手扶拖拉机 同学 的 一些 极限题

网友  浩哥哥270  （爱手扶拖拉机）  在  民科吧 里 发了一个 帖 《今日份题目》   https://tieba.baidu.com/p/7557232964，   里面 有一些 极限题 ：

 

 

 

 

 

第 (1) 题  ，    ( tan x - sin x ) / x ³  =  tan x / x ³   -   sin x / x ³  ，

 

当  x -> 0 时，  sin x 和 x 是 等价无穷小，  sin x / x = 1 ，  sin x 和 x 可以约掉，   所以，  当  x -> 0 时，  sin x / x ³  =  1 / x ² = 无穷  。

 

看  tan x / x ³   ，    当   x = 0 时，   tan x = 0 ，     x ³ = 0 ，    所以， 当  x -> 0 时，   tan x / x ³   是  0 / 0 型 极限， 

 

用 洛必达法则 ，

tan x / x ³  ,   x -> 0 

=  ( tan x ) ′ / ( x ³ ) ′

 

 ( tan x ) ′ 

=   ( sin x / cos x ) ′

=   [ ( sin x ) ′ cos x - sin x ( cos x ) ′  ]  /  ( cos x ) ²

=   [ ( cos x ) ²  +  ( sin x ) ²  ]  /  ( cos x ) ²

=   1  /  ( cos x ) ²

 

( x ³ ) ′  =   3 x ²

 

tan x / x ³  ,   x -> 0 

=  ( tan x ) ′ / ( x ³ ) ′

=  [ 1  /  ( cos x ) ²  ]  /  ( 3 x ² )

=  [ 1  /  ( cos 0 ) ²  ]  /  ( 3 * 0 ² )

=  [ 1  /  1 ²  ]  /  ( 3 * 0 ² )

=  [ 1  /  1  ]  /  ( 3 * 0 )

=  1 / 0

=  无穷

 

上面说了，   当  x -> 0 时，  sinx 和 x 是 等价无穷小，  sin x / x = 1 ，   所以，  当  x -> 0 时，  sin x / x ³  =  1 / x ² ，

于是，

 ( tan x - sin x ) / x ³  ,  x -> 0

=  tan x / x ³   -   sin x / x ³  ，

=  [ 1  /  ( cos x ) ²  ]  /  3 x ²  -  1 / x ²

=  无穷 - 无穷

 

哎 ？   无穷 - 无穷  =  什么 ？     

可以这样 ，

[ 1  /  ( cos x ) ²  ]  /  ( 3 x ² )  -  1 / x ²   ,    x -> 0 

=   1 / ( 3 x ²  )  -  1 / x ² 

=   1 / ( 3 x ²  )  -  3 / ( 3 x ²  ) 

=    - 2 / ( 3 x ²  )

=    -  无穷

 

还可以 换一种做法 ，   从上面对  tan x 求导，   ( tan x ) ′  =   1  /  ( cos x ) ²   看得出来，   tan x 和 x 是 等价无穷小，  因为  当  x = 0 时，  tan x = 0，  x = 0，  根据 洛必达法则，

tan x / x , x -> 0 

=  ( tan x ) ′ / x ′

=  1  /  ( cos x ) ²  / 1

=  1  /  ( cos x ) ² 

=  1  /  ( cos 0 ) ² 

=  1  /  1 ²

=  1  /  1

=  1

 

即  当  x -> 0 时，    tan x / x  =  1

于是，

( tan x - sin x ) / x ³  ,  x -> 0

=  tan x / x ³   -   sin x / x ³

=  1 / x ² - 1 / x ²

=  0

 

哎 ？      这怎么 算出 两个答案 来了  ？    一个是  - 无穷，   一个 是  0  。

 

再换种做法，   完全使用 洛必达法则，

( tan x - sin x ) / x ³  ,   x -> 0

=  [ ( tan x - sin x ) ] ′ / ( x ³ ) ′

 

 [ ( tan x - sin x ) ] ′ 

=  ( tan x ) ′  -   ( sin x ) ′ 

=  1  /  ( cos x ) ²  -  cos x

当  x = 0 时，

1  /  ( cos x ) ²  -  cos x

=  1 - 1

=  0

 

( x ³ ) ′ = 3 x ²  ，   当  x = 0 时，   3 x ²  =  0，

 

当  x = 0 时，

[ ( tan x - sin x ) ] ′ / ( x ³ ) ′ 

=  [ 1  /  ( cos x ) ²  -  cos x  ]   /  ( 3 x ² )

=  0 / 0 ，  仍然 是 0 / 0 型 极限，  接着 洛，

 

[ 1  /  ( cos x ) ²  -  cos x ]  ′

=   [  2 cos x * sin x  ]  /  ( cos x ) ⁴  +  sin x  

当  x = 0 时

=   [  2 cos 0 * sin 0  ]  /  ( cos 0 ) ⁴  +  sin 0  

=   [  2 * 1 * 0  ]  / 1 ⁴  +  0  

=   0

 

( 3 x ² ) ′

=  3 * 2 x

=  6 x

当  x = 0 时

=  6 * 0 

=   0

 

还是  0 / 0 型，  接着 洛，

 

 { [  2 cos x * sin x  ]  /  ( cos x ) ⁴  +  sin x } ′

=   {  - 2  [  ( sin x ) ² - ( cos x ) ²  ]  ( cos x ) ⁴  +  [  2 cos x * sin x  ]  *  4 ( cos x ) ³ sin x  }  /  ( cos x ) ⁸   +  cos x

当  x = 0 时，

=   {  - 2  [  ( sin 0 ) ² - ( cos 0 ) ²  ]  ( cos 0 ) ⁴  +  [  2 cos 0 * sin 0  ]  *  4 ( cos 0 ) ³ sin 0  }  /  ( cos 0 ) ⁸   +  cos 0

=   3

 

( 6 x ) ′

=  6 

 

于是，   当  x = 0 时，

 { [  2 cos x * sin x  ]  /  ( cos x ) ⁴  +  sin x } ′  /  ( 6 x ) ′   =    3 / 6   =  1/2

也就是，

( tan x - sin x ) / x ³  ,   x -> 0  =  1/2

 

咦 ？    这怎么算出 三个 答案 来了 ？    一个 是   - 无穷，  一个是 0，  一个 是 1/2   。

 

再换一种做法，   

( tan x - sin x ) / x ³  ,   x -> 0

=   ( sin x / cos x - sin x )  /  x ³ 

=   ( sin x - sin x cos x ) / cos x  /  x ³

=   sin x  ( 1 - cos x )  /  cos x  /  x ³

=   sin x  ( 1 - cos x )  /  ( cos x  *  x ³  )

因为  当  x -> 0 时，    sin x / x = 1，   sin x 和 x 是 等价无穷小， 可以约掉

=   ( 1 - cos x )  /  ( cos x  *  x ²  )

 

当  x = 0 时，   

1 - cos x

= 1 - cos 0

= 1 - 1

=  0

 

当  x = 0 时，

cos x  *  x ² 

=  cos 0  *  0 ² 

=  1  *  0

=  0

 

所以，   当  x -> 0 时，     ( 1 - cos x )  /  ( cos x  *  x ²  )    是  0 / 0   型 极限，   用 洛必达法则，

 

 ( 1 - cos x ) ′

=   sin x

 

( cos x  *  x ²  ) ′

=   - sin x  *  x ²   +   cos x  *  2 x

 

当  x = 0 时，   

sin x

= sin 0

= 0

 

当  x = 0 时，

- sin x  *  x ²   +   cos x  *  2 x

=   - sin 0  *  0 ²   +   cos 0  *  2 * 0

=   0 * 0  +  1 * 2 * 0

=   0 + 0

=   0

 

也就是，   当  x -> 0 时，     ( 1 - cos x ) ′  /  ( cos x  *  x ²  ) ′   =   sin x  /  ( - sin x  *  x ²   +   cos x  *  2 x )    仍然 是  0 / 0   型 极限，

接着 用 洛必达法则，

 

( sin x ) ′ 

=  cos x

 

( - sin x  *  x ²   +   cos x  *  2 x ) ′

=   - cos x  *  x ²  -  sin x  *  2 x    -    sin x  *  2 x   +   cos x  *  2

=   - cos x  *  x ²  -  sin x  *  4 x    +   cos x  *  2

 

当  x = 0 时，

cos x

= cos 0

=  1

 

当  x = 0 时，

- cos x  *  x ²   -   sin x  *  4 x   +   cos x  *  2

=   - cos 0  *  0 ²   -   sin 0  *  4 * 0   +   cos 0  *  2

=   - 1  *  0   -   0 * 4 * 0   +   1 * 2

=   0  -  0  +  2

=   2

 

此时，   不是  0 / 0 型，  也就是说，  这个结果 是 我们 要求 的 极限，  则

( tan x - sin x ) / x ³  ,   x -> 0

=    cos x  /  ( - cos x  *  x ²   -   sin x  *  4 x   +   cos x  *  2  )    ,   x = 0

=    1/2

 

这个 做法 的 答案 也是  1/2  。

 

声明，    以上 的 做法 都 不一定 对，   同学们 还是要以  教科书 为准  。

 

 

本来 打算 做 三 题 的，    但 做一题 都 做成这样，   这么 麻烦，  算了，  不做了  。

 

这些题 我 都 不熟，   我用的 洛必达法则 又是 我 自己 推导 的，   见  《证明 夹逼定理 和 洛必达法则》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15306964.html  ，  也不知道 对不对 ，  为了 保险起见，   我用  Html 写了个 程序 近似计算了 一下  上面 这题 的 极限  。

 

 

 

 

程序代码 ：      https://github.com/kelin-xycs/Calculator

 

 

爱手扶拖拉机  同学 在 《今日份题目》 的 9 楼 和 42 楼 说到 用 泰勒展开 推导出 等价无穷小 和 同阶无穷小 。    我想了  4 个 小时，   没 看出来 泰勒展开 比 洛必达法则 简便 在 哪里，  哈哈哈哈哈哈哈哈哈 。