“最小有理数解” 是 相对于 一定 的 精度 说的

这篇文章 的 起因 是  今天 （2020-1-6）  在 QQ 群    K 开源联盟  里 发了 《极坐标系 隐函数 数值求解 并 绘制 函数图像》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12121853.html  ，

 

由此 想起了 研究  数值求解 和 丢番图方程组 的 那段时光  。

 

 

我 知道 “最小有理数解” 就是 在 那个时期，      东方学帝 在 说到 丢番图方程组 时 说到 了  最小有理数解，     我就是 从 这里 知道 最小有理数解 这个 词  的  。

 

见  《共量子论 丢番图方程组 数值求解 最小分子解》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12129254.html    。

 

还可以 看看 《丢翻图方程组 最小解 计算机 数值求解》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12168989.html     。

 

 

 

我今天想到  另外一种  “最小有理数解 ”  ，   这种 最小有理数解  和 东方学帝 说 的 最小有理数解 不一样  。

 

下面 就来看看  我 今天 想到 的 这种 最小有理数解   。

 

今天想到，     最小有理数解 是 相对于 一定 的 精度 说的  。

 

如果 方程 的 解 是 一个 无理数，  也就是 无限不循环小数，    那么 可以 指定一个 精度 取 近似值，    精度 就是 有效小数位数  。

 

于是，  近似解 是 有 确定 的 小数位数 的 ，      这样，  可以用 一个 分数 来 表示 这个  近似解  ，    这个 分数 的 分子 和 分母 都是 整数，   这个 分数 就是 有理数解  。

 

进一步，   可以发现，   满足 某个 精度 的 有理数解 有 很多个，  也可以说 无数个，     注意，   这些 分数 并不相等，  但是 在 精度 的 小数数位 内 的 值 相等  。

 

这些 分数 有的 可以 通过 约分 使得 分子 和 分母 绝对值 很小，  注意，  分子 分母 是 整数  。

 

而 分子 最小 的 那个 分数 就是 最小有理数解  。      当然也可以说，   分母 最小的 那个 分数 就是 最小有理数解  ，       两种说法 是 一样 的  。

 

但 问题 是，    要 找到  分子 最小 的 那个 有理数解，    在 数学 上 大概 是个 问题，   毕竟 有 无数 个 有理数解，   你需要知道 这些 有理数解 约分 的 情况  。

 

于是，  实际中，    可以 找 一个  “较小” 的 有理数解  作为 不严格 的 最小有理数解   。

 

比如 分子 小于 100 可以 认为 是 “较小”，     如果 找不到 分子 小于 100 的 ，  那么 就 放宽一点，  小于 200 、300  ……  1000  ，   总之 这些 是 可以 人为 定义 的 ，   以此 得到 一个 不严格 的 ，   但是  “够小”  的  最小有理数解  。

 

“够小”   是指  这样 大小 的 分子（分母）   可以 满足 实际需要  。

 

以上 是 我 猜 的，    不知道 官方 对于  “最小有理数解”   的  定义 是不是 这样  。

 

我 似乎 看到过 数学软件  中 会 使用 一个 分数 来 表示 计算结果，   分数 的 分子分母 都是 整数，  位数 很多，  这大概 就是  有理数解  吧  。

 

 

其实 东方学帝 说 的 最小有理数解  也应该 是 相对于 一定 的 精度  说的，    只有 在 一定的 精度下，   “最小” 才有意义  。