一道数学题 ： f ( 2^x ) + f ( 3^x ) = x ， 求 f ( x )

今天 （2021-09-17）  在 数学吧 看到了一个 帖 《头疼…》  https://tieba.baidu.com/p/7540845537   ，   里面 列了 一道题 ，

 

 

 

 

 

因为   f ( 2^x ) + f ( 3^x )  的 x 都在 指数 上，    要 让 它们 等于 右边 x，   就需要 让 x 从 指数 上 拿下来，成为 系数，    也就是，  f ( x ) 可能是一个  对数函数  。

 

假设  f ( x ) = log﹙n﹚x   ，     为了 避免 和   f ( 2^x ) + f ( 3^x )   里 的 x  混淆，  我们 还是 用  f ( u )  表示 好了  。

 

f ( u )  =  log﹙n﹚u

 

log﹙n﹚2^x  +  log﹙n﹚3^x  =  x

log﹙n﹚n^[ ( log﹙n﹚2 ) * x ]  +  log﹙n﹚n^[ ( log﹙n﹚3 ) * x ]   =  x

( log﹙n﹚2 ) * x  +  ( log﹙n﹚3 ) * x   =  x

log﹙n﹚2  +  log﹙n﹚3   =  1

n^[ log﹙n﹚2  +  log﹙n﹚3 ]   =   n^1

n^( log﹙n﹚2 )  *  n^( log﹙n﹚3 )  =  n

2 * 3  =  n

n = 6

 

f ( u )  =  log﹙6﹚u

 

把  u 换回用 x 表示，    f ( x )  =  log﹙6﹚x