( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 是 什么 ？

1 / x * x  =  1，    所以，  1 / x 和 x 是 同阶 且 等价 的 无穷大 和 无穷小，     这里 同阶 的 意思 是 相乘 的 结果 是 常数，   等价 是 相乘 的 结果 是  1  。

 

等价无穷小，  同阶无穷小，  高阶无穷小，   等价无穷大，  同阶无穷大，  高阶无穷大，    这些 是 加减乘除 四则运算 这一层面 的 概念 ，   也可以算上 乘方 开方 。

 

但  当  变量 x 同时出现在 底数 和 指数 时，  情况 就 一样了，   底数 和 指数 之间 不能 “约分” 或 “相减” 。  比如， 底数 是 无穷小，  指数 是 无穷大，   两者 等价，或者 同阶，   但 并不能 通过 约分 或 相减 约掉消掉 化简  。

 

那 要 怎么计算  ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   的 极限  呢  ？

 

( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷 

=   [  e ^ ln ( 1 / x )  ] ^ x

=    e  ^  [  ln ( 1 / x )  *  x  ]

 

这样，   只要 求得   ln ( 1 / x )  *  x  ,    x -> 无穷  的 极限 就可以 知道   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   的 极限 了  。

 

当   x -> 无穷 时，   1 / x -> 0 ，     ln ( 1 / x ) ->  - 无穷   ，     x -> 无穷，      ln ( 1 / x )  *  x  =  - 无穷 * 无穷  =  - 无穷

 

( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷 

=    e  ^  [  ln ( 1 / x )  *  x  ]

=    e ^ ( -  无穷 )

->   0

 

做完了以后，   发现，   其实   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   的 答案 看 就可以看出来，   当  x -> 无穷 时，   1 / x -> 0 ，   是 无穷小，  无穷小 的 无穷次方 当然 更 趋于 0 了， 也是 无穷小 。

 

不过，   因为   ( 1 / x ) ^ x  里，    x  同时 出现在 底数  1 / x 和 指数 x 里，    所以，  看起来 还是 有一点迷惑性的  。

 

这里 也可以用  2 、10 或 其它 数 为 底 的 对数，    但 自然对数 的 好处 是 ，  积分 和 求导数 都 实现 了，    自然对数 向上 n 阶积分 和 向下 n 阶求导 都 打通了，  可以用  洛必达法则 求 包含 自然对数  的   0 / 0 型 极限，    泰勒展开 也可以  。      当然，   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷  很简单，   没有 用到  0 / 0 型 极限  。

 

 

其实 还有 两个 极限 比   ( 1 / x ) ^ x ,  x -> 无穷   有趣，   它们 是   x ^ x , x -> 0  和  ( 1 / x ) ^ x , x -> 0   。

 

x ^ x , x -> 0  

=   ( e ^ ln x  ) ^ x

=   e ^ ( x * ln x )

求出  x * ln x , x -> 0   的 极限，  就可以求出  e ^ ( x * ln x ) , x -> 0  的 极限  。

 

x * ln x , x -> 0  ，   因为   x -> 0 ，  ln x ->  - 无穷 ，   是 0 * 无穷 型 极限， 转成  0 / 0  后 用 洛必达法则，

x * ln x , x -> 0 

=   x  /  ( 1 / ln x )

=   x ′  /  ( 1 / ln x ) ′

=   1 /  [  -  1 / ( ln x ) ²  *  1 / x  ]

=   -  x  /  [  1 / ( ln x ) ²  ]          (1) 式

 

分子  x -> 0 ，  分母  1 / ( ln x ) ²  -> 0，   还是  0 / 0 型，   再用 洛必达法则，

 

 ( -  x ) ′  /  [  1 / ( ln x ) ²  ] ′

=    -  1  /  [  -  2 / ( ln x ) ³  *  1 / x  ]

=     1 / 2   *   x  /  [  1 / ( ln x ) ³  ]

 

分子  x -> 0 ，  分母  1 / ( ln x ) ³  -> 0，   还是  0 / 0 型，     看得出来，  再用 洛必达法则，  仍然是 0 / 0 ，  一直用下去，  无论 洛 多少次，  永远都是 0 / 0，    ln x  的 次方 越来越大  。

 

咦 ？     洛必达法则 不灵 了  ？

 

想想办法，可以这样，

由  (1) 式 ，

x * ln x  , x -> 0   =   -  x  /  [  1 / ( ln x ) ²  ]     

x * ln x   =   -  x  /  [  1 / ( ln x ) ²  ]     

x * ln x   =   -  x * ln x   /  ( 1 / ln x  )

若    x * ln x  不等于 0 ，   则 可 约掉，

1  =   -  1 /  ( 1 / ln x  )

1  =   -   ln x  

因为  x -> 0 ，    ln x ->  - 无穷  ，  则

1  =   -   -  无穷

1  =  无穷

显然， 这是 不成立 的，      也就是，    x * ln x  不等于 0   不成立，   也就是    x * ln x   应该 等于  0 ，   即

x * ln x  =  0

 

但这里是 求 极限，   在 过程 里 假设  x * ln x  不等于 0 ，  结果 又是  x * ln x  =  0，  如此 毫无顾忌 的 肆无忌惮 的 明目张胆 的 使用 “等于” 、“不等于”，  且 过程 还 认为 0 * 无穷 = 0，   凡此种种， 会不会有问题 ？   会不会 隐藏了  逻辑错误 和 数理错误  而  过程 和 结果 是 错误 的 ？

 

严格一点，   应该说，

x * ln x   ->   -  x * ln x   /  ( 1 / ln x  )

若    x * ln x  是 常数，   则

常数  ->  无穷

这不成立， 排除 这种情况  。

 

x * ln x   ->   -  x * ln x   /  ( 1 / ln x  )

若    x * ln x   是   无穷，   则

无穷  ->  无穷 / 无穷小

无穷  ->  高阶无穷

这不成立， 排除 这种情况  。

 

x * ln x   ->   -  x * ln x   /  ( 1 / ln x  )

若    x * ln x   是   无穷小，    和  ( 1 / ln x  )   同阶，   则

无穷小  ->   常数

这不成立， 排除 这种情况  。

 

x * ln x   ->   -  x * ln x   /  ( 1 / ln x  )

若    x * ln x   是   无穷小，    比  ( 1 / ln x  )   低阶，   则

无穷小  ->  无穷

这不成立， 排除 这种情况  。

 

x * ln x   ->   -  x * ln x   /  ( 1 / ln x  )

若    x * ln x   是   无穷小，    比  ( 1 / ln x  )   高阶，   则

高阶无穷小  ->  无穷小

这可以成立，   这也就是 结论，   x * ln x   是 无穷小，   即

x * ln x   ->   0

 

要 澄清一点，   为什么   “无穷  ->  高阶无穷”  不成立，  而  “高阶无穷小  ->  无穷小”   成立 呢  ？   因为 无穷  - 高阶无穷  =  - 无穷，   而 高阶无穷小  - 无穷小 =  无穷小 -> 0  。

“无穷  ->  高阶无穷”   也 可以 写成  “高阶无穷 -> 无穷”，   两者 是 一样 的  。

“高阶无穷小  ->  无穷小”   也 可以 写成  “无穷小 -> 高阶无穷小”，   两者 是 一样 的  。

 

“无穷小 -> 高阶无穷小”  和  “无穷  ->  高阶无穷”    这种 无穷量 之间 的 趋近关系 似乎 是 我 在 这里 发明 的 ，   这 参考了 数列 的 极限 的 定义  。

把  数列 的 极限 的 定义 扩展一下，      就可以 得出  这种 无穷量 之间 的 趋近关系  定义   。   趋近关系 也可以说 趋近行为  。

 

这种  无穷量 的  趋近行为 也许可以 解决 一些 问题，   比如 上面的  求  x * ln x  , x -> 0  极限 问题  。  也可以 让 我们 发现 一些 特殊 的 极限现象，    进一步 了解 极限 的 意义 和 奥秘  。

 

由上，    x * ln x , x -> 0   =   0   ，   所以，     

x ^ x , x -> 0  

=   e ^ ( x * ln x )

=   e ^ 0

=   1

 

x ^ x , x -> 0   =  1         (2) 式

 

这里 又 引出了 民科吧  争论 的   0.9999 ……  =  1   的 问题  。     因为    0.9999 ……  =  1 ，   所以    0.0000……1  =  0   ，   

 0.0000……1  是 无穷小，    x -> 0   也是 无穷小，    也就是   0.0000……1   =    x -> 0   ，  也就是 当  x -> 0 时，   x = 0.0000……1

于是，

x ^ x , x -> 0

=  0.0000……1  ^ x 

=  0  ^ x

 

0  ^ x , x -> 0  等于多少 ？     因为  x -> 0，   x = 0.0000……1  =  1 / 无穷  ，   0  ^ x , x -> 0  =  0 ^ ( 1 / 无穷 )   =   0  开无穷次方 

0  开无穷次方   等于多少 ？      无数个  0 相乘 等于 0，     所以，   0  开无穷次方   等于  0  ，    即   0  ^ x , x -> 0  =  0

于是，

x ^ x , x -> 0

=  0.0000……1  ^ x 

=  0  ^ x

=  0

 

x ^ x , x -> 0   =   0         (3) 式

 

上面 算出来 的   x ^ x , x -> 0   =  1  ，  见 (2) 式，    现在 算出来 的    x ^ x , x -> 0   =   0   ，  见 (3) 式 ，    1 != 0  ，  这 两个 结果 是  矛盾 的  。

 

这个 现象 就和   0.9999 ……  =  1    矛盾了，   因为 如果   0.9999 ……  =  1   ，   那么  (2) 式 和 (3) 式 算出来 的   x ^ x , x -> 0    应该 相等  。

 

事实上，   根据     0.0000……1  =  0  ，     应该是，

 

x ^ x , x -> 0

=   0.0000……1  ^  0.0000……1

=   0 ^ 0

 

把   底数 和 指数 的 两个 x  都 换成 0，     但 问题 是，     0 ^ 0  没有 办法计算  。

 

0 ^ 0     等于多少，    这个 是  谁也说不清楚 的，  虽然 不能 直接计算，   但 我们可以 间接 的  计算，   比如 上面 的  (2) 式 (3) 式 ，  归纳一下，  可以有  三种方式，  当然 也可以更多 ：

 

x ^ x , x -> 0

=  0.0000……1  ^  0.0000……1

=  1                     

这是  (2) 式 的 做法

 

x ^ x , x -> 0

=  0.0000……1  ^  0.0000……1

=  0  ^  0.0000……1

=  0

这是  (3) 式 的 做法

 

x ^ x , x -> 0

=  0.0000……1  ^  0.0000……1

=  0.0000……1  ^  0

=  1                                     (4) 式

 

请 给 我们 一个 理由，   我们 应该 选择   (2) 式 ？  (3) 式 ？   还是   (4) 式  ？

 

莫非 函数  y = x ^ x  应该选择 (2) 式 ？    函数  y = 0 ^ x  应该选择  (3) 式 ？    函数   y = x ^ 0   应该 选择  (4) 式 ？

 

如果 数学 规定  0 ^ 0 = 1  ，     对    y = 0 ^ x   如何交代  ？

 

但    y = x ^ x   凭什么 一定 选择 (2) 式   ？   理由 是 什么 ？      y = x ^ x    选择   (3) 式  也可以嘛 。

 

由此可见，     0.9999 ……  =  1  是 在 某些 场景 的 一个 解释，   这些 场景 可以 适应 和 兼容  0.9999 ……  =  1   这个 解释 。   也可以说，   0.9999 ……  =  1  是 为了 实现 某些 需求 的 一个解释，  这个解释 在 一定 的 条件下 合理 、可成立  。   如果 这些 需求 兼容  0.9999 ……  =  1  合理 所需 的 条件，    则  在 这些 需求场景 下，    就可以 使用   0.9999 ……  =  1   这个解释  。

 

其实 不是 我 老想着    0.9999 ……  =  1  问题，   是 这里 又 碰到了，  哈哈 。       当然 平时 在 各种 数学问题 中，   似乎 也 总能想起   0.9999 ……  =  1   和  无穷 等 问题  。   另外，   民科吧 天天吵   0.9999 ……  =  1    吵得 我 想 不关注 也 不行  。

 

 

接下来 看看     ( 1 / x ) ^ x , x -> 0  ，     这是   无穷 的  0 次方  。

 

( 1 / x ) ^ x , x -> 0  

=    [  e ^ ln ( 1 / x )  ]  ^ x

=    e  ^  [  x  *  ln ( 1 / x )  ]

 

x  *  ln ( 1 / x )  ,  x -> 0

=  x  /  [ 1 / ln ( 1 / x ) ]

 

x -> 0 ，    1 / x -> 无穷 ，    ln ( 1/ x ) -> 无穷 ，    1 / ln ( 1/ x ) -> 0 

x  /  [ 1 / ln ( 1/ x ) ]    是  0 / 0 型 极限，       用  洛必达法则，

 

 x  /  [ 1 / ln ( 1 / x ) ]  ,  x -> 0

=  ( x ) ′ /  [ 1 / ln ( 1 / x ) ] ′

=   1 /  {  -  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ²  * x * ( - 1 / x ² )  }

=   x  /  {  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ²  }

 

x -> 0 ，      ln ( 1 / x ) -> 无穷 ，   [ ln ( 1 / x ) ] ²  -> 无穷  ，    1 / [ ln ( 1 / x ) ] ²  -> 0

x  /  {  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ²  }    还是  0 / 0 型 极限，     接着 用  洛必达法则，

 

x  /  {  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ²  }  ,  x -> 0

=    ( x ) ′ /   {  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ²  }  ′

=    1  /   {  -  2 / [ ln ( 1 / x ) ] ³  * x * ( - 1 / x ² )  }

=    1 / 2   *   x  /  {  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³  }

 

x -> 0 ，      ln ( 1 / x ) -> 无穷 ，   [ ln ( 1 / x ) ] ³  -> 无穷  ，    1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³  -> 0

x  /  {  1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³  }    还是  0 / 0 型 极限，     看得出来，   再用 洛必达法则，  仍然是 0 / 0 ，  一直用下去，  无论 洛 多少次，  永远都是 0 / 0，    ln ( 1 / x )  的 次方 越来越大  。

这个  0 / 0 无限连 的 情况 和  上面  x ^ x , x -> 0   一样  。  额  ……  洛必达 又 不灵 了  。

 

但 我们可以用 和    x ^ x , x -> 0   一样 的 办法 ，    求得  ( 1 / x ) ^ x , x -> 0  的 极限 是   1  ，    即

 

( 1 / x ) ^ x , x -> 0    =   1

 

无穷 的  0 次方 等于  1   。

 

大家还可以 试试   ( 1 / x ² ) ^ x , x -> 0   等于什么 ，     ( 1 / x ³ ) ^ x , x -> 0  呢 ？    ( 1 / x ⁴ ) ^ x , x -> 0  呢 ？

 

 

也可以这样看，

 

[ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x )  ,   x -> 0

=    ( 1 / x ) ^ ( x * 1 / x ) 

=    ( 1 / x ) ^ 1

=    1 / x

 

当  u -> 无穷 时，   u ² 、u ³ 、u ⁴   都是 无穷，     u ²  是 u 的 高阶无穷，  u ² 比 u 高一阶，   u 比 u ² 低一阶 。

u ³  是 u 的 高阶无穷，  u ³ 比 u 高二阶，   u 比 u ³ 低二阶 。

 

当  u -> 0 时，   u 是 无穷小，   u ² 、u ³ 、u ⁴   都是 无穷小，     u ²  是 u 的 高阶无穷小，  u ² 比 u 高一阶，   u 比 u ² 低一阶 。

u ³  是 u 的 高阶无穷小，  u ³ 比 u 高二阶，   u 比 u ³ 低二阶 。

 

可知    [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x )   是 比    ( 1 / x ) ^ x    高了  1 / x  -  1  阶 的 量  ，

当  x -> 0 时，    1 / x  -> 无穷  ，    1 / x - 1 -> 无穷，    [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x )   比    ( 1 / x ) ^ x    高了  无穷 阶  。

 

又 因为    [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x )   =   1 / x  ，   也就是   1 / x  比  ( 1 / x ) ^ x    高了  无穷 阶  。

 

即     1 / x   是 比   ( 1 / x ) ^ x   高了 无穷 阶 的 量，     ( 1 / x ) ^ x   是 比   1 / x  低了 无穷阶 的 量  。

 

以  x 为 标准，    x -> 0 时，   x 是  一阶无穷小，  则   1 / x  是 一阶无穷，   

 

以   ( 1 / x ) ^ x 为 标准，  x -> 0 时，     ( 1 / x ) ^ x   比   1 / x  低了 无穷阶  。

 

然后，   我也不知道 想说什么，  挺绕的  。    似乎想说，  对 这样 的  以  ( 1 / x ) ^ x 为 标准 的 低了 无穷阶 ，  能不能 从 直观 上 来 看， 来 理解，   从 直观 上 看出 结论 ？  或 看出个 端倪 ？

 

当  x -> 0 时，    1 / x  -> 无穷  ，   所以，    ( 1 / x ) ^ x    是 比   一阶无穷  低了 无穷阶 的 量 ，    但 这个 低了 无穷 阶 的 阶 又 不是 一阶无穷  的 阶，   而是 以  ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 为 标准 的 阶 。

 

比  一阶无穷 低了 以  ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 为 标准 的 阶 的 无穷阶 的 量，    是 什么 ？       是 无穷 ？    或是 常数 ？  或是 无穷小 ？

 

从  直观 上 看，  如何 ？      从 数理 上 看，   如何 ？