今天看到了一个 求 平面图形 Centroid 的 办法

这件事 其实 是 这几天 讨论 的 一些问题 引出来 的，   见 《记录一下这几天的一些讨论》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15028555.html  。

 

今天 （2021-7-16）  下午，   馥岚过野  在 QQ 群 里 发了一个 外国网站  https://www.efunda.com/math/areas/Centroid.cfm  ，    里面 介绍了 一个 求 平面图形 Centroid 的 方法 ：

 

 

 

 

 

 

有空 可以 写 几个 Demo 试试 。

 

其实 这里 介绍 的 方法 还是 有 挺多 可以 推敲 的 ，   比如 ，   这个 方法 可能 主要 适合用于 在 x 轴 和 y 轴 方向 上 对称 的 平面图形  。

 

由此，    又可以引出 一些 数学问题  。

 

 

 

 

2022-04-29  补充 ：

前几天 又看到了 这篇文章，   想了一下，     上面 外国网站 介绍 的 方法 也 适用于 不规则 图形，   不仅仅 适用于 在 x 轴 和 y 轴 方向 上 对称 的 平面图形  。

 

看 形心 怎么定义 。   如果 形心 定义 为 过 形心 的 任意一条直线 都 平分 图形 （图形 被 直线 分成 的 两部分 的 面积相等），   或  任意 两条 直线 过 形心，  对角 的 部分 面积 相等  。  那么，  根据 二元函数极值定理，    上面 外国网站 的 方法 还是 讲得通 的，   也是 对 的  。

 

但 又 细看了一下，   发现，   外国网站 的 公式 有 错误，  而且 错的 莫名其妙 。  不知 怎么会 想出 这样 的 公式 来 。

 

 

             第一组 公式

 

第一组 公式 看起来 是 求 “均值”，    但 这里 不应该是 求 均值，   而应该是 求 “平分线”  。     均值 和 平分线 是 不一样 的  。

 

而且 这里 的 均值 比如 Cy  是 让   Cy * A = ʃ y dA，   即 让  底 为 A， 高 为 Cy 的 矩形面积  Cy * A  等于 曲边形面积  ʃ y dA ，    但 通常来想的话，  是不是   Cy * X =  ʃ y dX  这样 的 均值 Cy 更合适一些  ？    X 是 图形 在 x 方向（x 轴） 上 的 宽度，  dX = dx 。  当然 dX 有 区间 的 属性， 包含了 定积分 的 意义，  可以 这样理解  。  比如 [ x1, x2 ] 区间 上 的 定积分   ʃ y dx , [ x1, x2 ]   可以 写作   ʃ y dX ，   即   ʃ y dx , [ x1, x2 ]   =   ʃ y dX   。   X 本身 包含了 区间 和 定积分 的 意义，  X = x2 - x1   。

 

当然，  我们刚刚说了，  这个 均值 和 平分线 是 不一样 的 ，   均值 也不适合 用来 求 形心，   和 形心 好像 没什么关系  。   既然  Cy * X =  ʃ y dX  的 这个 均值 Cy  不是 平分线 ，   那   Cy * A = ʃ y dA  的 这个 均值 Cy  和 平分线 就 更没什么关系了吧  ？     当然 这是 一个 大概 的 推断 ，   并不严格  。

 

究竟    Cy * A = ʃ y dA   有什么 含义，   得到的 Cy 是否 是 平分线，   或 是 形心 （形心 的 y 坐标），   这 需要 数学证明，   留给大家  。

 

另外，    Cy * A = ʃ y dA ，    这个 Cy 是不是 应该 也是 Y  ？     Y = y2 - y1  。     而   ʃ y dA   的  y 是不是 也应该 是 Y ？     Cy * A = ʃ Y dA   。    Cy 是  ( ʃ Y dA ) / A  得到 的 均值 Y  。

 

挺乱的  。

 

 

                         第二组 公式

 

第二组 公式  也是 求 均值，   用于 复杂图形， 把  一个 复杂图形 分割 为 一些 简单图形，    把 简单图形 的 形心 坐标 按 这个公式 合起来  。

 

如果 简单图形 是 在 x 方向 或 y 方向 上 顺序 的 排列起来 合成 复杂图形，   那 第二组公式 也 讲得通，  和 第一组公式 等价  。  如果 不是 这样，   而是 简单图形 纵横交错 像 拼图 一样 合成  复杂图形，    好像 也 讲得通，  和 第一组公式 等价  。     可以在 数学 上 证明  。

 

但 要 注意 的 是，    第一组  公式 中， A 上 有 无数个 dA，     站在 x 坐标 的 角度 来 看，   这些 dA 并不相等，  也就是 每一个 dA 不相等，   一个 dA 和 另一个 dA  不相等  。

 

第二组 公式 中，  简单图形 纵横交错 像 拼图 一样 合成  复杂图形 的 情况，   在 某个 x 处，   有 A1 也有 A2，  就是 在 这个 x 处，  A1 、A2 “纵向排列”， 纵向 是 y 方向，  则  A1 上 的 dA 和 A2 的 dA  也可能不相等  。

 

这样 会不会 有问题 ？  嘿嘿  。

 

要让  dA  处处相等，    就要 用 A 来表示 x，   设  A =  f ( x ) ，   则  x = f ^-¹ ( A ) ，    ʃ x dA =  ʃ f ^-¹ ( A ) dA，   在   ʃ f ^-¹ ( A ) dA  里，   dA 处处相等  。

 

这里，   我发现了一个定理 ：     一个函数 的 导数 的 倒数 的 积分 是 这个 函数 的 反函数  ！

 

dy / dx = f ′ ( x )

dx / dy = 1 / f ′ ( x )

dx = 1 / f ′ ( x )  dy

ʃ  dx  =  ʃ 1 / f ′ ( x )  dy

x  =  ʃ 1 / f ′ ( x )  dy

 

哈哈  。

 

就算 第二组公式 和 第一组公式 等价，  但 因为 第一组 公式 就 搞错了，   求 均值 是干嘛 ？   应该是 求 平分线  。   因此，   第一组 和 第二组 公式 都没有意义 。

 

但 受 这套 公式 和 方法 的 启发，   我 想到 和 总结 了 正确 的 方法，   说一下  。

 

对于 任意 的 复杂图形，   形心 定义 为 过 形心 的 任意一条直线 都 平分 图形 （图形 被 直线 分成 的 两部分 的 面积相等），   或  任意 两条 直线 过 形心，  对角 的 部分 面积 相等  。  这个定义  记为 【 定义 (1) 】 。

 

先 求 x 方向 的 平分线，   平分线 就是 一条 直线 将 图形 分成 两部分，  两部分 的 面积 相等  。   x 方向 的 平分线 就是 平行于 x 轴 的 平分线  。

 

再 求 y 方向 的 平分线， 

 

x 方向平分线 和 y 方向平分线 的 交点 就是 形心  。    这根据 二元函数极值定理 证明  。

 

但 又 想了一下，  发现，   这个 结论 并不成立，    也不能 用  二元函数极值定理 证明  。   

 

实际上，  可以 很容易 举出 例子，   大多数 的 图形 没有 【 定义 (1) 】 那样 的 形心，  有 【 定义 (1) 】 这样的 形心 的 图形 大概 只有 三类 ：

 

1     中心对称 的 图形

2     旋转 180 ° 对称 的 图形

3     左右对称 且 上下对称 的 图形，    左右对称 和 上下对称 都是 轴对称  。

 

在 分析 这个 问题 的 过程中，   分析了 一个 例子，

 

 

已知 钝角三角形 ΔABC，    直线  a 、b  都是  ΔABC 的 平分线，    a 、b  正交于 点  O，   AH 垂直于 BC，  AH 和 a 的 夹角 为 45 °，   EF 过 点 O 平行于 BC，   那么，   EF 是不是  ΔABC 的 平分线  ？

 

来，    同学们，     证明一下  ？

 

我想 申请 这题 作为 数学竞赛题，   不知道 能不能 入选 ？