数学吧 的 一题 《实在想不出来了》

今天（2021-11-01）晚上看到 数学吧 的 一题 《实在想不出来了》 https://tieba.baidu.com/p/7596415471

 

 

 

 

 

 

大概知道怎么做了， 但是 lim xn , n -> 无穷 的 地方 还要想一下， 题目 似乎 有点问题， 应该要求 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 要么 大于 1， 要么 小于 1 ， 如果 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 有 小于 1 也有 大于 1， 那 lim xn , n -> 无穷 似乎不存在，就是说 n -> 无穷 时， xn 并不收敛， 而是 受 无穷 支配 而 不能确定 值 。

 

@思维机器 可以看看

@已封12138

 

 

本文已发到了 反相吧  《数学吧 的 一题 《实在想不出来了》》  https://tieba.baidu.com/p/7597152622     。

 

 

2 楼

思维机器 ：    收到

 

 

3 楼

思维机器 ：   用中值定理证明

 

K歌之王: 我在 《实在想不出来了》 的 回复 里 看到 好几次 “积分中值定理”， 以前也看到过， 但 我 不知道 积分中值定理 是 什么 ， 我在下面 发 我的 做法 。 

思维机器: 回复 K歌之王 :积分中值定理有个公式，大概意思就是函数区间的积分等于区间某点的函数值乘以区间长度，这很直观的。还有微分形式的，就是拉格朗日中值定理

K歌之王 :回复 散步的鱼 :这么一说 就 明白了， 这个 积分中值 类似 交流电 的 有效值，在 物理 里 应该会 经常 见到 等效均值点 的 场景 。 刚也看了一下 拉格朗日中值定理 。

散步的鱼: 回复 K歌之王 :最近忙啊，没精力深搞

 

 

4 楼

K歌之王 ：

因为 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 非负单增， 所以， [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 就可以 妥妥的 表示 为 [ f ( x ) ]^n 和 x 轴 在 [ 0, 1 ] 上 围成的 曲边形面积 。

 

将 [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, x ] 上 的 定积分 记为 F ( x )， 可知 F ( 0 ) = 0 ， 当 0 < x <= 1 时， F ( x ) > 0 ， F ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 也是 单增 的 。

 

要 证明 题目（存在 唯一 的 xn）， 只要 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ，

 

要 怎么 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ？

 

比如， 直线 y = [ f ( 1 ) ]^n ， 直线 x = 1 和 x 轴 y 轴 围成的 长方形面积 是 大于 F ( 1 ) 的 ， 然后 …… 嘿嘿

 

 

5 楼

K歌之王 ： 

回复 3 楼 @思维机器 “最近忙啊，没精力深搞” ，

 

大家加油， 哈哈 。

 

微分形式 的 中值定理， 也就是 拉格朗日中值定理 和 泰勒级数 颇有渊源， 或者说，泰勒级数 受到 中值定理 的 影响 和 思想上 的 启发 。

 

把 f ( x ) 在 [ a,b ] 上 的 增量 等价 为 一条 斜率 为 k 的 直线 在 [ a, b ] 上 的 增量， 以此 列一个 方程， 用 微分方程 的 方法 来 解 这个 方程， 得到的就是 泰勒级数 。

 

这几天看知乎看到， 伽罗华 和 阿贝尔 解决 一元五次以上方程 没有 代数解 的 问题 前， 拉格朗日 （还是 拉普拉斯 ？ 分不清 这两位） 就 觉得 五次以上方程 的 根 可能 不能用 根式 表达 。

 

而 傅里叶级数 出现 前， 数学家们 （拉格朗日 ？ 拉普拉斯 ？） 也 隐约觉得 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。 而 傅里叶 凭 直觉 就 说 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。

 

看来 大师 们 的 杰作 也是 在 之前 的 大师 和 之前的之前的 大师的大师 那里 受到 启示 积累 一点一点 发展 来 的 。

 

 

 

 

6 楼

K歌之王 ：

5 楼 说到的  知乎 《能说说你们心目中的数学大咖(数学家or教授都行)，并且能介绍几个有关他(她)们与数学的故事吗？》  https://www.zhihu.com/question/372642069/answer/1022511118

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 楼 8 楼 9 楼 10 楼

 

一开始   想的 比较简单，     f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负连续严格增，  所以，  [ f ( x ) ] ^ n    也是 非负连续严格增，  若 f ( x ) > 1，  当 n -> 无穷 时，    [ f ( x ) ] ^ n  的 增幅猛烈，  直插云霄  。

 

设   f ( x ) 和 n 无关，  也就是   f ( x )  里 没有  n  。

 

若    x ∈ [ 0, 1 ] ，   f ( x ) < 1 ，   当  n -> 无穷 时，    [ f ( x ) ] ^ n  -> 0 ，  那么     [ f ( x ) ] ^ n  在  [ 0, 1 ] 上的 定积分  ʃ  [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]  也 趋于 0 ，  此时，    [ 0, 1 ]  上 的 任意一个  x  都能满足  f ( x ) -> 0 ，    也就是  [ 0, 1 ]  上 的 任意一个  x  都可以作为 xn，   但  这 好像 和 题意  “唯一的 xn”   不一致 了 ？

 

这些 是 刚开始 做 这题 时 的 想法， 后来没过几天，   在 做   《又 看到 数学吧 的 两题》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15522312.html  里 的 题 的 时候 发现，  一个 函数 f ( x ) ，   在  [ 0, 1 ) 上 处处 无穷小，  但是 它 在  [ 0, 1 ] 上 的 定积分 不一定 是 无穷小， 也可能是 常数 或 无穷，   这 和  f ( 1 )  的 值 有关  。

 

当然，     我们 这里    x ∈ [ 0, 1 ]  ，   f ( x ) < 1 ，  也就是  f ( 1 ) < 1，  当  n -> 无穷 时，    [ f ( 1 ) ] ^ n  -> 0 ，   所以  f ( x ) 在  [ 0, 1 ] 上 的 定积分 是 无穷小 还是 成立 的 。

 

若    x ∈ [ 0, 1 ] ，   f ( x ) = 1 ，    当然，   这种情况 是 不存在的，  因为 f ( x ) 非负连续严格增  。

 

若    x ∈ [ 0, 1 ] ，   f ( x ) > 1 ，   当  n -> 无穷 时，    [ f ( x ) ] ^ n  -> 无穷   。

因为  [ 0, 1 ]  在  x 轴 上 的 长度 为  1，   所以，  要让   [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]   ，   只要让  直线 y = f ( xn ) 在 [ 0, 1 ] 里 和  x 轴 围成 的 长方形面积 等于  [ f ( x ) ] ^ n  在  [ 0, 1 ]  里 和  x 轴  围成 的 曲边形面积 就行了 。

 

那么 这个 曲边形 的 面积   是 多大  ？     首先看一下   这个  曲边形 的  形状  。

 

一开始   想的 比较简单，     f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负连续严格增，  所以，  [ f ( x ) ] ^ n    也是 非负连续严格增，  若 f ( x ) > 1，  当 n -> 无穷 时，    [ f ( x ) ] ^ n  的 增幅猛烈，  直插云霄  。

 

既然    每个 x 的   [ f ( x ) ] ^ n  都 无穷大，   直插云霄，   一个 比一个 飞的 更高，  高到看不见， 那 这些 一个比 一个高， 高 到 没影 的  [ f ( x ) ] ^ n     连起来 的  曲线 也是 一条   直插云霄 的  “冲天线”  吧  ？            大概 这个样子 ：

 

 

 

 

 

 [ f ( x ) ] ^ n   曲线 无限趋于 和  x 轴 垂直，  和 y 轴 平行，   无限趋于 直线，   所以，  它 和 x 轴 在 [ 0,1 ] 上 围成 的 曲边形 应该是 无限趋于 一个  向上 无限开口 的  长方形 吧 ？

这 和  直线  x = 1  （图中 虚线）  和  y 轴 、x 轴 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 围成 的 向上 无限开口 的 长方形 差不多 吧  ？

两个 长方形 无限趋于 重合，    当然 两者 的 面积 无限趋于 相同  。

两个 长方形 的 宽 都是 1，   

直线 x = 1 的 高度 是 无穷， y = 无穷，  长方形 面积  =  无穷 * 1  = 无穷 

所以，     [ f ( x ) ] ^ n   曲线  和 x 轴 在 [ 0,1 ] 上 围成 的 曲边形  无限趋于 长方形，    长方形 的 高 应该是 最大 的 那个   [ f ( x ) ] ^ n，    即   [ f ( 1 ) ] ^ n  ，    当然    [ f ( 1 ) ] ^ n  也是 无穷 ， 于是      ʃ  [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]  =   曲边形面积 =  长方形面积 =  [ f ( 1 ) ] ^ n  * 1  =   [ f ( 1 ) ] ^ n ，

 

即    ʃ  [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]   =    [ f ( 1 ) ] ^ n 

    

我们 要找的  xn  要 满足   [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]  ，    由 上式 ，     显然，   xn = 1 ，  因为 曲边形 趋于 长方形 ，  所以也可以说   xn -> 1  。

 

因为 曲边形 无限趋于 长方形，  因此，  f ( x )  还可以 画成 这样子 ：

 

 

 

 

 

但    [ f ( x ) ] ^ n   曲线   不是 无限 趋于 竖直 的 直线  吗  ？   （竖直 指 垂直于 x 轴）   那 个  “横过来” 的“ 封顶” 是  怎么回事 ？    好吧， 我们可以这样说服自己，    [ f ( x ) ] ^ n   曲线  只有 上升 到  “最高” 的 时候 才  “甩过来”  封顶，    最高 是 多高 ？  是   [ f ( 1 ) ] ^ n   ？      是  无穷 ？    是 永远到达 不了  ？

 

这是 只看   f ( x ) 的 定义域 是  [ 0, 1 ]  ，

 

如果  f ( x ) 的 定义域 是 x 轴 正半轴，  也是   非负连续严格增， 那 是 在 什么时候 “甩过来” ？    是在    [ f ( 1 ) ] ^ n  ？    [ f ( 2 ) ] ^ n  ？    [ f ( 3 ) ] ^ n  ？    [ f ( 无穷 ) ] ^ n  ？

 

 

若   在  x ∈ [ 0. 1 ] 上，   有  f ( x ) < 1， 也有  f ( x ) > 1，   就有一些问题了 。  设    f ( 0.4 ) = 1，  因为  f ( x ) 连续严格增，  当然， 在  x ∈ [ 0. 0.4 ) ，   f ( x )  < 1，   当  n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 0 ，   在  x ∈ ( 0.4. 1 ] ，   f ( x )  > 1 ，   当  n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 无穷  。

 

 

看起来，    x ∈ [ 0, 0.4 ]  上 的 曲边形 面积 是 无穷小，  这样 曲边形面积 就 只要 算  x ∈ [ 0.4, 1 ]  的 部分 就可以了  。    根据 刚刚 的 做法，  这部分 曲边形 无限 趋于 直线  y =  [ f ( 1 ) ] ^ n = 无穷 在  x ∈ [ 0.4, 1 ]  上 和 x 轴 围成的 长方形，   面积  =    [ f ( 1 ) ] ^ n  * ( 1 - 0.4 )  =   [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6   。

 

现在要找一个  xn，   使    [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ，   也即是     [ f ( xn ) ] ^ n = 曲边形面积 =  [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6 ，

 

从  x > 0.4 开始，    [ f ( x ) ] ^ n  曲线 就  无限趋于 竖直 的 直线，   也就是 和 x 轴 垂直 的 直线，   也就是 无限趋于 和  直线  x = 0.4 重合，  那 这条 曲线（“直线”） 上 的 每个点 的 x 坐标 都  趋于  x = 0.4  ，

 

从 直观 上，  xn 应该是  让  直线 y = [ f ( xn ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形 面积 等于 直线  y =  [ f ( 1 ) ] ^ n = 无穷 在  x ∈ [ 0, 1 ]  上 和 x 轴 围成的 长方形 面积 的  6 / 10  ，

 

也就是    [ f ( xn ) ] ^ n  的 高度 是  [ f ( 1 ) ] ^ n  的 高度 的   6 / 10 ，    也就是       [ f ( xn ) ] ^ n = [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6  ，

 

那么，  要怎么 去找 这个 点  xn  ？

 

 [ f ( xn ) ] ^ n = [ f ( 1 ) ] ^ n * 0.6 

两边 开 n 次方

 f ( xn )  =   f ( 1 )  *  0.6 ^ (1/n)

当   n -> 无穷 时，    0.6 ^ (1/n)  ->  1

 f ( xn )  =   f ( 1 )  *  1

 f ( xn )  =   f ( 1 ) 

 xn  =  1

 

嗯 ？      不是说  从  x > 0.4 开始，      [ f ( x ) ] ^ n  曲线（“直线”）  上 的 每个点 的 x 坐标 都  趋于  x = 0.4  ？    现在  xn = 1 ，   怎么 一下子  跳到 另一边 了  ？    [ 0.4, 1 ]  的 一边是  0.4，  另一边 是  1，    从  0.4 跳到  1 ，     当然 是 从 一边 跳到 另一边 了  。

 

所以说，     [ f ( x ) ] ^ n  曲线  从  [ 0.4, 1 ]  的 左边界 0.4 跨越到 右边界 1 了  ，     [ f ( x ) ] ^ n  曲线 跨越了     [ 0.4, 1 ]  ，   其实 跨越 是 理所应当 的，     [ 0.4, 1 ]   本来 就是 定义域 的 一部分 嘛  。

 

这个 问题 称为  “跨越问题”   。

 

另一方面，   因为  xn -> 1，   所以   [ f ( xn ) ] ^ n  ->  [ f ( 1 ) ] ^ n ，     直线  y =  [ f ( xn ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0.4, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 =   [ f ( xn ) ] ^ n * 1 = [ f ( 1 ) ] ^ n * 1 =  [ f ( 1 ) ] ^ n ，  但  这个 长方形面积 应该 只等于 直线  y =  [ f ( 1 ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 的  6 / 10 ，    即   [ f ( 1 ) ] ^ n  *  0.6 ，  但现在 等于  [ f ( 1 ) ] ^ n ，   就是说， 两个 长方形 的  面积 应该是  0.6 : 1 ，   但 现在 是  1 : 1 ，    这是 怎么回事 ？

 

从 直观 和 图形 上看，    [ f ( x ) ] ^ n 曲边形面积 等于 直线  y =  [ f ( xn ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0.4, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 ，    等于  直线  y =  [ f ( 1 ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 的  6 / 10，

 

很明显，     [ f ( x ) ] ^ n 曲边形面积   只是   直线  y =  [ f ( 1 ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形面积 的  一部分（6 / 10）  ，   不会 是  全部  呀  ！

 

这个问题 称为  “部分 -> 全部”  问题   。

 

 

“跨越问题”   加上  “部分 -> 全部”  问题 ，    看起来 是 出了一些 问题，     但 没关系，   我们还有 第二套 方案，   为了讨论简单明了，   我们 回到  x ∈ [ 0, 1 ] 的 场景，  设  f ( 0 ) = 1 ，   x > 0 时，  f ( x ) > 1  。

因为  f ( x ) > 1，   当  n -> 0 时，  [ f ( x  ]) ^ n    在  x ∈ ( 0, 1 ]   上 处处  无穷大，    且  曲线 跨越了  [ 0, 1 ] ，    一般来说，   指数 n 越大，   x ^ n 曲线 就 “绷” 的 越直，     f ( x )  非负连续严格增，   [ f ( x ) ] ^ n  也差不多 这样，   当   n -> 无穷 时，   “绷” 到 “最直”  ，     那 就是    直线 x = 1  、  直线  y = [ f ( 1  ]) ^ n  和 x 轴 、y 轴   围成 的 长方形 的  对角线 吧   ？

 

 

 

 

 

 

既然 是 对角线，   那 就好办了，      [ f ( x ) ] ^ n  曲边形 就 趋于 长方形 由 对角线 分成 的  2 个 三角形 里 的 下面 一个 三角形  加上   直线 x = 1 、直线 y = 1 和 x 轴 y 轴 围成 的 边长 为 1 的 正方形  。

因为 正方形 的 面积 是  1 * 1 = 1 ，     而  长方形 面积 是 无穷大，     1 和 无穷大 相比 可以忽略，  即 可以忽略 正方形面积  。

也就是，     [ f ( x ) ] ^ n  曲边形 =  1/2 * 长方形面积， 

这样，   要 找  xn ，  使得     [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]   ，    只要 找到 一个 xn ，  使得  直线  y =  f ( xn ) ] ^ n  在  x ∈ [ 0, 1 ]  上 和 x 轴 围成 的 长方形 面积 是    直线 x = 1  、  直线  y = [ f ( 1 ) ] ^ n  和 x 轴 、y 轴   围成 的 长方形 面积 的  1/2  就行了  。

显然，    这个   xn 在  [ 0, 1 ] 的 中点，    即  xn = 0.5  。

 

 

 

 

 

这个图 和 上一幅图 是 一样 的 ，     只是因为 上一幅图 的   [ f ( x ) ] ^ n  曲线 画的 有点 曲，  从 曲线 中点（直线  y =  1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n = 无穷 和 曲线 的 交点） 作  垂线 到 x 轴 不是刚好在 0.5，  而是要 大一些， 因此 另画了一幅  。

 

这样 对不对 呢 ？     我们 验算一下，    其实 上面 也做过 这样的 计算，

 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] 

 [ f ( xn ) ] ^ n = 曲边形面积

 [ f ( xn ) ] ^ n = 三角形面积

 [ f ( xn ) ] ^ n = 1/2  *  长方形面积

 [ f ( xn ) ] ^ n  = 1/2  *   [ f ( 1 ) ] ^ n * 1

 [ f ( xn ) ] ^ n  = 1/2  *   [ f ( 1 ) ] ^ n

 [ f ( xn ) ] ^ n  = 0.5  *   [ f ( 1 ) ] ^ n

两边 开 n 次方

 f ( xn )  =   f ( 1 )  *  0.5 ^ (1/n)

当   n -> 无穷 时，    0.5 ^ (1/n)  ->  1

 f ( xn )  =   f ( 1 )  *  1

 f ( xn )  =   f ( 1 ) 

 xn  =  1

 

咦 ？     这里 算出来 的   xn  =  1 ，   而 我们  用  对角线 得出的   xn = 0.5 ，    两个 答案 不一样，   到底 那个 是 对 的  ？

 

两种方法 都是 从 对角线 出发 ，   一个 是 从 直观上 图形上 得出  xn = 0.5，   一个 是 从  算式上 方程上 算出  xn  =  1   。

 

有趣 的 是 ，     把   0.5  *   [ f ( 1 ) ] ^ n  的  0.5 换成  0.4 ，

 [ f ( xn ) ] ^ n  = 0.4  *   [ f ( 1 ) ] ^ n

两边 开 n 次方

 f ( xn )  =   f ( 1 )  *  0.4 ^ (1/n)

当   n -> 无穷 时，    0.4 ^ (1/n)  ->  1

 f ( xn )  =   f ( 1 )  *  1

 f ( xn )  =   f ( 1 ) 

 xn  =  1

 

显然，     [ f ( xn ) ] ^ n  = 0.3  *   [ f ( 1 ) ] ^ n  ，      [ f ( xn ) ] ^ n  = 0.2  *   [ f ( 1 ) ] ^ n  ，      [ f ( xn ) ] ^ n  = 2  *   [ f ( 1 ) ] ^ n  ，     [ f ( xn ) ] ^ n  = 3  *   [ f ( 1 ) ] ^ n    ……   解得 的 xn 都是  xn = 1  。        这 ？

 

这是  自变量 x  趋于 一个 值 可以 产生出 无数个 相差任意倍数 （甚至 无穷倍） 的 函数值 ？      还是 无数个 相差任意倍数 （甚至 无穷倍） 的 函数值 可以 集中“浓缩” 在 一个 x 上  ？     还是 无数条 函数曲线 可以 “重合叠加” 在一起，  相互 左移（右移） 相距 无穷小  ？

 

若    [ f ( 0.5 ) ] ^ n  =  1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n  ，     则     

[ f ( xn ) ] ^ n  =  [ f ( 0.5 ) ] ^ n    解得    xn  =  0.5

[ f ( xn ) ] ^ n  =  1/2  *  [ f ( 1 ) ] ^ n    解得    xn  =  1

 

按理，     [ f ( 0.5 ) ] ^ n  =  1/2 * [ f ( 1 ) ] ^ n   ，    那么，  这两个 方程解得 的 xn 应该是 相等 的，  但 现在得到了 两个 xn，  一个  xn  =  0.5，  另一个   xn  =  1，  并不相等，   这是 为什么 ？  是 出问题了吗 ？       还是 ，   哪个  xn 才是 正确的 ？

 

实际上，  可以得到 无数个  xn，   比如    [ f ( 0.5 ) ] ^ n   还可以表示为     [ f ( 0.5 ) ] ^ n   =   2 * [ f ( 0.8 ) ] ^ n  ，

由此     [ f ( xn ) ] ^ n  =  2  *  [ f ( 0.8 ) ] ^ n    解得    xn  =  0.8

 

或      [ f ( 0.5 ) ] ^ n   还可以表示为     [ f ( 0.5 ) ] ^ n   =   3 * [ f ( 0.7 ) ] ^ n  

由此     [ f ( xn ) ] ^ n  =  3  *  [ f ( 0.7 ) ] ^ n    解得    xn  =  0.7

 

依此类推 可以得到 无数 个 （定义域 内 任意的）  xn ，    对应  一个 函数值   [ f ( 0.5 ) ] ^ n   。

 

这是    一个 函数值  可以 对应 无数 个 （定义域 内 任意的）自变量 ？       或是   （定义域 内） 任意的 自变量 可以 任意 的 对应 一个 函数值 ？

 

1 楼 说  “ xn 并不收敛， 而是 受 无穷 支配 而 不能确定 值 ” ，    看来 是  真的 啊  ！

 

这里 的 种种 问题 称为  “重叠问题”   。

 

好吧好吧，   说点正事，       猜想一下，         ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]    表示 为   [ f ( 1 ) ] ^ n  的 倍数 大概 应该 这么写，     

 

ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]    =    k ^ n  *  [ f ( 1 ) ] ^ n    ，     0 <  k  < 1  

 

因为  f ( x ) 的 表达式 未知，  这个 k 不一定 是 常数，  可能和  x 相关，  应该说 和  x ∈ [ 0, 1 ]  相关，  也可以写成    k ( 0, 1 )  ，    于是，   可以 列 方程

 

[ f ( xn ) ] ^ n   =    k ^ n  *  [ f ( 1 ) ] ^ n    ，     0 <  k  < 1  

 

解 这个 方程 可得 xn  。    把  方程 变形一下，

两边开  n 次方

f ( xn )  =  k *  f ( 1 ) 

xn   =   f ^-¹ [  k *  f ( 1 )  ]

 

但  如果 不知道   f ( x ) 的 表达式 的 话，   求   k   比较 困难 吧  ？

 

其实 这样 意义不大，   求 k 和 求 定积分  ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]     差不多了，   哈哈  。

 

好吧，    认真一点，     再来 做一次 这题  。

 

先声明，   下面 的 积分过程 有错，   错误 是 误以为   ʃ  [ f ( x ) ] ^n dx =  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 )  ，  实际上  ʃ  [ f ( x ) ] ^n dx   !=  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 )  。

但 这段 解题过程 体现了 一些 思路 的 尝试，    也 引出了  多元微积分（多变量微积分）  的  运算规则 定义 ，    所以 仍然 保留  。

 

用  分部积分法

 ʃ  [ f ( x ) ] ^ n dx 

=   ʃ  f ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n - 1 )  dx 

=   ʃ  f ( x )  *  {  1 / n  *  [ f ( x ) ] ^ n  }  ′  dx 

=    f ( x )  *  1 / n  *  [ f ( x ) ] ^ n    -     ʃ  f ′ ( x )  *  1 / n  *  [ f ( x ) ] ^ n  dx 

=    1 / n  *  f ( x )   *   [ f ( x ) ] ^ n     -     1 / n   ʃ  f ′ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ n  dx 

=    1 / n  *  f ( x )   *   [ f ( x ) ] ^ n     -     1 / n   ʃ  f ′ ( x )  *   { 1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 ) } ′ dx 

=    1 / n  *  f ( x )   *   [ f ( x ) ] ^ n     -     1 / n   {   f ′ ( x )  *  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )   -    ʃ  f ′′ ( x )  *  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )  dx   }

=    1 / n  *  f ( x )   *   [ f ( x ) ] ^ n     -     1 / n  *  f ′ ( x )  *  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )    +    1 / n   ʃ  f ′′ ( x )  *  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )  dx 

=    1 / n  *  f ( x )   *   [ f ( x ) ] ^ n     -     1 / [ n  ( n + 1 ) ]  *  f ′ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )    +    1 / [ n ( n + 1 ) ]   ʃ  f ′′ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )  dx 

这样  无限的 积分下去

=    1 / n  *  f ( x )   *   [ f ( x ) ] ^ n     -     1 / [ n  ( n + 1 ) ]  *  f ′ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + 1 )    +    1 / [ n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) ]  *  f ′′ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + 2 ) 

-   ……   + 1 / [ n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n - 1) ]  *  f ﹙n - 1﹚ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + n - 1 )    -    1 / [ n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ]   ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + n )  dx 

(1) 式

f ﹙n - 1﹚ ( x )   表示   f ( x ) 的 n - 1 阶导数，     f ﹙n﹚ ( x )  表示   f ( x ) 的 n 阶导数

因为      n ^ ( n + 1 )   <    n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n )    <   ( 2 n ) ^ ( n + 1 )   ， 

所以，  1 / [ n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ]   可以表示为     n1 ^ ( n + 1 )  ,    n < n1 < 2n

即     1 / [ n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ]    =     1 / n1 ^ ( n + 1 )  ,    n < n1 < 2n

则   最后一项   

1 / [ n  ( n + 1 ) ( n + 2 ) …… ( n + n ) ]   ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + n )  dx 

=     1 / n1 ^ ( n + 1 )  ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + n )  dx 

=     ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *  1 / n1 ^ ( n + 1 )  *  [ f ( x ) ] ^ ( n + n )  dx

=     ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   [ f ( x ) ] ^ ( n + n ) / n1 ^ ( n + 1 )  dx

=     ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ^ [ ( n + n ) / ( n + 1 ) ]  } ^ ( n + 1 )  / n1 ^ ( n + 1 )  dx

=     ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ^ [ ( n + n ) / ( n + 1 ) ]  /  n1 } ^ ( n + 1 )  dx

当   n -> 无穷 时，   ( n + n ) / ( n + 1 )   ->   2 

=     ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )  dx

因为   n -> 无穷，   n < n1 < 2n，    所以   n1 -> 无穷，

则     [ f ( x ) ] ²  / n1  ->  0 ，   是 无穷小，       {  [ f ( x ) ] ²  / n1  } ^ ( n + 1 )   是 无穷小 的 无穷次方，  趋于  0，   也是 无穷小 ，

 

即    {  [ f ( x ) ] ²  / n1  } ^ ( n + 1 )     ->     0  

可以看作 是 0，    {  [ f ( x ) ] ²  / n1  } ^ ( n + 1 )    =    0  

于是

ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )  dx

=     ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *  0  dx

=     ʃ  0  dx

=     C  ，   C 为 任意常数               (2) 式

 

其实 这个 结果 有待商榷，    若   [ f ( x ) ]  是 无穷大，  则   [ f ( x ) ] ²  / n1  是 无穷大 / 无穷大，   结果是 不确定的，  如果 结果 不是 无穷小， 而是 常数 或 无穷大，  则     {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )    就 不是 无穷小，   就不能得到   (2) 式 结果  。  又或者，  {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )  是 无穷小， 但   f ﹙n﹚ ( x )   是 无穷大，  则    f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )  是  无穷大  *  无穷小，    结果 也是 不确定的，    如果 结果 不是 无穷小，   而是 常数 或 无穷大，   同样 也 不能得到   (2) 式 结果  。

 

而 实际上  这里参与   计算 的  无穷大 和 无穷小 是 没有办法进行 无穷大（无穷小）之间 的 乘除计算 的，  因为 它们 分别属于 两个变量 x 和 n  。

比如  [ f ( x ) ] ²  / n1   里 的    [ f ( x ) ]  和  n1 ，   因为 分别属于 两个不同的 变量 x 和 n，  且  x 和 n 之间没有关系，  x 变化 不会 引起 n 变化，   n 变化 不会 引起 x 变化 ，  因此，   若  [ f ( x ) ]   是  无穷大，   当然，  n1 本来 就是 无穷大，     [ f ( x ) ] ²  / n1  是 无穷大 / 无穷大，   这个  无穷大 / 无穷大 的 除法 是 没有办法 计算的，  不能得知 它 的 结果 是 无穷大 还是 无穷小 还是 常数  。

这里 就 涉及到  多元微积分 （多变量微积分） 的 运算法则  定义，    我们可以 这样 规定 优先级 ：      0  >  系数  >  变量

也就是  0 的 优先级 最高，   0 * 系数 = 0，   0 * 变量 = 0，   不管 系数 和 变量 是  无穷大 、无穷小 还是 常数  。

以此类推  。

相对于  x ，   包含 n 不包含 x 的 表达式  是 系数 ；     相对于 n ，   包含 x 不包含 n 的 表达式  是 系数  。

 

根据 这个 规则 ，    在   ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )  dx   中，    是  对 dx 积分，  也可以说 对 x 积分，   x 是 变量，   n 是 系数，  n 的 优先级 大于  x ，

由此，  在    [ f ( x ) ] ²  / n1    中，   无论  [ f ( x ) ]  多大，  甚至 是 无穷大，   对 n 来说，     [ f ( x ) ]   都 相当于 常数 ，   当然，  这里 是 n1，  不过 和 n 是一样 的 ， 因为  n1 是 和 n 相关 而 和  x  无关的 表达式  。

f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )     也一样，       无论   f ﹙n﹚ ( x )   多大，    甚至 是 无穷大，      对 n 来说，     f ﹙n﹚ ( x )     都 相当于 常数  。

 

这样 就可以得到   (2) 式 的 结果  。 

 

接着说，    由    (2) 式 

 

 ʃ  f ﹙n﹚ ( x )  *   {  [ f ( x ) ] ²  / n1 } ^ ( n + 1 )  dx  =  C

 

在 计算 定积分 的 时候，   这一项 会  C - C = 0   消掉，    因此 这一项 可以舍弃   。  于是，    (1) 式 舍弃这一项 之后，  就没有 积分项 了，   可以进一步 计算  。   问题是，   这玩意 能 算出来 吗  ？

假设 算出来了，    也就是  (1) 式 算出来了，   (1) 式 也就是 不定积分，  也就是  不定积分 算出来了，   根据 不定积分 把 定积分  也 算出来 了，   记为  F ( 1 )  ，

 

即       F ( 1 )  =    ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]    

 

要让        [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ]   ，

 

可以列方程  

 

[ f ( xn ) ] ^ n   =    F ( 1 ) 

两边 开 n 次方

f ( xn )  =   [ F ( 1 ) ] ^ (1/n)

xn =  f ^-¹ {  [ F ( 1 ) ] ^ (1/n)  }

 

要注意 开 n 次方 的 时候 会不会 有  “重叠问题”  喔  ！

 

 

再次声明，   (1) 式 的 积分过程 有错，   错误 是 误以为   ʃ  [ f ( x ) ] ^n dx =  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 )  ，  实际上  ʃ  [ f ( x ) ] ^n dx   !=  1 / ( n + 1 ) [ f ( x ) ] ^( n + 1 )  。

 

但 这段 解题过程 体现了 一些 思路 的 尝试，    也 引出了  多元微积分（多变量微积分）  的  运算规则 定义 ，    所以 仍然 保留  。

 

 

到此，    本次讨论 到 尾声 了 ，   上文 画 的 那些 图 叫  直观想象图，   看起来 这些 图 多少 有些问题，  那 正确的  [ f ( x ) ] ^ n  曲线 的  直观想象图 是 什么样的，   小朋友们，    你们 想到了 吗  ？