记录一下这几天的一些讨论

记录一下 这几天 在 贴吧 里 讨论 的 一些 内容  。

 

我在 帖 里 是 K歌之王  。

 

 

《敢问本吧有没有真数学民科，帮解一题》  https://tieba.baidu.com/p/7443078010  ，

 

1 楼

mllj  ：

这道题是我做理论研究时由物理模型转化成的数学模型，无奈能力有限始终不得解。现放诸网络，寄希望于有数学大才能予指点，万分感谢。

题在下一楼，图片形式

 

2 楼

mllj  ：

               

 

 

 

 

 

mllj: 更正：F（n，k）表示的是Sn=-（n+1）*n+2k时的概率

jmctian: 回复 mllj :如果俺没理解偏差的话，可参考8楼

 

 

 

12 楼

K歌之王 ：

当 a0 = 0 时，满足条件 1、2 的 数列 有 2 个：

 

[ 0, 1, 0, 1, 0, 1 …… ] ， 记为 A1，

[ 0, -1, 0, -1, 0, -1 …… ] ， 记为 A2 ，

 

A1 的 S3 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2

A2 的 S3 = 0 - 1 + 0 - 1 = -2

 

如果 可以让 Sn 里 的 a1 可以 任取 A1 的 a1 和 A2 的 a1 这两个 a1 的 其中一个，

a2 可以 任取 A1 的 a2 和 A2 的 a2 这两个 a2 的 其中一个，

……

an 可以 任取 A1 的 an 和 A2 的 an 这两个 an 的 其中一个，

 

则 S3 可能 是 以下 这样一些 值 ：

S3 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2

S3 = 0 - 1 + 0 - 1 = -2

S3 = 0 + 1 + 0 - 1 = 0

S3 = 0 - 1 + 0 + 1 = 0

 

也就是 2, 0, -2 这 3 个 值， 显然 这和 题目中说 S3 的 值 是 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 不符，

 

要想 Sn 有 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 ， 应该 n = 6 ， 即 S6 才行 。

 

 

K歌之王: 哦，不对， 不是 S6， 是 S11， n = 11

 

 

 

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《有没有这样一道题任意n多边形中一点n分该多边形面积？》  https://tieba.baidu.com/p/7447888526

 

1 楼

bnllm  ：

这个点作图怎么得到？

 

2 楼

渝中寿人 ：

至少要分凸多边形和凹多边形

 

9 楼

K歌之王 ：

回复 7 楼  渝中寿人 ， 我先 独立 思考一下 ……

 

二维平面解析几何 里 ：

1 描述 任意多边形 本来 就 麻烦，

2 要 知道 一个 点 是否 在 多边形 的 内部 也很 麻烦，

3 要 确定 凸多边形 和 凹多边形 也 麻烦，

 

除了 三角形 以外， 最简单 的 ， 是 四边形， 以 四边形 为例 来 研究 。

 

已知 四边形 4 个 顶点 的 坐标， 求 4 等分 该 四边形 面积 的 那个点 P，

 

直接的思路， 求 P 点 和 四边形 的 4 条边 组成的 4 个 三角形 的 面积 表达式，

 

然后 列方程 让 这 4 个 三角形 的 面积 相等， 解方程 来 得到 P 点坐标 。

 

但， 这里 涉及 到 一个问题 ： 已知 三角形 3 个 顶点坐标 求 三角形面积 SΔ，

 

要求 三角形面积， 先要 根据 3 个 顶点 求 出 任意 一条 高 h ， 再 代入 三角形 面积公式 SΔ = 1/2 * 底 * h 求得 SΔ 的 表达式 ，

 

而 求 h 需要 根据 3 个 顶点 列方程， 这个方程 可能是 一个 高次方程， 它 的 解 可能是 复杂 的 高次根式， 甚至 是 超越数，

 

求出 h 后， 代入 SΔ = 1/2 * 底 * h 求 得 SΔ，

 

实际上 是 4 个 三角形 的 面积， SΔ1， SΔ2， SΔ3， SΔ4，

 

然后， 列方程组 ：

 

SΔ1 = SΔ2

SΔ2 = SΔ3

SΔ3 = SΔ4

 

记为 方程组 (1) ，

 

然后， 解这个 方程组 ， 得到 P 点坐标 ，

 

h 本身 就 够复杂了， 如果 h 能 解出来，再代入到 SΔ ， 列 方程组 (1) ，

 

可想而知 方程组 (1) 是 多么 的 bt ，，，

 

于是，

 

然后，

 

就没有 然后 了 。

 

“重心” 和 等分面积 之间的关系， 我还有点乱， 要 想一想 。

 

这里 的 P 点，似乎应该叫 “形心” ，

 

本帖 的 这个 问题 应该是 图形 和 游戏领域 的 经典问题， 应该 有 成熟的解决方案，应该 有 软件库 来 提供 这些 解决方案 。

 

虽然 有 计算机 解题， 但是 从 数学 的 角度 来 研究， 也很好玩的 。

 

ylyyjjlh 来， 让 你的 插值大法 上场 。

 

话说， 把 这个 问题 推广 到 三维空间， 会 怎么样 ？

 

 

10 楼

接 9 楼 ，

 

渝中寿人 是的， 我发了 9 楼以后也发现了， P 点坐标 ( x, y ) ， 是 x, y 2 个 未知数， 只需要 2 个 方程 的 方程组 就可以确定，

 

也就是说， 第 3 个 方程 是 多余的，

 

对于 n 边形， 第 4 个 、第 5 个 、第 6 个 …… 方程 也是 多余 的 。

 

所以， 对于 n > 3 的 n 边形 ， 不存在 点 P， 将之 面积 n 等分 。

 

那么， 可以 把 题目 改一下， P 点 将 四边形（n 边形） 的 面积 分为 4份（n 份）， 求 这 4 份（n 份） 面积 相差 最小 时 的 P 。

 

面积相差最小 可以 定义为 比如 把 n 份 面积 从大到小 排个序， 然后 用 最大的减第二大的，第二大的减第三大的，第三大的减第四大的 …… 把 这些 差 加起来，记为 ⊿ S ，

 

⊿ S 最小 表示 面积相差 最小 。 求 当 ⊿ S 最小时 的 P 。

 

 

也可以 引出 另外一个 题， 其实也是对 本题 的 简化 ：

 

在 二维平面直角坐标系 里 ， 有 A 、B 、C 3 个 点 ， 取一点 P ， ΔABP 的 面积 记为 S△ABP ， ΔBCP 的 面积 记为 S△BCP ，

 

令 S△ABP = S△BCP ， 可以知道， 满足这个条件 的 P 有 无数个， 且在一条曲线上，求这条曲线 。