的 极限 ，   n 是 变量，  x 是 常量 ，  x ∈ [ 0, 1 ]   。

当   x = 0 时，    n x ^ ( n - 1 )  ,  n -> 无穷  =  0

当   x = 1 时，    n x ^ ( n - 1 )  ,  n -> 无穷  =  n -> 无穷

 

当   x ∈ ( 0, 1 )  时，   可以证明   n x ^ ( n - 1 )  ,  n -> 无穷  的  极限 是  0 ，  哈哈哈，  证明过程嘛，  就不告诉你， 就不告诉你， 就不告诉你  。

 

即    当   x ∈ ( 0, 1 )  时，   lim n x ^ ( n - 1 )  ,  n -> 无穷  =  0

即    当   x ∈ ( 0, 1 )  ，   n -> 无穷 时，      n x ^ ( n - 1 )   是 无穷小，

 

这样，    在  x ∈ ( 0, 1 )  里，    n x ^ ( n - 1 ) f ( x )  =  无穷小  *   f ( x )  ，

而    无穷小  *   f ( x )    是 不定式，     如果 不知道  n x ^ ( n - 1 ) 和  f ( x )  之间 是否是 同阶无穷大（无穷小） 、高阶无穷大（无穷小） 的 关系 的 话，     n x ^ ( n - 1 ) f ( x )    是 不定式，  是 无法 计算      ʃ  n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx   ,   [ 0, 1 ]    这个 定积分 的  。

 

但   继续想一下，    y = n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷   是 可以计算 积分 的  。    具体的说，   虽然  在  x ∈ ( 0, 1 )  里，  n -> 无穷 时，  n x ^ ( n - 1 )   是 无穷小，   但  y = n x ^ ( n - 1 ) , n -> 无穷 在 [ 0, 1 ]  上 的 定积分 不是 无穷小，   而是  一个 确定大小 的 值，   这个 值 是  1  。

 

ʃ  n x ^ ( n - 1 ) dx   =   x ^ n

[ 0, 1 ] 上 的 定积分   ʃ  n x ^ ( n - 1 ) dx ,  [ 0, 1 ]  =  1 ^ n  -  0 ^ n = 1

 

同样，    可以 证明，   当  n -> 无穷 时， 在   x ∈ ( 0, 1 ) 里，   n ² x ^ ( n - 1 ) -> 0，  也就是  n ² x ^ ( n - 1 ) 在  x ∈ ( 0, 1 ) 里 也是 无穷小，  但 是  y = n ² x ^ ( n - 1 )  也是 可以 计算 积分 的 。

 

ʃ  n ² x ^ ( n - 1 ) dx  =   n x ^ n

[ 0, 1 ] 上 的 定积分   ʃ  n ² x ^ ( n - 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  n * 1 ^ n  -  n * 0 ^ n = n = 无穷

 

y = x ^ ( n - 1 )  也 可以 计算 积分，

 

ʃ  x ^ ( n - 1 ) dx  =   1 / n * x ^ n

[ 0, 1 ] 上 的 定积分   ʃ  x ^ ( n - 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  1 / n * 1 ^ n  -  1 / n * 0 ^ n = 1 / n = 无穷小

 

既然   n x ^ ( n - 1 )  可以计算 定积分，   那   n x ^ ( n - 1 )  f ( x )    说不定 也能 呢  。

 

 

换种做法，   用 分部积分法 来 做，

 

 ʃ  n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx  

=   ʃ  ( x ^ n ) ′  f ( x ) dx

=   x ^ n  f ( x )  -   ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx          (1) 式

 

刚刚 在 上文 我们计算了  当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ ( n - 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小 ，  也可以说   当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ n dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小，

由此，  可以认为，  若  f ′ ( x ) 和 n 无关 （ f ′ ( x ) 里 没有 n ） ，   则，    当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小 ，  （滑稽）

 

 ʃ  n x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]

=    1 ^ n  f ( 1 )   -   [  ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx , x = 1  ]   -   0 ^ n  f ( 0 )   +   [  ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx , x = 0  ]

=    1  *   f ( 1 )   -    0  *   f ( 0 )   -    {  [  ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx , x = 1  ]   -   [  ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx , x = 0  ]  }

=     f ( 1 )   -   0    -    ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]

=     f ( 1 )    -    ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]

=     f ( 1 )     -     无穷小

=     f ( 1 )     -     0

=     f ( 1 )                        (2) 式

 

即      n  ʃ  x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ]   ,   n -> 无穷     =      f ( 1 ) 

 

这就 证明了 第 (1) 小题   。

 

 

第 (2) 小题

n ²  ʃ  x ^ ( n - 1 )  f ( x ) dx

=    n  ʃ  n  x ^ ( n - 1 )  f ( x ) dx

=    n  ʃ  ( x ^ n ) ′   f ( x ) dx

=    n  [  x ^ n f ( x )  -  ʃ  x ^ n  f ′ ( x ) dx  ]

=    n  [  x ^ n  f ( x )  -   1 / ( n + 1 )  x ^ ( n + 1 )   f ′ ( x )   +   ʃ  1 / ( n + 1 )  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx  ]

=    n  x ^ n  f ( x )   -   n / ( n + 1 )  x ^ ( n + 1 )   f ′ ( x )   +   ʃ  n / ( n + 1 )  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx 

因为   n -> 无穷，     n 和 n + 1 等价，可以约掉

=    n  x ^ n  f ( x )   -   x ^ ( n + 1 )   f ′ ( x )   +   ʃ  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx 

 

和  (1) 小题 同理，    上文 我们计算了  当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ ( n - 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小 ，  也可以说   当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ ( n + 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小，

由此，  可以认为，  若  f ′ ′ ( x ) 和 n 无关 （ f ′ ′ ( x ) 里 没有 n ） ，   则，    当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ ( n + 1 )  f ′ ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小 ，  （滑稽）

 

n ²  ʃ  x ^ ( n - 1 )  f ( x ) dx   ,    [ 0, 1 ]

=    n  1 ^ n  f ( 1 )   -   1 ^ ( n + 1 )   f ′ ( 1 )   +   [  ʃ  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx , x = 1  ]   -    n  0 ^ n  f ( 0 )   +   0 ^ ( n + 1 )   f ′ ( 0 )   -   [  ʃ  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx , x = 0  ]

=    n  1 ^ n  f ( 1 )   -   1 ^ ( n + 1 )   f ′ ( 1 )   -    n  0 ^ n  f ( 0 )   +   0 ^ ( n + 1 )   f ′ ( 0 )   +   [  ʃ  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx , x = 1  ]   -   [  ʃ  x ^ ( n + 1 )   f ′ ′ ( x ) dx , x = 0  ]

=    n  f ( 1 )   -    f ′ ( 1 )   -    0   +   0  +    ʃ  x ^ ( n + 1 )  f ′ ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]

=    n  f ( 1 )   -    f ′ ( 1 )    +    ʃ  x ^ ( n + 1 )  f ′ ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]

=    n  f ( 1 )   -    f ′ ( 1 )    +    无穷小

=    n  f ( 1 )   -    f ′ ( 1 )    +    0

=    n  f ( 1 )   -    f ′ ( 1 ) 

因为    f ( 1 )  =  0  

=    n  *  0   -    f ′ ( 1 ) 

=    0   -    f ′ ( 1 ) 

=    -   f ′ ( 1 ) 

 

即      n ²  ʃ  x ^ ( n - 1 ) f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ]   ,   n -> 无穷     =      -   f ′ ( 1 )

 

这就 证明了 第 (2) 小题   。

 

虽然 证明了 题目，   但也 遗留了 不少问题 待 推敲，   刚 我们 说   

因为  当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ ( n + 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小，  所以  当  n -> 无穷 时，  ʃ  x ^ ( n + 1 )  f ′ ′ ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小 ，  这里 的  f ′ ′ ( x )  可以是 任意 的  f ( x )  ，   即 对于 任意 的 f ( x ) ，   ʃ  x ^ ( n + 1 )  f ( x ) dx  ,  [ 0, 1 ]  =  无穷小  。

既然如此，    那  上文 也 计算了   当  n -> 无穷 时，    ʃ  n ² x ^ ( n - 1 ) dx  ,  [ 0, 1 ]   =   无穷，   按理，  n ²  ʃ  x ^ ( n - 1 )  f ( x ) dx , [ 0, 1 ]  也就是   ʃ  n ² x ^ ( n - 1 )  f ( x ) dx , [ 0, 1 ]  也应该是 无穷 吧 ？

但 这里 证明 的 结论 是   ʃ  n ² x ^ ( n - 1 )  f ( x ) dx , [ 0, 1 ]  =  -   f ′ ( 1 ) ，    当然 有一个 条件是    f ( 1 )  =  0  。

 

结论 耐人寻味  。    这里面 埋藏了   无穷 和 极限 的 奥秘，  无穷大 、无穷小 、0 的 关系 和 定义，   多元微积分（多变量微积分） 的 运算法则 定义  。

 

 

第 2 题

 

一开始 用   

 

ʃ  [ f ′ ( x ) ] ² dx = ʃ  f ′ ( x ) d [ f ( x ) ]

分部积分法

{ [ f ( x ) ] ² } ′  =   2 f ( x ) f ′ ( x )

{ [ f ′ ( x ) ] ² } ′  =   2 f ′ ( x ) f ′ ′ ( x )

 

来 推导   ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx ，    搞了半天，  没搞出来  。

 

后来 换个 方向，    从   f ( x )  =   A ( x - x ³ )   出发 ，

 

设   f ( x )  =   A ( x - x ³ )

 ʃ  x f ( x ) dx

=    ʃ   x  *  A ( x - x ³ )  dx

=    ʃ   A ( x ² - x ⁴ )  dx

=    A  ( 1/3 x ³ - 1/5 x ⁵ )

 ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ]

=    A  ( 1/3  * 1 ³ - 1/5  *  1 ⁵  )   -   A  ( 1/3  * 0 ³ - 1/5  *  0 ⁵  ) 

=    A  ( 1/3   -   1/5  )   -    0

=    A  *  2 / 15

{  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ]  } ²

=   ( A  *  2 / 15 ) ²

=    A ²  *  4 / 225

 

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx 

=    ʃ  { [ A ( x - x ³ ) ] ′ } ²  dx 

=    ʃ  [ A ( 1 - 3 x ² ) ] ²  dx 

=    ʃ   A ²  ( 1 - 3 x ² )  ²  dx

=    ʃ   A ²  ( 1 - 6 x ² + 9 x ⁴ )   dx

=    A ²  ( x -  6 * 1/3 x ³ + 9 * 1/5 x ⁵ )

=    A ²  ( x -  2 x ³ + 9/5 x ⁵ )

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]

=    A ²  ( 1 -  2  * 1 ³ + 9/5  * 1 ⁵ )   -    A ²  ( 0 -  2  * 0 ³ + 9/5  * 0 ⁵ )

=   A ²  ( 1 -  2  + 9/5  )   -   0

=   A ²  *  4 / 5

因为   A ²  *  4 / 5 *  1 / 45  =  A ²  *   4 / 225

所以   {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ]  } ²   =    ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]

 

这样  就 证明了   当   f ( x )  =   A ( x - x ³ )   时，   题目 的 不等式 的 等号 成立  。

 

接下来看   f ( x ) 不是   A ( x - x ³ )  的 情况，

设    f ( x ) =  A ( x - x ³ )  + g ( x )  ，    g ( x ) 是 不恒等于 0 的 任意函数， 在 [ 0, 1 ] 上 连续可导  。

将    f ( x )  代入 求     {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   和   1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]     。

 

做了一下，    推导过程 有点 繁琐，     大概 推导出  {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   和    1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]  ，

 {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²  和  1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]      的 第一项 都是   A ²  *  4 / 225，    将 这一项 排除后，  只要 证明   {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   剩下的 其它项  小于  1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]   剩下 的 其它项 就可以了  。

 

 {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   剩下 的 项 里 包含   A 、G ( 1 )  、ʃ  G ( x ) dx , [ 0, 1 ]   。

A  在  G ( 1 )  、ʃ  G ( x ) dx , [ 0, 1 ]  的 系数 里，   G ( x ) 是 g ( x ) 的 原函数， 即  G ( x ) = ʃ  g ( x ) dx ，   G ( 1 ) 是  G ( x ) 在 x = 1 处 的 值，    ʃ  G ( x ) dx , [ 0, 1 ]   是   G ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 。

 

1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]   剩下 的 项 里 包含   A 、 g ( 1 ) 、g ( 0 ) 、G ( 1 ) 、 ʃ  G ( x ) dx , [ 0, 1 ]  、 ʃ  [ g ′ ( x ) ] ²  dx , [ 0, 1 ]

A  在  g ( 1 ) 、g ( 0 ) 、G ( 1 ) 、 ʃ  G ( x ) dx , [ 0, 1 ]  的 系数 里  。

 

从 这个结果 看来，     {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²  < 1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]    似乎不一定成立，   对于 任意 的 不恒为 0 的 g ( x ) ，   可以产生出 各种各样 的 情况，  大于 小于 好像 都 可能  。

但 因为 推导过程 有点繁琐，   也就 容易出错，   而 只要有 任何一点错，   结论 也会 是 错误 的，   因此 也 没有  彻底 的 对 这个 结果 分析，   只是 大概分析 了一下 。

 

后来 还 试了      f ( x ) =  x + g ( x )    。

将     f ( x ) =  x + g ( x )    代入 计算       {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   和   1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]   ，

 {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   的  结果 里 有 常数项 、G ( 1 ) 、 ʃ  G ( x ) dx , [ 0, 1 ]  ，

1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]   的  结果 里 有  常数项 1  、 g ( 1 ) - g ( 0 )  、   ʃ  [  g ′ ( x )  ]  ²  dx , [ 0, 1 ]   。

这个 推导 也是 草稿，   也可能 有 有错误  。   可以看到 这样 项 也不是很理想，   结果 里 仍然 有   ʃ  [  g ′ ( x )  ]  ²  dx , [ 0, 1 ]   项，   也就是 还是没有 把 平方 从 定积分 里  拿出来  。

虽然 没有 把 平方 从 定积分 里  拿出来，    但 还是 可以 对 这些 结果 进行 分析 看 是否 满足  左式 < 右式，    大致 的 分析 看起来，   对于 任意 的 不恒为 0 的 g ( x ) ，  看起来 还是 可能 产生  各种各样 的 情况，    左式 < 右式  和  左式 > 右式   都 可能  。

 

其实 可以 问 一个问题，     用  微分方程 （积分方程）  的 技术，   能不能 解      {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   =   1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]    这个 “定积分方程”  得出 “唯一的 解 ”     f ( x )  =   A ( x - x ³ )       ？

 

最后发现，    这个 题目 不成立  。    比如，     f ( x )  =  x

 ʃ  x f ( x ) dx

=    ʃ  x * x  dx

=    ʃ  x ²  dx

=    1/3  x ³

 ʃ  x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]

=   1/3 * 1 ³  -  1/3 * 0 ³

=   1/3  -  0

=   1/3

{  ʃ  x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]  }  ²

=   1/3  ²

=   1/9

 

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx 

=    ʃ  ( x ′ ) ²   dx 

=    ʃ  1 ²   dx 

=   ʃ  1  dx 

=   x

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx , [ 0, 1 ]

=  1 - 0

=  1

1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]  

=   1/45  *  1

=   1/45

 

1/9  <=  1/45   不成立   。

 

 比如，     f ( x )  =  x ²

 ʃ  x f ( x ) dx

=    ʃ  x * x ²  dx

=    ʃ  x ³  dx

=    1/4  x ⁴

 ʃ  x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]

=   1/4 * 1 ⁴  -  1/4 * 0 ⁴

=   1/4  -  0

=   1/4

{  ʃ  x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]  }  ²

=   1/4  ²

=   1/16

 

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx 

=    ʃ  [  ( x ² ) ′ ] ²   dx 

=    ʃ  ( 2 x ) ²   dx 

=   ʃ  4 x ²   dx 

=   4/3 x ³

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx , [ 0, 1 ]

=  4/3 * 1 ³  -  4/3 * 0 ³

=  4/3

1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]  

=   1/45  *  4/3

=   4/135

 

1/16  <=  4/135   不成立   。

 

会不会  题目 不小心 把  不等号 写反了 ？    把 不等号 反过来，  把  <= 改成   >= ，  会不会 题目 就 成立 了 ？

比如，   把  题目 改成，       {  ʃ  x f ( x ) dx  ,   [ 0, 1 ] } ²   >=   1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]  

也不成立，   比如   f ( x ) =  x ⁵

 ʃ  x f ( x ) dx

=    ʃ  x * x ⁵ dx

=    ʃ  x ⁶ dx

=    1/7 x ⁷

 ʃ  x f ( x ) dx , [ 0, 1 ]

=   1/7 * 1 ⁷  -   1/7 * 0 ⁷

=   1/7  -  0

=   1/7

{  ʃ  x f ( x ) dx , [ 0, 1 ] } ²

=   1/7  ²

=   1/49

 

ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx 

=    ʃ  [  ( x ⁵ ) ′ ] ²   dx 

=    ʃ  ( 4 x ⁴ ) ²   dx 

=   ʃ  16  x ⁸   dx 

=   16/9 x ⁹

 ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx , [ 0, 1 ]

=  16/9 * 1 ⁹  -  16/9 * 0 ⁹

=  16/9

1 / 45  *  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  ,   [ 0, 1 ]  

=   1/45  *  16/9

=   16 / 405

 

1/49  >=  16 / 405    不成立  。

 

要不就是    ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx   的   ′  和  ²   写反了  ？     把  平方 写进去，  求导数 写出来，  也就是  ʃ  [ f ′ ( x ) ] ²  dx  改成    ʃ  {  [ f ( x ) ] ²  } ′ dx ，  如何 ？

改成 这样 也 不行，  题目 也 不成立 ，   而且 ，      这 和   1 / 45   还是 没有 一毛钱 关系  啊  ？