在 《数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什么？》 里 的 讨论

网友  思维机器 在  反相吧  发了一个 帖 《数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什么？》   https://tieba.baidu.com/p/7543575658   。

 

回复 10 楼，   简单的情况，    A B 点 的 y 坐标相同，  那么，   最小面积 解 出现在  AB 线段（一字型） 和 轴为 x 轴 的 工字形 之间，    也就是 线段 AB 和 折线 ACDB  之间  。

 

 

 

AB 间 距离 记为 AB， AC 长度 记为 R，  EC 长度 记为 r，  AB > 0 ,  R > 0 , R > r ,  r >= 0  。 可以证明， 只要满足  AB > R - r ，  折线 AEFB 的 旋转面积 总可以 小于 线段 AB 的 旋转面积 。  也就是说， 无论 AB 间 的  距离 多小，   总是 可以有 折线  AEFB  旋转的面积 比  线段 AB 旋转 的 面积小 。 

 

还可以 证明，   当  r = R  -  AB / 2   时，   折线  AEFB 的 旋转面积 取 极值点（极小值），   AEFB 旋转面积 最小  。

显然，  当  r > 0  时，  E  在  AC 上 ；  当  r = 0  时 ，   E 和 C 重合，   EF 和 CD 重合；    当  r < 0  时，    E 在 AC 的 延长线 上，  这种情况 实际中 也就是 EF 和 CD 重合 ，  此时  AEFB 旋转面积 虽然 不是 极小值，  但是是 最小值  。

 

第一个 证明 是一个 一元一次不等式，   第二个证明 是 二次函数 求 极值，  不等式 和 二次函数 都是 根据 AEFB 旋转面积 公式 列的，  过程 就不写上来了  。

 

以上说明，   在  AC 上 存在 一点 E，  E 不和 A 重合，    使得 折线 AEFB 的 旋转面积 最小 。

 

这是  折线 的 最小解，     曲线 的 最小解 可能 比 折线 的 最小解 大 或 小 或 相等，    这个 是 不确定 的，     需要  数学 上 证明  。

 

但 从 折线 可以 看到 一些 趋势，    比如  曲线 的 最小解  也 可能 只有 一个  。

 

 

 

本来想  从 折线 的 状况 推导出 曲线 的一些 状况，   但  严格的说，  似乎行不通  。    从 折线 的 状况 推想出 曲线 的 状况  归根结底 似乎 总是 感性 和  经验  的  。

 

当然，   由于 时间关系（从 昨天 到 今天），  这个 结论 也是 初步的，   想的 也许 还不透彻， 也许 有很多 没想到，   还要 继续 思考 研究  。

 

 

我这里 想 证明 的 命题 是 ，   任取一条 折线 AEFB ，   总能 找到（作出） 至少 一条 旋转面积 与之 相等 的  曲线  。   AEFB 和 线段 AB 、折线 ACDB 是否重合，这些细节可以自行决定  。

 

我希望 仅利用 对 折线 的 分析 来 证明  这个 命题  。

 

这个 命题 挺重要的 ，    它 能让 我们  很快  的 知道 题目 的 状况 和 曲线 的 性质  。

 

如果  只 通过 对 折线 的 研究 就能 证明 这个 命题 ，   是 很有意义 的  。

 

折线，  当然 内容也很多，     但，  如果 只 利用 上面 对 线段 AB 、折线 AEFB 、折线 ACDB 的 分析， 只 利用 这样 的 模型 ，能不能 证明 这个 命题  ？   这本身也是一个 有趣 的 问题 呢  。

 

 

直接 去套  欧拉-拉格朗日 方程 第二种 形式  是 无聊 和 乏味 的，    欧拉-拉格朗日 方程 封装了 事物 的 变化 和 复杂性，   将 我们 与 事物 的 变化 和 复杂性 隔离开来  。

 

我们 可以 这样  来  玩，  把 一根皮筋 拴 在 AB 上， 一头   拴 在  A 点， 另一端 拴 在 B 点 ，     从 皮筋 的 中点  向下拉扯  皮筋 ，  皮筋 拉伸 变形  为  曲线，  我们 观察 和 研究 拉伸 过程 中，  随着 皮筋（曲线） 形状  的  变化，    旋转面积  的 大小 如何 变化  ？        我想 也能 看到 由大到小， 又 由小到大   的  过程  。

 

我们 还可以 控制  对  皮筋 的 拉伸，   使之 呈现 不同 的  形状变化  。

 

在  数学 上，  我们  可以  添加  一些  函数  把   线段 AB 变成  曲线，   这就是  “拉伸”，    我们  观察 和 研究  各种 拉伸 过程 中  旋转面积  的 大小 变化 和 极值点  。

看   按  f ( x ) 使 AB 弯曲  的  旋转面积  极小值  和  按  g ( x ) 使 AB 弯曲  的  旋转面积  极小值 ，   哪个 更小 ？

可以 弄 出 一些 函数  让  AB 弯曲 ，  比如   g1 (x) ,  g2 (x),   g3 (x)  ……  ，   看  这组 函数 中 每个函数 导致 的  旋转面积 变化  和  极小值 ，

也可以 再弄一组  函数，   比如   f1 (x),  f2 (x) ,  f3 (x)   ……      

f 组 和 g 组 还可以   团体 比较一下  。

 

唯一 的 最小解  我们并不稀罕，   我们 更关心  广泛 的  离散种子  的  变化趋势 、生存状况 、 活力 和 生命力  。

 

可以把  这些  种子 叠加起来，像  级数一样， 也就是 把   g1 (x) ,  g2 (x),   g3 (x)  ……   f1 (x),  f2 (x) ,  f3 (x)   ……     叠加起来， 看 旋转面积  的 变化 和 极值点  又如何 ？

我们可以 去  任意  的 叠加 它们  。

可以 给 这些 叠加后 的   （效果） 样本   计算 一个  “方差”，    这样 的 结果  会不会  接近  “唯一 的 最小解”  ？

哎 ，   这 快变成  概率统计课 了  。

 

其实  用   n 元函数极值定理 应该 也可以 得到 和  欧拉-拉格朗日 方程 第二种 形式  一样  的 结果，  也就是  那个  唯一的 最小解  。

 

n 元函数极值定理 见 《二元函数 的 极值点 怎么求 ？》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13022641.html    。