一道数学题 ： 数列 { bn } 收敛， 证明 { an } 也收敛

今天 （2021-09-18） 在 数学吧 看到 一个 帖 《这一题该怎么证明？》  https://tieba.baidu.com/p/7541594883  ，    里面 列了一些 题，  楼主 提到  第 21 题  。

 

 

 

 

证明 第 21 题，

 

设     b2 / b1 = qb2,   b3/ b2 = qb3,   b4 / b3 = qb4  ……   bn / b﹙n - 1﹚ =  qbn   ，

a2 / a1 = qa2,   a3/ a2 = qa3,   a4 / a3 = qa4  ……   an / a﹙n - 1﹚ =  qan   ，

 

则      bn = b1 *  qb2 * qb3 * qb4  *  ……  *  qbn  ，

an = a1 *  qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan

 

因为    { bn }  收敛，   所以，  当  n -> 无穷  时，     bn -> B ，   B 为 常量  。

 

则      当   n -> 无穷  时，    b1 *  qb2 * qb3 * qb4  *  ……  *  qbn   ->   B

qb2 * qb3 * qb4  *  ……  *  qbn   ->   B / b1

 

因为   qa2 < qb2 ,   qa3 < qb3 ,   qa4 < qb4  ……  qan < qbn  ，

所以   qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  ->  A₀  <  B / b1

an = a1 *  qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  ->   a1 * A₀  <  a1 * B / b1

 

令  A = a1 * A₀  ，   可知   A < a1 * B / b1 ，   A 为 常量

 

也就是    an ->  A ，   A 为常量 ，         即   { an }  收敛  。

 

 

qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  ->  A₀  <  B / b1  ，   因为 是 正数列，    qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan > 0 ，  A₀ >= 0 ，  即  A₀ ∈ [ 0 ,  B / b1 )  。

 

这里有一个 问题，   A₀ ∈ [ 0 ,  B / b1 ) ，   那么，   A₀  是 一个 值， 还是 多个值 ？  还是 无数个 可能 的 值 ？    多个值 就是 当  n -> 无穷 时， A₀  在 多个值 之间 跳跃  。

 

这一点 可以这样解释，   对于 一个  确定 的  数列，   每个 元素 都是 确定 的（包括  n-> 无穷 时），   则   qa2 , qa3 , qa4  ……  qan   都是 确定 的 ，   qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  也是 确定 的，   即   qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  ->  A₀  ，    A₀  也是 确定 的， 是 唯一值  。

 

可以 具体 一点 来 看 ，     可以把   qa2 , qa3 , qa4  ……  qan  分为 2 组，   一组 大于等于 1， 积 记为 A1，  一组 小于 1， 积 记为 A2，

 

qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  =  A1 * A2 -> A₀

 

这样，  就可以 分 下面 这些 情况 来看 ：

 

1     A1 = 无穷大，  A2= 无穷小，     A1 * A2 = 无穷大 * 无穷小 = 常量

2     A1 = 无穷大，  A2= 常量，     A1 * A2 = 无穷大 * 常量 = 无穷大，   不符题意，  不满足   qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  =  A1 * A2  ->  A₀  ,    A₀ ∈ [ 0 ,  B / b1 ) 

3     A1 = 常量，  A2= 无穷小，     A1 * A2 = 常量 * 无穷小 = 无穷小

4     A1 = 常量，  A2 = 常量，     A1 * A2 = 常量 * 常量 = 常量

5     A1 = 高阶无穷大，  A2= 无穷小，     A1 * A2 = 高阶无穷大 * 无穷小 = 无穷大，    不符题意，  不满足   qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  =  A1 * A2  ->  A₀  ,    A₀ ∈ [ 0 ,  B / b1 ) 

6     A1 = 无穷大，  A2= 高阶无穷小，     A1 * A2 = 无穷大 * 高阶无穷小 = 无穷小

 

严格的说，   这里的  A1 = 常量，  应该是  A1 -> 常量  。

 

 

其实 上面 我们 证明 的 是 无穷数列 的 情况，  没有 包括 有穷数列，  有穷数列 的 证明方法 和 无穷数列 一样  。

 

数列收敛 的 定义 是  “设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。”

 

我们 没有 按照 这个 定义 来 证明，    而是 直接使用了  “趋于 ->”  ，   不过 也还可以吧  。 

 

qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  ->  A₀， 这里 是 “趋于 ->”  ，    严格的说，   也可能 “等于”，  即  qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  =  A₀ 

 

比如 当  n > N 时，   qan = 1 ，  则  当 n -> 无穷 时，  qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  =  A₀ 

 

此时，   an = a1 *  qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan  =  a1 * A₀  ，   即   an = a1 * A₀ 

 

有穷数列  总是  “等于”，    即  n 最大 时，  最后一项  an = a1 * A₀

 

 

其实 这样 证明 还是 有问题 的，   “每个 元素 都是 确定 的（包括  n-> 无穷 时）”  并不能 说明  an 趋于 唯一的 值  。  比如 在 正弦曲线  y = sin x  上 每隔   π / 10   取一个点，  以 这些 点 的  y 值 组成一个 数列 { pn } ，   当  n -> 无穷 时，    pn 在 多个 值 上 周期性 跳跃，  并不 趋于 唯一的 值  。

 

所以，   这里，  我们要 重新 证明 ，    主要 是 解决 “跳跃” 问题  。

 

因为   qan <= qbn ，    可以 表示为   qan = qbn * tn ,  tn <= 1 ，    则 

 

qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan   =   qb2 * t2 * qb3 * t3 * qb4 * t4  *  ……  *  qbn * tn

=   qb2 * qb3 * qb4  * …… *  qbn  *  t2 * t3 * t4  * ……  *  tn

 

因为    qb2 * qb3 * qb4  *  ……  *  qbn   ->   B / b1  ，     B / b1 为 常量，   是一个 确定的 值  ，

因为    tn <= 1，    也就是   t2 , t3 , t4  ……  tn 都 小于等于 1 ，   当  n -> 无穷 时，     t2 * t3 * t4  * ……  *  tn   是 无数个 小于等于 1 的  正数 相乘，    可知  无数个 小于等于 1 的 正数 相乘 的 结果 是  1  或  无穷小 或  趋于 小于 1 的 一个 确定 的 值  ，   此处 证明 略  。

 

于是，   情况 就 明朗 了 ，

 

当   t2 * t3 * t4  * ……  *  tn   =   1  时，

 

an =   a1 * qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan 

=   a1  *  qb2 * qb3 * qb4  * …… *  qbn  *  t2 * t3 * t4  * ……  *  tn

->  a1 *  B / b1  *  1

=   a1 *  B / b1 

 

an  ->  a1 *  B / b1 

 

当    t2 * t3 * t4  * ……  *  tn   =   无穷小  ，

 

an =   a1 * qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan 

=   a1  *  qb2 * qb3 * qb4  * …… *  qbn  *  t2 * t3 * t4  * ……  *  tn

->  a1 *  B / b1  *  无穷小

=   无穷小

 

an  ->  0

 

当   t2 * t3 * t4  * ……  *  tn   ->   T  ，       T < 1 ，  T 为 常量，  是 一个 确定的 值 ，

 

an =   a1 * qa2 * qa3 * qa4  *  ……  *  qan 

=   a1  *  qb2 * qb3 * qb4  * …… *  qbn  *  t2 * t3 * t4  * ……  *  tn

->  a1 *  B / b1  *  T

=   A  <  a1 *  B / b1

 

an  ->  A ，     A = a1 *  B / b1  *  T  ，    A 为 常量，  是 一个 确定的 值

 

无论 哪一种 情况 ，    { an } 都 收敛，    证明完毕 。

 

我 是 听着  周深  的   《起风了》  写 这段 证明 的 ，    纪念一下 。       2021/09/30   2:23

 

 

本来  是  研究    qb2, qb3, qb4 …… qbn  的 关系，   推导出   qa2, qa3, qa4 …… qan  的 关系，  进而 推导出    a1, a2, a3, a4 …… an  的  递进关系，   但 这样 分析起来 情况 挺复杂的，

 

根据 数列收敛 的 定义  “对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立”  ，

 

但  当   n > N 时，     元素 并不一定 单调递减 或 单调递增，   而是 可能  跳跃起伏  。   比如  当  n -> 无穷 时， bn -> B，  但 当  n > N 时，   bn 可能 从 B 的 上方 跳跃到 B 的 下方，  或 从 B 的 下方 跳跃到 B 的 上方 ， 即使  在  B 的 同一侧，   也会 起伏，  也就是 时而增 时而减，    不是 单调递减 或 单调递增   。

 

但  根据 数列收敛 的 定义  “对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立”  ，   我们 可以 从 { bn } 中 挑选 一些  一个比一个小  （一个比一个大） 的 元素，  组成 一个  新数列，   这个 新数列 单调递减 （单调递增） ，   也可以  沿 这个 思路 来 证明  这题  。

 

凡此种种，   总的来说，   做 这题 考虑了  比较多 的 东西，    也 引出了 一些 问题 ：

 

当  n -> 无穷 时，   pn 在 多个值上 跳跃，   何为 “跳跃”？    除了 跳跃，还有 什么 原因 会 让 an 不趋于 唯一的 值 ？   若  an  单调递减 ，  是否可以认为 an 趋于 唯一的值 ？   任意数列 单调递减，   会不会 趋于 唯一的 值？   这些用 数学语言 描述 起来 是 很麻烦 的  。

 

这些 问题 尚待澄清  。

 

当然，   引出 的 问题 还有 其它的，  比如，     无数个 小于 1 的 正数 相乘 结果 一定  是  0  吗 ？   会不会 也 存在 极限，   极限 大于  0 ？

 

当然，   0  也是 极限，  这里  “会不会 也 存在 极限”  的 意思 是，   无数个 小于 1 的 正数 相乘  会不会  不是 无限制 的 趋于 0，  而是  会 渐进渐 “停留”  在  一个 大于 0 的 值 ？

 

无数个 小于 1 的 正数 相乘 可以 趋于  大于 0 的 值，   一定 是 趋于 一个 值 吗 ？    会不会 在 多个 值 之间 跳跃 ？    或是 在 无数个 值 上 跳跃 ？   

 

当  n -> 无穷 时，   qbn -> 1 ，       这里面 总 好像 有 什么 需要 搞清楚 的  。

 

 

还好 这题 只是 证明 数列 收敛，   不是 数列和 收敛 ，    不然 可能 要 牵扯出  调和级数 了  。