在 《K哥大师，我感觉那道题弄不出来》 里 的 回复

网友  思维机器 在 反相吧 发了一个  帖 《K哥大师，我感觉那道题弄不出来》  https://tieba.baidu.com/p/7560733426   。

 

1 楼

思维机器 ：

K哥大师，我感觉那道题弄不出来

 

2 楼

思维机器 ：

远贴被楼主删了，题再发一遍

 

 

 

3 楼

思维机器 ：

不仅如此，感觉∑√k这种前n项和也没有表达式

 

4 楼

思维机器 ：

这种类似椭圆函数，应该不存在有限的表达式。

 

5 楼

K歌之王 ：

用 “泰勒展开” 展开每一项，这样又是 无限项 了，而且这样的话，e 和 任意数 做 底数 也没什么区别

 

K歌之王: 不过说到 e ，e 本身也是 无限项

K歌之王: 如果单论 有什么技巧 用 有限项 表示出 Sn，还要再想想，也许可以利用到 e ？

散步的鱼: 回复 K歌之王 :展开了，指数提不到每项外面

 

6 楼

K歌之王 ：

大概知道怎么做了，可以把 每一项 写成 e 的 指数 形式，这样可以去根号，然后，提取出 e^1/2，剩下的 e 是 一个 等比数列

 

K歌之王: 等，想错了，e^1/2 不能提出去，在指数里是 乘法，不是加法

K歌之王: 而且 每一项 之间是 加法，不是 乘法，不能让指数相加，就算指数相加，ln（ 1 + e^(-2k+2)) 还被 ln 包住，里面的 e^（-2k+2） 不能组成 等比数列

散步的鱼: 回复 K歌之王 :你再想想吧，我被这题搞得很疲惫，希望没答案

 

9 楼

K歌之王 ：

不行， 又 想错了，

 

根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ]

= e ^ { ln 根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] }

= e ^ { 1/2 ln [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] }

= ( 根号 e ) ^ ln [ 1 + e^( -2k + 2 ) ]

 

如果 能 把 根号 e 凑成 e，就可以 把 1 + e^( -2k + 2 ) 从 指数上 拿下来，变成多项式，这样 每一项 的 e^( -2k + 2 ) 就是 一个 等比数列 。

 

但 这样 实际上 还是 一个循环， 最终还是 会 回到 那个 根号 。

 

可能 要 从 别的 思路 再想想办法 。

 

10 楼

思维机器 ：

虚数，三角，反三角，级数，几何法都试了，毫无收获

 

11 楼

K歌之王 ：

泰勒展开 的 作用 是 去根号， 如果 不是 去根号， 还不如 原数列 一项一项 加起来 ， 哈哈哈哈 。

 

但 ， 泰勒展开 要用到 k₀ 的 n 阶导数， 如果 k₀ 取 1， 也就是 -2k₀ + 2 = 0， 那么， n 阶导数 里 是要 带 根号 的， 比如 根号 2 ， 当然， 这是 常量 带根号，还行， 如果 不嫌麻烦， 可以 把 根号 2 也 泰勒展开， 那就 彻底 “线性化” 了 ， 哇哈哈哈哈哈 。

 

将 ak = 根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] 泰勒展开 后， 对于 每一个 k， 是 一个 泰勒级数， 也就是， a1 是一个 泰勒级数， a2 是一个 泰勒级数， a3 是 一个 泰勒级数， …… ak 是一个 泰勒级数，

 

这些 泰勒级数 的 同阶 的 项 的 系数 是 相同的， 区别 是， ( k - k₀ )^n， 若 k₀ 取 1， 则 是 (k - 1)^n， 因为 k 取 自然数， 当 k = 1 时， 就是 k₀，可以直接得到 a1 = 根号 2， 当 k >= 2 时， (k - 1) 也就是 2 - 1 = 1, 3 - 1 = 2, 4 - 1 = 3 ……

 

a1 + a2 + a3 + …… + ak 可以 把 同阶 的 项 合成一个项，

 

一阶项合并为 ： 1 + 2 + 3 + …… + k - 1

二阶项合并为 ： 1 ² + 2 ² + 3 ² + …… + (k - 1) ²

三阶项合并为 ： 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + …… + (k - 1) ³

n 阶项合并为 ： 1^n + 2^n + 3^n + …… + (k - 1)^n

 

当然， 这里 写 的 1 + 2 + 3 + …… + k - 1 是 连加，全是 加号，实际上 可能有 减号 。

 

泰勒级数 一阶项 是 一次式， 二阶是 二次式， 三阶是 三次式， n 阶是 n 次式， 我没记错吧 ？

 

一般， 求 数列和 要 转化为 等比数列 等差数列 平方和 等， 但 那个 可恶 的 根号 ……

 

根号 里 的 1 + e^( -2k + 2 ) 可以 配平方（凑平方） 吗 ？

 

对 ak = 根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] 求导 或 积分 都 会 让 表达式 更复杂 。

 

于是 ？

 

哎， 除了 泰勒级数， 我们 还 能不能 玩点 新花样 ？

 

还真应了 我在 《走一走 欧拉先生 走过 的 路》 https://tieba.baidu.com/p/7502453309 里 说的那句话 “有时候觉得， 泰勒级数 在 初等函数 领域 内 简直 是 杀手锏， 初等函数 领域 产生 的 超越数 π 、e 用 泰勒级数 表示 是 无往不利 。”

 

之所以 这么说， 是 这两天 看到 知乎 上说 “物理学家喜欢算，遇到问题算一算 …… 好，我们先微分一下，然后泰勒展开”， 见 《知乎： Lurie 的 derived algebraic geometry 有多重要》 https://tieba.baidu.com/p/7553656126 。

 

还有 @浩哥哥270 （爱手扶拖拉机） 同学 在 《今日份题目》 https://tieba.baidu.com/p/7557232964 的 9 楼 说 “这个其实用个泰勒推出来的等价无穷小的代换最快，和1+1=2。难度是一样的” ， 42 楼 说 “泰勒不快，快的是已经用泰勒推导出来的一些无穷小的带换” 。

 

 

思维机器: 对于***数列，还有种少见的微积分法对付，试了一天，也毫无办法，恶心的根号取不掉。

爱手扶拖拉机: 泰勒展开的意义是能把各种函数转化为多项式函数，而我们的最擅长的就是处理多项式函数。

 

 

14 楼

K歌之王 ：

接 11 楼，

 

其实 ak = 根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] 不太好 泰勒展开， k 取 自然数， k₀ = 1 ， k = 2 时， k - 1 = 1， k = 3 时， k - 1 = 2， k = 4 时， k - 1 = 3，

也就是， k - 1 是 2, 3, 4, 5 …… ， 是 从 2 开始 的 自然数， 这些 自然数 都 大于 1，
相应的， 它们 的 n 次方 也 大于 1， 且 n 越大， 它们 的 n 次方 越大， 当 n -> 无穷 时， 它们 的 n 次方 趋于 无穷，

 

泰勒级数 的 项 是 n 阶导数 ( x₀ ) * ( x - x₀ )^n / n ! ， 只看 ( x - x₀ )^n / n ! 这一项，如果 x - x₀ 大于 1， 则 随着 n 增大， 分子 ( x - x₀ )^n 会 快速增大， 当 n -> 无穷 时， 分子 ( x - x₀ )^n 趋于 无穷， 这可能导致 项 趋于 无穷，即 项 发散 。

 

那么， 如果 先 不考虑 n 阶导数 ( x₀ ) ， 项 是否 收敛 就 取决于 分母 n ! ， 即 n 的 阶乘， 可以知道， 随着 n 的 增大， n ! 终将 大于 ( x - x₀ )^n ， 但 这起码 是 在 n > x - x₀ 之后 。

 

也就是 ，如果 k = 1000， 则 a1000 展开 为 泰勒级数 后， 至少 要 第 1000 项 之后 项 才会 开始 收敛 。

 

由此可知， 对于 不同 的 k， 项 的 收敛表现 也是不一样 的，

 

a3, a4, a5 也许 前几项 就开始 收敛， 但是 a1000 至少要 第 1000 项 之后 项 才会 开始 收敛 。

 

显然， 由于 不同 的 k 的 ak 泰勒展开 后 项 的 收敛表现 差异很大（差异渐渐变大），因此， 把 a1, a2, a3, a4, a5 …… ak 展开 为 泰勒级数 再求 a1+ a2 + a3 + a4 + a5 + …… + ak ， 场面 是 挺混乱的 。

 

可以用 缩放法 让 k 缩小一些 倍数， 使得 k - 1 小于 1， 这样 ( k - 1 )^n 小于 1， 且 当 n -> 无穷 时， ( k - 1 )^n -> 0 ， 这样 就 改变 了 项 的 收敛性质， 让 项 从一开始 就 显著收敛 。

 

但 从 ak = 根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] 的 表达式 可以知道， k 在 指数上， 指数运算之后 还要 加 1， 再 开方， 看起来没有什么好的 方法 可以 缩放， 如果 强行缩放，可能 让 表达式 更复杂， 增加 计算量， 且 对于 不同的 k ，可能 缩放 使用的参数 不一样， 这会导致 缩放 后 不同 的 k 的 ak 展开 的 泰勒级数 不一样， 包括 n 阶导数 和 恢复倍数 不一样 。

 

如果不改善收敛性， 那么， 比如 第 1000 项 之后 项 才会 开始 收敛 ， 这样， 泰勒级数 用于 分析 和 计算 的 价值 就 比较低 了 。

 

一般， 对于 ak = 根号 [ 1 + e^( -2k + 2 ) ] ， 可能 泰勒展开 就是到 根号 这一层 吧， 就是把 1 + e^( -2k + 2 ) 看作 一个 自变量， x = 1 + e^( -2k + 2 ) ， 展开 根号 ( x ) 就可以了 。

 

 

思维机器: 展开太庞大了，我仅仅是根式展开，展开简化后回不去