《求助吧友数学分析》 里 的 题目

网友  雨萌1_   在    民科吧 发了一个 帖 《求助吧友数学分析》  https://tieba.baidu.com/p/7565736922  。

 

 

 

 

第 1 题，   用 百度翻译 得到 的 题意 是  “找到函数的极值”   。

 

根据 二元函数极值定理，   x ,  y  满足这个方程组时，    z 是 极值点 或 驻点 ：

 

∂ z / ∂ x  =  0

∂ z / ∂ y  =  0

 

以上 是 方程组  。

 

z = x y ( 12 - x - y )

=  12 x y - x ² y - x y ²

 

∂ z / ∂ x

=  ∂ ( 12 x y - x ² y - x y ² ) / ∂ x

=  12 y - 2 x y - y ² 

 

∂ z / ∂ y

=  ∂ ( 12 x y - x ² y - x y ² ) / ∂ y

=  12 x - x ² -  2 x y

 

可得  方程组

12 y - 2 x y - y ²   =   0

12 x - x ² -  2 x y  =   0

 

解 方程组

y  ( 12 - 2 x - y ) = 0

x  ( 12 - x - 2y ) = 0

 

可以得 第 1 组解，   记为 解 1 ：

x = 0

y = 0

 

第 2 组 解，   记为 解 2，  由 下面的 方程组 解 出，

x = 0 

12 - 2 x - y = 0

解

12 - y = 0

y = 12

 

即   解 2 为

x = 0 

y = 12

 

第 3 组 解，   记为 解 3，  由 下面的 方程组 解 出，

y = 0

12 - x - 2y  =  0

解

12 - x = 0

x = 12

 

即   解 3 为

x = 12 

y = 0

 

第 4 组 解，   记为 解 4，  由 下面的 方程组 解 出，

12 - 2 x - y  =  0

12 - x - 2y  =  0

解

24 - 4 x - 2y  =  0

12 - x - 2y  =  0

两式相减，

12 - 3 x = 0

x = 4

y = 4

 

即   解 4 为

x = 4 

y = 4

 

所以，   当  x ,  y  取  解 1 、解 2 、解 3 、解 4  时，   z  是 极值点 或 驻点  。

 

进一步，  要 区分 极值点 和 驻点，     要 看  二阶偏导数， 若 二阶偏导数 不为 0， 则 是 极值点，   若 二阶偏导数 为 0，  则 可能 是 极值点 也 可能是 驻点，  还要看 三阶偏导数 …… 一直 看到  不是 0 的 那一阶导数，   若 每一阶导数 一直 为 0， 要 一直 看到 n 阶导数 为 一次函数， 才知道 （n 阶）原函数 的 这一点 是 极值点 还是 驻点 。  简单讲， 也是看  奇偶性交替 。   这部分不看了， 大家 自己 看吧  。

 

但 这里 的 偏导数   ∂ z / ∂ x  =  12 y - 2 x y - y ²    是   x 的 一次函数，        ∂ z / ∂ y  =  12 x - x ² -  2 x y   是  y 的 一次函数，  这样 看起来 就 简单 了  。

一次函数 的 零点 两边 必然 异号，  则 它 的 原函数 在 这一点 应该 是 极值点  。

 

然后，  就看，    但  有 4 组 解，     分析起来 还是 挺麻烦 的，  要 结合 图形形状 来 分析，    要 分析  点 的 周围 是不是 形成一个  “小山丘”  ，  小山丘 代表 极值点，  或 是否 有 形成 驻点 的 条件，    挺 麻烦 的  。

 

但 有一个 简单 的 判定方法，     解 1 中，   x = 0 平面 上 的  ∂ z / ∂ y  的 原函数 是 平行于 y 轴 的 一条直线，   y = 0 平面上 的  ∂ z / ∂ x  的 原函数 是 平行于 x 轴 的 一条直线，    只要有 直线，  则 直线 经过 的 点 在 该直线 上 就 不会形成 “凸起” 的 极值点，   因此，  解 1 不是 极值点  。

解 2 中，   x = 0 平面 上 的  ∂ z / ∂ y  的 原函数 是 平行于 y 轴 的 一条直线，   因此，  解 2 不是 极值点  。

解 3 中，   y = 0 平面 上 的  ∂ z / ∂ x  的 原函数 是 平行于 x 轴 的 一条直线，   因此，  解 3 不是 极值点  。

解 4 中，   不存在 上述 的 平行于 x 轴 或 y 轴 的 直线 的 情况，     x = 0 平面 上 的  ∂ z / ∂ y  的 原函数 在  该点 是 极值点 且 曲线 是  “凸” 的，  y = 0 平面上 的  ∂ z / ∂ x  的 原函数 在  该点 是 极值点 且 曲线 也是  “凸” 的，    两者 的 凹凸 一致，    因此，   解 4 是 极值点  。    若 两者 的 凹凸 不一致，   则是 驻点  。

 

其实 这里 还有一个 不严格 的 地方，     解 4 中，  虽然 没有 平行于 x 轴 或 y 轴 的 直线，   但 也可能 有  其它 的  平行于  x - y 平面 的 直线  。

但 如果 不考虑 这一点 的 话，   答案 是    解 4 是 极值点，    也就是，   x = 4 ,  y = 4  是 极值点  。

 

而 要 确认 在 曲面 上 过 解 4 的 点 （x = 4 ,  y = 4 ）  是否 有 平行于  x - y 平面 的 直线 ，   还需要 做 一些 计算  。  不过 这里 就 不做 了  。

这里说的 “一些计算”，    是 我想到 的 一个办法，   实际上 可能 有 多种 方法，   来 知道   在 曲面 上 过 解 4 的 点 （x = 4 ,  y = 4 ）  是否 有 平行于  x - y 平面 的 直线  。

 

 

第 2 题

x ³ y ′ + x ² y + x + 1 =  0

x ²  ( x y ′ +  y )  =   - x - 1

 x y ′ +  y  =   ( - x - 1 ) / x ²

两边积分

 ʃ  x y ′ dx +   ʃ  y dx  =  ʃ   ( - x - 1 ) / x ²  dx

 ʃ  x y ′ dx     用 分部积分法

 x y  -   ʃ  y dx  +   ʃ  y dx  =  ʃ   ( - x - 1 ) / x ²  dx

 x y   =   ʃ   ( - x - 1 ) / x ²  dx

把 等号 右边 的 积分 求出来，  就可以 做出来 了 。

 

 

第 3 题

 y ′ ′  +   y   =   cos 3x

两边积分

 ʃ  y ′ ′ dx  +   ʃ  y  dx  =  ʃ  cos 3x  dx

 y ′  +    ʃ  y  dx  =  1/3  sin 3x

 当然 这里 有 积分常数 C，  即     y ′  +    ʃ  y  dx  =  1/3  sin 3x + C ，   我们 这里 取 C = 0  。

 记   Y  =   ʃ  y  dx ，   Y 表示  y 的 原函数，  也就是 一阶原函数，   同样， Y(2)  表示 y 的 二阶原函数，  Y(3) 表示 y 的 三阶原函数   ……  Y(n) 表示 y 的 n 阶原函数  。

 y ′  +   Y  =  1/3  sin 3x

 两边积分

 y  +   Y(2)  =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x

 这样 积分 下去，  可得 ：

 Y +  Y(3)  =   -  ( 1/3 ) ³  sin 3x

 Y(2) +  Y(4)  =   ( 1/3 ) ⁴  cos 3x

……

 

 y  +   Y(2)  =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  和   Y(2) +  Y(4)  =   ( 1/3 ) ⁴  cos 3x   两式相减

 y  -    Y(4)    =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x

 

可知       Y(4) +  Y(6)  =   -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x

 y  -    Y(4)    =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x   和   Y(4) +  Y(6)  =   -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x   两式相加

 y  +  Y(6)  =  -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x

 

可知       Y(6) +  Y(8)  =    ( 1/3 ) ⁸  cos 3x

 y  +  Y(6)  =  -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x    和    Y(6) +  Y(8)  =   ( 1/3 ) ⁸  cos 3x    两式相减

 y  -  Y(8)   =  -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁸  cos 3x 

 

可知      y  -  Y(n)   =  -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁸  cos 3x  -  …… 

或     y  +  Y(n)  =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁸  cos 3x  -  …… 

 

这两个 式子 的 差别 仅在于   -  Y(n)   或   +  Y(n)  ，    其实 后面会看到 两式 得到 的 结果 都一样，   我们 接下来 以   +  Y(n)   来 推导  。

 

y  +  Y(n)  =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁸  cos 3x  -  …… 

y  =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁸  cos 3x  -  ……  -   Y(n)

 

记     S   =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -   ( 1/3 ) ⁸  cos 3x  …… ，    这样 看起来 简洁

 

y   =   S  -  Y(n)

 

求  y 的 二阶导数

y ′ ′  =   S ′ ′  -   Y(n-2)

 

y  +  y ′ ′

=     S  -   Y(n)   +   S ′ ′  -   Y(n-2)

=     S  +  S ′ ′   -    [  Y(n-2)  +  Y(n)  ]

 

可知      Y(n-2)  +  Y(n)    =    -  ( 1/3 ) ^ n  cos 3x 

当    n  -> 无穷  时，     Y(n-2)  +  Y(n)    =    -  ( 1/3 ) ^ n  cos 3x   ->  0

即   当    n  -> 无穷  时，     Y(n-2)  +  Y(n)   ->  0

 

于是，   在   y  +  y ′ ′  =     S  +  S ′ ′   -    [  Y(n-2)  +  Y(n)  ]       中，    [  Y(n-2)  +  Y(n)  ] 是 无穷小，  可以舍弃 ，

即       y  +  y ′ ′  =     S  +  S ′ ′ 

 

这也可以说，   y   =   S  -  Y(n)  舍弃 Y(n)  项 后，    y  =  S   可以 满足题目方程    y ′ ′  +   y   =   cos 3x  ，   即   y  =  S    是   y ′ ′  +   y   =   cos 3x  的 解  。

 

严格的说，   应该说，  如果  方程    y ′ ′  +   y   =   cos 3x  只有 一个 解，   则   y   =   S  -  Y(n)   和   y  =  S    应该 等价，  这意味着    Y(n)    是 无穷小  。

而 如果 不确定  方程    y ′ ′  +   y   =   cos 3x     只有一个 解，       那么，    求出  y = S  后，   可以 代入 方程  y ′ ′  +   y   =   cos 3x ，  重复一遍 解方程过程，  同样 也会得到  y   =   S  -  Y(n)  ，

那么，  现在 这次 解方程过程 得到的  Y(n)   和 一开始 解方程 得到的  Y(n)     是不是 一个  Y(n) ，  即 是否相同，    这是 不确定 的  。

即  若 不确定 方程    y ′ ′  +   y   =   cos 3x     只有一个 解，    则 现在的  Y(n)   和  一开始 的  Y(n)    不能确定 是否相同  。

 

即使    方程    y ′ ′  +   y   =   cos 3x     只有一个 解 ，    则  一开始 的  Y(n)  和  现在的  Y(n)   应该 都是 无穷小，  但 两者（两个 Y(n) ） 的 表达式 也不能简单的说 相同，   是否 相同 需要 证明  。

 

这里 的 问题 如果 不搞清楚，   就 存在一个问题 ：  凭空消失 的  Y(n)  ？

 

这个 问题 就类似 科幻小说  里 描写的，     因为 时间倒流 （时间隧道 时间虫洞 时间漏洞 时间空洞） 而形成 的 封闭的 事件环 。   一个人 误入 时间隧道 回到过去， 他 知道 未来 发生的 事，  于是 想 改变未来，  让 一些 不好的 事 不要发生，    于是， 他 做出 努力，  由此 也 引发了 一系列 事件，   但  最后 由于 他 的 努力 和 这 一系列事件，  他又 误入 了 时间隧道 回到过去 。  如此 无限循环  。

 

接下来  求  y = S  。

 

y = S   =   -  ( 1/3 ) ²  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁴  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁶  cos 3x  -  ( 1/3 ) ⁸  cos 3x  …… 

根据 等比数列求和公式

=    -  ( 1/9 * 1/9^n - 1/9 ) / ( - 8 / 9)  *  cos 3x   

=    ( 1/9 * 1/9^n - 1/9 ) / ( 8 / 9)  *  cos 3x    

当    n -> 无穷 时，    1/9^n  -> 0

=    ( 1/9 * 0 - 1/9 ) / ( 8 / 9)  *  cos 3x    

=    ( 0 - 1/9 ) / ( 8 / 9)  *  cos 3x   

=    - 1/9  / ( 8 / 9)  *  cos 3x   

=    - 1/8   cos 3x

 

y  =   - 1/8   cos 3x

 

做完这题以后，    发现，   解  线性微分方程  其实是一个 排列组合问题，  一个 组合数学问题，  一个  “离散” 数学 问题  。   接下来，  是不是 应该 开始 庞加莱 的 工作 了 ？    定性分析 微分方程，   证明 三体方程 没有 周期性解 和 对 初始条件 敏感  。

 

d ² y / dx ² =  - k y  是 经典的 二阶微分方程，    以前 我在 《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》  https://tieba.baidu.com/p/6348165470   、《我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂， 来 普及 微积分》  https://tieba.baidu.com/p/6348409025    的  26 讲（63 楼）  解过 这个 方程   。

 

d ² y / dx ² =  - k y    就是    y ′ ′ =  - k y ，    当时  解 这个方程  用了  等号两边 乘以  2 ( dy / dx )  ，  将 二阶微分方程 降阶 为 一阶微分方程  的 方法，   然后再用 变量分离法  。

 

这次 做 第 3 题 也试了  这个 方法，    结果 当然是 不行  。

 

等式两边 乘以  2 ( dy / dx )    我是照抄 网上 的 讲义，  这个方法  我一直觉得 不太好想，  也不容易记住，    现在看来，   这个方法 显得 老式，   下面 我用 现在 我的 方法 再解一次    y ′ ′ =  - k y ， 当然， 原理上 和 两边 乘以   2 ( dy / dx )    是 一样的， 等价的  。

 

 y ′ ′ =  - k y 

两边乘以   2 y ′

2 y ′ y ′ ′  =   - k y  *  2 y ′

[ ( y ′ ) ² ]  ′    =    - 2 k y y ′

两边积分

ʃ  [ ( y ′ ) ² ]  ′ dx    =    ʃ   - 2 k y y ′  dx

 ( y ′ ) ²    =    - 2 k   ʃ   y y ′  dx   

 

接下来 用 分部积分法 求   ʃ   y y ′  dx

  ʃ   y y ′  dx   =   y * y   -     ʃ   y ′ y  dx 

 2   ʃ   y y ′  dx    =    y ²

  ʃ   y y ′  dx  =   1/2  y ²

 

代回     ( y ′ ) ²    =    - 2 k   ʃ   y y ′  dx

 ( y ′ ) ²    =    - 2 k   *   1/2  y ²

加上 积分常数  C1

 ( y ′ ) ²    =    - 2 k   *   1/2  y ²  +   C1  ，     C1 为 任意常数

 ( y ′ ) ²    =    -  k  y ²  +  C1

   y ′   =    根号  ( -  k  y ²  +  C1 ) 

接下来 用 变量分离法 就行  。

 

 

 

 

第 4 题

第 4 题 看起来 像是一个 泰勒级数，   如果 一个函数 在 某个点 的 一阶导数 是  1，  二阶导数 是  - 1/2，  三阶导数 是  1/3， 四阶导数 是  - 1/4 ，    n 阶导数 是  1/n，    那 这个 函数 的 泰勒级数 就刚好是 题目 的  数列和，       但 这样 的  一阶导数，  二阶导数，  三阶导数， 四阶导数  ……   n 阶导数    好像 不存在  。

用 三角函数 构造一个 f ( x ) ，  可以 在  某个定点 （比如  x = 0）  时，    f ( x ) 的 一阶导数， 二阶导数， 三阶导数 …… n 阶导数  是 自然数，  虽然 不一定 是 连续的 自然数  1, 2, 3, 4  ……

可以做出这样的效果  。  也可以 考虑 自然指数函数  e^x ,  e^(nx)  什么的，   但 要 让  自然数 出现 在 分母 上 就 比较 难了  。

 

这题 看起来 是  “逆向题”，     逆向题 就是 你要 知道 这个 题目 是 怎么来的，   比如 这个 数列和 可能 和 一个级数  f ( x ) = a1 ( x ) + a2 ( x ) + a3 ( x ) + …… + an ( x )  有关，  那么就可以 推导出   数列和 和  f ( x )  有关  。

逆向题 的 意思 是  如果  “正向” 的  从 题目出发 推导 很难 做出来  。    用  常规 的 方法 从  题目出发 推导  是  “正向”  。

比如 这题 如果 把 题目 当成 一个 数列，   用 常规的方法 去 推导 这个 数列 的 数列和，  应该 做不出来  。

 

 

 

 

第 5 题

第 5 题  看起来  和 第 4 题 一样，   也是 逆向题  。

 

 

第 4 题 、第 5 题  仍在 研究中  。