转自知乎 ： 数学竞赛和物理竞赛的强度差距有多大？

《数学竞赛和物理竞赛的强度差距有多大？》    https://www.zhihu.com/question/348296109/answer/2058029911

 

 

 

 

 

 

 

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上图 是  https://www.zhihu.com/question/348296109/answer/1914288599  这个 回答  。

 

橙色线  划 的    第一道题 ：   蚂蚁速度与距离成反比，求爬行时间。

 

用 微元法 解 ：

设 距离 为  s ，   时间 为  t ，    将 s 分为 一小份一小份 的，  每一份 为  ⊿ s ，   让   ⊿ s 很小，  趋于 0，  即  ⊿ s -> 0 ，   可以写成

 

⊿ s  =  s / n   ,    n ∈ N ,  n -> 无穷

 

因为   速度 与 距离 成 反比 ，  即

 

v = k / s   ,     k 为 常数

 

于是，

 

t    =    ⊿ s  / [ k / ⊿ s ]  +  ⊿ s  / [ k / ( 2 ⊿ s ) ]  +  ⊿ s  / [ k / ( 3 ⊿ s ) ]   +   ……   +   ⊿ s  / [ k / ( n ⊿ s ) ]     ,     n ∈ N ,  n -> 无穷

=    ⊿ s ²  /  k   +   2 ⊿ s ²  /  k   +   3 ⊿ s ²  /  k  +  ……  +  n ⊿ s ²  /  k 

=     ⊿ s ²  /  k    *    ( 1 + 2 + 3 + …… + n )

=     ⊿ s ²  /  k    *     ( n ² + n )  / 2   

=     ( s / n ) ²  /  k    *    ( n ² + n )  / 2   

=    s ² / ( k n ² )    *    ( n ² + n )  / 2   

=    s ² / ( k n ² )   *   n ² / 2    +    s ² / ( k n ² )   *   n / 2

=   s ² / ( 2 k )   +   s ² / ( 2 k n ) 

 

因为  n -> 无穷，    s ² / ( 2 k n )  ->  0 ，   可以 忽略，  可 舍去 ，   于是 ，

 

t  =  s ² / ( 2 k )  

=   1/2  *  s ² / k  

 

 

用   微分方程  解 ：

 

由题意，  可列 微分方程

 

ds / dt = k / s      ,      k 为 常数

解 微分方程，

s ds = k dt

两边积分，

ʃ  s ds  =  ʃ  k dt

1/2  s ² = k t

t  =  1/2  *  s ² / k

 

 

第二题 ，   轨迹 的 微分方程 是  dr / r = - tan θ dθ   。

 

dr / r = - tan θ dθ

两边积分，

ʃ  dr / r  =   ʃ  - tan θ dθ

ln r  =   -  ʃ  tan θ dθ                (1) 式

 

 ʃ  tan θ dθ

=    ʃ  sin θ / cos θ  dθ           (2) 式

因为  d ( sin θ ) / dθ  =  cos θ ，

dθ  =   d ( sin θ )  /  cos θ          (3) 式

 

将   (3) 式 代入 (2) 式  ，

 ʃ  sin θ / cos θ  dθ

=     ʃ  sin θ  / cos θ   *   d ( sin θ )  /  cos θ

=     ʃ  sin θ  / ( cos θ ) ²   *   d ( sin θ )

=     ʃ  sin θ  /  [ 1 - ( sin θ ) ²  ]   *   d ( sin θ )                 (4) 式

 

设  u = sin θ  ，     代入  (4) 式

 ʃ  sin θ  /  [ 1 - ( sin θ ) ²  ]   *   d ( sin θ ) 

=    ʃ    u / ( 1 - u ² )   *  du

=    ʃ    1/2   *   2 u / ( 1 - u ² )   *  du

因为  d ( u ² ) / du = 2u，   d ( u ² ) = 2u du  ，    代入上式，

=   1/2   *    ʃ    1  / ( 1 - u ² )   *  d ( u ² )

=   - 1/2   *    ʃ    1  / ( 1 - u ² )   *  d ( 1 - u ² )

=   - 1/2   *    ln  | 1 - u ²  |

将   u = sin θ    代回，

=   - 1/2   *    ln  | 1 -  ( sin θ ) ²  |

=   - 1/2   *    ln  ( cos θ ) ² 

=   -  ln  | cos θ |

 

即      ʃ  tan θ dθ   =   -  ln  | cos θ |  ，   代回   (1) 式 ，

 

ln r  =   -  ʃ  tan θ dθ 

=   ln  | cos θ |  

 

即   r   =   | cos θ  |

 

即  轨迹方程 是     r   =   | cos θ  |

 

 

做完了才发现，    用  dθ  =   -  d ( cos θ ) / sin θ  代入的话，    ʃ  tan θ dθ   一步 就 积出来了  。

 

 

 

 

知乎问题《如何成为数学系大佬?》里 的 一个 回答 ：   https://www.zhihu.com/question/324016935/answer/690972258

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 《如果现在中国人中出现一位欧拉或者希尔伯特之类的数学家并全职留在国内，是否会影响中国数学进步的进程？》  https://www.zhihu.com/question/450742382/answer/1795855590

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

又看到一题（数学吧 的），   《毫无头绪…》 https://tieba.baidu.com/p/7542471768   ，

 

 

 

我 不小心 看了 一下  3 楼 的 答案  。    思维机器