自己 推导一个 泰勒级数

一开始 的 时候，  以为 泰勒级数 是   f ( x )  和 n 阶导数 之间 的 关系，  或者  f ( x ) 的   1 阶导数 和  2 阶 、3 阶 …… n 阶导数 之间 的 关系  ，   作了 一些 这样 的 推导  ：

 

 f ′ ( x )   =   [  f ( x + ⊿ x ) - f ( x )  ]  / ⊿ x     ,    ⊿ x -> 0

 

 f ′ ′ ( x )   

=   [  f ′ ( x + ⊿ x ) - f ′ ( x )  ]  / ⊿ x

=   {  [  f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x )  ]  / ⊿ x  -   [  f ( x + ⊿ x ) - f ( x )  ]  / ⊿ x   }  / ⊿ x

=    {  [  f ( x + 2 ⊿ x ) - f ( x + ⊿ x )   -    f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )  ]   / ⊿ x   }  / ⊿ x

=    {  [  f ( x + 2 ⊿ x ) -   2  f ( x + ⊿ x )  +  f ( x ) ]  / ⊿ x   }  / ⊿ x

=    [  f ( x + 2 ⊿ x ) -   2  f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ²

 

 f ﹙³﹚( x )   

=   [  f ′ ′ ( x + ⊿ x ) - f ′ ′ ( x )  ]  / ⊿ x

=   {  [  f ( x + 3 ⊿ x ) -   2  f ( x + 2 ⊿ x )  +  f ( x + ⊿ x )  ]  / (⊿ x ) ²  -   [  f ( x + 2 ⊿ x ) -   2  f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ²   }  / ⊿ x

=    {  [  f ( x + 3 ⊿ x ) - 2  f ( x + 2 ⊿ x )   +    f ( x + ⊿ x )   -   f ( x + 2 ⊿ x )   +  2  f ( x + ⊿ x )  -  f ( x )   ]  / (⊿ x ) ²   }  / ⊿ x

=    {  [  f ( x + 3 ⊿ x ) -   3  f ( x + 2 ⊿ x )   +  3 f ( x + ⊿ x )  -  f ( x ) ] / (⊿ x ) ²  }  / ⊿ x

=    [   f ( x + 3 ⊿ x ) -   3  f ( x + 2 ⊿ x )   +  3 f ( x + ⊿ x )  -  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ³

 

 f ﹙⁴﹚( x )   

=   [  f ﹙³﹚ ( x + ⊿ x ) - f ﹙³﹚ ( x )  ]  / ⊿ x

=   {  [  f ( x + 4 ⊿ x ) -   3  f ( x + 3 ⊿ x )   +  3 f ( x + 2 ⊿ x )  -  f ( x + ⊿ x )   ]  / (⊿ x ) ³  -   [  f ( x + 3 ⊿ x ) -   3  f ( x + 2 ⊿ x )   +  3 f ( x + ⊿ x )  -  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ³   }  / ⊿ x

=    {  [  f ( x + 4 ⊿ x ) -   3  f ( x + 3 ⊿ x )   +  3 f ( x + 2 ⊿ x )  -  f ( x + ⊿ x )    -   f ( x + 3 ⊿ x )  +   3  f ( x + 2 ⊿ x )   -  3 f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ³   }  / ⊿ x

=    {  [  f ( x + 4 ⊿ x )  -   4 f ( x + 3 ⊿ x )  +  6  f ( x + 2 ⊿ x )   -  4 f ( x + ⊿ x )  +  f ( x ) ] / (⊿ x ) ³   }  / ⊿ x

=    [    f ( x + 4 ⊿ x )  -   4 f ( x + 3 ⊿ x )  +  6  f ( x + 2 ⊿ x )   -  4 f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )   ]  / (⊿ x ) ⁴

 

 f ′ ( x ) ,   f ′ ′ ( x )  ,   f ﹙³﹚( x )   ,   f ﹙⁴﹚( x )   ……  f ﹙n﹚( x )     是  f ( x ) 的 1 阶导数，  2 阶导数，  3 阶导数，  4 阶导数  ……  n 阶导数  。

 

依此类推，  可得     

 

f ﹙⁵﹚( x )   =   ……

f ﹙⁶﹚( x )   =   ……

f ﹙⁷﹚( x )   =   ……

……

f ﹙n﹚( x )   =   ……

 

由上，

 

 f ′ ( x )   =   [  f ( x + ⊿ x ) - f ( x )  ]  / ⊿ x     ,    ⊿ x -> 0                                 (1) 式

 f ′ ′ ( x )   =      [  f ( x + 2 ⊿ x ) -   2  f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ²                     (2) 式

 f ﹙³﹚( x )   =      [   f ( x + 3 ⊿ x ) -   3  f ( x + 2 ⊿ x )   +  3 f ( x + ⊿ x )  -  f ( x )  ]  / (⊿ x ) ³      (3) 式

 f ﹙⁴﹚( x )   =     [    f ( x + 4 ⊿ x )  -   4 f ( x + 3 ⊿ x )  +  6  f ( x + 2 ⊿ x )   -  4 f ( x + ⊿ x )  +  f ( x )   ]  / (⊿ x ) ⁴         (4) 式

 ……

 f ﹙n﹚( x )   =   ……

 

怎么 感觉 好像 杨辉三角   ……

 

 

根据 (1) 式，  可得 ：

 f ( x + ⊿ x )  =   f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )       (5) 式

 

根据 (2) 式，  可得 ：

 f ( x + 2 ⊿ x )  =    f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +  2  f ( x + ⊿ x )  -  f ( x )   

 

将   (5) 式 代入   ，

 

 f ( x + 2 ⊿ x )  =    f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +  2 [  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )  ]  -  f ( x )    

=    f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +  2  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )             (6) 式

 

根据 (3) 式，  同理可得 ：

 

 f ( x + 3 ⊿ x )    =   f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³    +  3  f ( x + 2 ⊿ x )   -  3 f ( x + ⊿ x )  +  f ( x ) 

 

将  (5) 式 (6) 式 代入 ，

 f ( x + 3 ⊿ x )      

=   f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +   3  [   f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +  2  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )  ]  -  3 [  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )  ]  +  f ( x ) 

=    f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +    3  f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +   6  f ′ ( x ) * ⊿ x  +   3 f ( x )   -  3  f ′ ( x ) * ⊿ x  -  3  f ( x )   +  f ( x ) 

=    f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +    3  f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +   3  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )              (7) 式

 

根据 (4) 式  ，

 

 f ( x + 4 ⊿ x )   =   f ﹙⁴﹚( x )  *  (⊿ x ) ⁴    +  4 f ( x + 3 ⊿ x )  -  6  f ( x + 2 ⊿ x )   +  4 f ( x + ⊿ x )  -  f ( x )  

 

将  (5) 式 (6) 式 (7) 式 代入 ，

 

f ( x + 4 ⊿ x )  

=   f ﹙⁴﹚( x )  *  (⊿ x ) ⁴    +  4 [   f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +    3  f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +   3  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )  ]  -  6  [   f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +  2  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )  ]   +  4 [  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )  ]  -  f ( x )  

=   f ﹙⁴﹚( x )  *  (⊿ x ) ⁴     +  4  f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +    12  f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +   12  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  4 f ( x )  -  6   f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²   -   12  f ′ ( x ) * ⊿ x  -  6  f ( x )   +  4  f ′ ( x ) * ⊿ x  +   4  f ( x )   -  f ( x )  

=    f ﹙⁴﹚( x )  *  (⊿ x ) ⁴    +   4  f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +   6   f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²   +    4  f ′ ( x ) * ⊿ x   +   f ( x )             (8) 式

 

 

整理一下 ，

 f ( x + ⊿ x )  =   f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )       (5) 式

 f ( x + 2 ⊿ x )  =    f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +  2  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )             (6) 式

 f ( x + 3 ⊿ x )    =    f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +    3  f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²  +   3  f ′ ( x ) * ⊿ x  +  f ( x )              (7) 式

 f ( x + 4 ⊿ x )    =    f ﹙⁴﹚( x )  *  (⊿ x ) ⁴    +   4  f ﹙³﹚( x ) *   (⊿ x ) ³  +   6   f ′ ′ ( x )  (⊿ x ) ²   +    4  f ′ ( x ) * ⊿ x   +   f ( x )             (8) 式

 

(1) ( 2) (3) (4) 式   的 系数 满足 杨辉三角，     (5) ( 6) (7) (8) 式   的 系数 也 满足 杨辉三角，   将   (1) ( 2) (3) (4) 式   称为 1 组，     (5) ( 6) (7) (8) 式  称为 (2) 组，

 

1 组 可以继续 推导   f ﹙⁵﹚( x )  ,    f ﹙⁶﹚( x )  ,    f ﹙⁷﹚( x )    ……  f ﹙n﹚( x )     ，    可以知道，   f ﹙⁵﹚( x )  ,    f ﹙⁶﹚( x )  ,    f ﹙⁷﹚( x )    ……  f ﹙n﹚( x )   的 系数 仍然 满足 杨辉三角，

 

2 组 可以继续 推导   f ( x + 5 ⊿ x )   ,    f ( x + 6 ⊿ x )    ,    f ( x + 7 ⊿ x )     ……  f ( x + n ⊿ x )      ，    大概  可以知道，    f ( x + 5 ⊿ x )   ,    f ( x + 6 ⊿ x )    ,    f ( x + 7 ⊿ x )     ……  f ( x + n ⊿ x )   的 系数 仍然 满足 杨辉三角，

 

区别 是  2 组 的 系数 都是 正号，  没有 负号  。

 

2 组  由  1 组  移项 代入 而成，    所以， 这个 现象 可以称为 “杨辉三角 反转定理”，  或  “杨辉三角 逆转代入定理”    。

 

 

等 ……  我们 的 任务 是 推导 泰勒级数，   接下来 要 怎么办 ？    把    (1) ( 2) (3) (4) …… 式  像 接龙 一样 的 接起来 ？   还是 把  (5) ( 6) (7) (8) ……  式  像 接龙 一样 的 接起来   ？

 

也可以 把  式子  再 变换一下  再 接 起来，     总之 ，    这里 可以有 一些 玩法   。

 

我原来 想过 用 等比数列 求和 公式   把    k1 * ⊿ x  +   k2  *  (⊿ x ) ²  +   k3 * (⊿ x ) ³  +  k4  * (⊿ x ) ⁴   +    ……     归纳起来 ，  但  k1, k2, k3, k4  ……   不是 等比 的 。

 

把 每个 式子 归纳 以后  再 接龙 起来  会 怎么样 ？    如果 可以 做到的话  。

 

 

2 组 中   f ( x + n ⊿ x )   =       ……      ，     当  n -> 无穷   时，     n ⊿ x   会否 成为 一个 宏观 的 ⊿ x   ？   

 

宏观 的 ⊿ x  记为  ⊿ X   ，     

 

如果   n ⊿ x   是 宏观 的 ⊿ x  ，      即   如果    n ⊿ x   =   ⊿ X     ，

 

那么     f ( x + ⊿ X )  =   f ( x + n ⊿ x )   =     ……  

 

就是 说 可能 计算出     f ( x + ⊿ X )    ，      根据    f ( x )    和   f ′ ( x ) ,   f ′′ ( x ) ,   f ﹙³﹚ ( x ) ,   f ﹙⁴﹚( x )   ……   f ﹙n﹚( x )     计算 出    f ( x + ⊿ X )    ，     这好像 有点 泰勒级数 的  样子  了  ，   或者说，  有点  “根据 f ( x ) 上 的 一个 定点 和 n 阶导数  计算出 任意一个 x 的  f ( x )”     的 样子 了  。

 

但，  不行  。

 

因为  n ⊿ x  不是 宏观 的 ⊿ x，    n ⊿ x   !=   ⊿ X   ，

 

因为 上面 是 导数 推导，    所以  (1) ( 2) (3) (4) …… 式 ，     (5) ( 6) (7) (8) ……  式   成立 的 条件 是 ⊿ x -> 0 ,  2 ⊿ x -> 0 ,  3 ⊿ x -> 0 ,  4 ⊿ x -> 0  ……  n ⊿ x -> 0  ，

 

当  n -> 无穷 时，   仍然   n ⊿ x -> 0，    可以认为，   n -> 无穷 时，    n ⊿ x 里 的  ⊿ x  是 n ⊿ x  的 高阶无穷小   。 

 

也可以 写成     n ⊿ x   !=   ⊿ X   ，      n ² ⊿ x   =   ⊿ X      。

 

 

又 或者 通过 接龙 得到   f ( x + ⊿ x)  -  f ( x )  =    ……    ，

 

因为     ⊿ f ( x ) =    f ( x + ⊿ x)  -  f ( x )  =    ……     ，

 

所以     f ( x )  =   ʃ  ⊿ f ( x )  =    ʃ   [  f ( x + ⊿ x)  -  f ( x )  ]   =    ʃ    ……     ，

 

就是说，   如果 可以得到    ⊿ f ( x )  的 一个 级数表达式 ，     f ( x )  =   ʃ  ⊿ f ( x )  ，   对  这个 级数表达式 积分 就可以得到   f ( x ) ，  幸运的话，    积分 ʃ   可以 消掉  级数表达式  里 的 微分  ⊿ x   ，     这样，    级数表达式  里 只剩下 代数式 的 成分，      这样，   就得到 一个 代数式 表达 的 级数 了   。

 

 

总之 ，    这里 可以有 一些 玩法   。     这样 能不能  推导出  泰勒级数 ，  或者 一个 用   f ( x )  的  n 阶导数 表示  f ( x )   的 级数 ？

 

我作了一些 尝试，  没有成功  。  但 说不定 也许能成功 呢  。

 

总之，     直接 去 寻找   f ( x ) 和 n 阶导数 之间 的 关系 似乎 行不通   。