傅里叶级数 和 高次多项式函数

傅里叶级数 和 高次多项式函数 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面 的 异同，  各自 的 能力 和 特点  。

 

这个 课题 也 和 霍奇猜想 有关  。    我还在  《三角函数 版 的 霍奇猜想》      https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13768500.html   里 提出了 三角函数 版 的 霍奇猜想 呢  。

 

为什么 和 霍奇猜想 有关 ？    因为 都 和 “形状” 有关 嘛 。

 

本文 也可以叫  《论 傅里叶级数 和 高次多项式函数 构建 函数曲线 形状 多样化》，  《论 傅里叶级数 和 高次多项式函数 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面》  ，

《傅里叶级数 和 高次方程》，   《论 傅里叶级数 和 高次方程 构建 函数曲线 形状 多样化》，  《论 傅里叶级数 和 高次方程 在 构建 函数曲线 形状 多样化 方面》  。

 

如果 将 一个 定义域 T  里 的 多项式函数 定义 为 一个 周期，   则 可以用 多项式函数 来 表示 周期函数，   T  是 一个 周期  。   如果 周期函数 是 连续的，  则 要求 T 内 的 多项式函数 的 函数曲线 首尾 的 函数值 相等   。   如果 周期函数 是 连续光滑 的，  则 要求 T  内 的  多项式函数 的 函数曲线 首尾 的 函数值 和 导数 相等   。

 

 

以上 写于     2020-10-03 ，    今天 是  2022-06-13 ，    接着写，  也对 上文 做了一些 修改  。

 

 

下文 内容 大部分 节选于 《我邀请 民科吧 网友 来 反相吧 数学探讨 和 数学辩论》   https://tieba.baidu.com/p/6407504187     13 楼 14 楼  。

 

 

傅里叶级数 分解法 就是 求 f ( x ) 的 傅里叶级数 的 方法 。

 

傅里叶级数 分解法 可以有 若干种， 比如 ：

 

1 传统的方法， 好像就是 傅里叶变换 ， 还有 小波分解 什么的，

2 我在 10 楼 提到的 方法

3 规划， 规划 是 计算机程序 为主 的 方法， 基于 特征 。 简单的 规划 可以 算为 专家系统， 自主学习 的 规划 可以算为 人工智能 。

 

 

长久以来， 傅里叶级数 在 信号分析 领域 的 应用 大概 是 光环 多于 实际作用 。

 

傅里叶级数 反映 的 是 一种 数学性质， 而 实际中， 信号分析 要 知道 的 可能 更多 是 信号 的 特征， 也可以说 是 特征分量 。

 

就是 说， “特征” 可能 比 “数学性质” 更 满足 信号分析 的 需求 。

 

我以前 在 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 里 提出过 特征分量 。

 

比如， 生物， 包括 人 和 动物 ， 甚至 植物， 它们 的 耳朵 和 听觉 处理 声波 大概 是 用 提取 特征 的 方式 的 ， 不太像是 用 傅里叶级数 。

 

我以前想， 动物 和 人 的 脑子 里 有没有 一个 模块 是 处理 傅里叶级数 的 ？ 把 声波 的 波形 分解为 傅里叶级数 。

 

自然界 的 信号 强行 分解 为 傅里叶级数 反而 会 丢失 特征信息 。

 

就算是 电信 和 计算机 网络 的 物理层 和 链路层， 用 傅里叶级数 进行 信号分析 也 往往 可能 是 走弯路 。

 

实际上， 用 特征 的 方法 也许 更好 。

 

比如， 对于 方波， 可以 将 它 的 “方” 的 2 个 角 作为 特征 提取出来， 剩下 的 波形 就变成 比较 圆滑 和 渐变 的 ， 可以 分析 2 个 方角 的 分量（波） 在 电路 中 传输时 受到 的 影响， 比如 电路 对 方角 突变 的 响应延迟 和 失真， 等等 。

 

这样 的 方法 不需要 高深 的 数学， 主要 是 系统思维 和 系统设计 。

 

一说起 傅里叶级数（的 用途）， 大家可能就会说 “频谱”， 好吧， 频谱 就 频谱 吧， 哈哈哈哈 。

 

傅里叶级数 在 数学 上 有 重要价值， 因此， 傅里叶级数 更大 的 用途 应该 是 数学分析，未来， 傅里叶级数 会 在 各种 新式 的 数学方法 中 扮演 重要 关键 奇兵 的 角色 。

 

傅里叶级数 反映 的 是 正弦函数 的 一种 “相干性” ， 多个 二次函数 相加 结果 还是 一个 二次函数， 函数 顶点 仍然只有一个， 不会增加 新的 极值点 ， 而 正弦函数 则 不然 ， 这就是 正弦函数 的 相干性 。

 

我想 这些 值得研究 ， 有什么用， 还不知道 。

 

 

证明 傅里叶级数 不一定 从 周期函数 入手， 可以从 相干性 入手 。

 

证明了 相干性， 就 证明了 傅里叶级数 。

 

相干性 指 两个 或 多个 正弦函数 相加 可以 产生 额外 或 任意 的 极值点 和 拐点 。 这一性质 可以带来 形状多样化 ， 函数曲线 的 形状多样化 。

 

傅里叶级数 的 正弦函数 们 是 倍频 的 关系， 即 频率 是 基频 的 整数倍， 实际上， 任意 的 两个 或 多个 不同 频率 的 正弦函数 都 有 相干性 。

 

试了一下， 两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 还是 一个 同频率 的 波形 像 正弦函数 的 函数， 不会产生额外 的 极值点 ， 嘿嘿嘿 。

 

两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 可以 写成

 

y = sin ( ω t ) + sin ( ω t + ψ ) , t 为 变量， ω 、ψ 为 常量

 

因为 频率相同， 也就是 ω 相同， 可以把 ω t 写成 α ，

 

y = sin α + sin ( α + ψ )

根据 三角和角公式 ，

= sin α + sin α cos ψ + cos α sin ψ

= ( 1 + cos ψ ) sin α + cos α sin ψ , α 为 变量 ， ψ 为 常量

 

可以写成

 

y = A sin α + B cos α , A 、B 为 常量

 

这一看， 有点傻眼， A sin α + B cos α 是 什么 鬼 ？ 既不是 正弦函数， 又不是 余弦函数， 用 《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745 文章结尾 的 演示程序 演示了一下， sin α + sin ( α + ψ ) 的 波形 类似 正弦函数， 没有 产生 额外 的 极值点， 频率（周期） 和 sin α 一样 。

 

那 问题来了， 要怎么证明 A sin α + B cos α 的 波形 类似 正弦函数， 没有 产生 额外 的 极值点， 频率（周期） 和 sin α 一样 ？

 

有点 困难 。

 

简单一点， 粗略的， 我们 来 寻找 A sin α + B cos α 上 相距最近 的 2 个 极值点 。

 

对 A sin α + B cos α 求导

( A sin α + B cos α ) ′

= A cos α - B sin α

 

让 导数 = 0

A cos α - B sin α = 0

A cos α = B sin α

sin α / cos α = A / B

tan α = A / B

 

A / B 是 常量， tan α 的 周期 是 π ， 也就是， α 每隔 π ， tan α 等于一次 A / B ， 也就是 α 每隔 π ， ( A sin α + B cos α ) ′ = 0 ， 也就是 α 每隔 π ， A sin α + B cos α 出现一次 极值点， 也就是， A sin α + B cos α 相距最近 的 2 个 极值点 之间 相距 π 。

 

波峰之后 要 经过 波谷 才会 再 出现 波峰， 波峰 和 波谷 之间 相距 π ， 波峰 和 波峰 之间 相距 2 π ， 所以 A sin α + B cos α 周期 和 sin α 一样， 都是 2 π ， 也没有 额外 的 极值点， 大致 可认为 波形 和 sin α 相似 。

 

这是 周期一样 的 两个 正弦函数， 相加 不会 产生 额外 的 极值点 （和 拐点） ， 但是， 如果 周期 不一样， 两个 正弦函数 相加 是 会 产生 额外 的 极值点 的， 这个 我也用 演示程序 演示过了 。

 

由此， 将 一个 信号 分解 为 正弦分量， 不一定 要 按照 傅里叶级数 的 倍频关系， 而是 可以 根据 需要 选择 适当 的 频率， 也就是说， 可以 用 任意 的 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 相加 来 表示 一个 信号， 这些 正弦函数 都是 信号 的 正弦分量 。 换句话说， 一个 信号 可以 分解 为 任意 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 。 简单的说， 一个 信号 可以 分解为 任意 的 一些 正弦函数 。

 

这样 就 比 傅里叶级数 灵活， 正弦分量 本身 就 可以 接近 信号 的 特征分量， 也可以说 这种做法 融合了 傅里叶级数 和 特征分量 两种 方法 。

 

 

顺带引出一个 问题 ：

 

众所周知， 三角函数 可以 展开 为 泰勒级数， 泰勒级数 是 高次多项式， 多个 正弦函数 相加 可以 表示为 多个 泰勒级数 相加，

 

正弦函数 相加 产生 额外 的 极值点 和 拐点， 多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，

 

那么， 把 多个 正弦函数 表示 为 多个 泰勒级数， 一个 正弦函数 对应 一个 泰勒级数， 这些 正弦函数 相加 会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，

 

那么， 按理， 这些 泰勒级数 相加 也会 产生 额外 的 极值点 和 拐点， 但 另一方面， 泰勒级数 是 多项式， 多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，

 

这就 矛盾了， 这是 为什么 ？

 

也可以说，   n 次 多项式函数 最多 有  n - 1 个 极值点，    泰勒级数  n -> 无穷，    那么，  多个 泰勒级数 相加 还是一个 n 次 多项式，  n -> 无穷，    这个 n 次多项式 的 极值点 就算 不是   n - 1 个，   （极值点数量）也和 n 相关，   可能 也是 无穷 个，   虽然 没有 具体分析，  更没有 严格证明，  但  大概 可以这样看  。  那么，  设 有 一个 信号  f ( t )，  有 5 个 极值点，   将  f ( t ) 表示 为 傅里叶级数，   傅里叶级数 里 的 正弦函数 又 表示 为 泰勒级数，  则 傅里叶级数 表示 为 多个 泰勒级数 相加，  结果 是 一个  n 次 多项式， 刚刚说了，  这个  n 次 多形式 的 极值点 大概 有 无穷 个，     但 这个 n 次 多项式 是  f ( t )  的 傅里叶级数，  即  n 次 多项式 和  f ( t ) 等价，  当然 两者 的 函数曲线 也一样，  因为  f ( t )  有 5 个 极值点，  n 次 多项式 也 应该 是  5 个 极值点，    这 就 和 刚刚说的  n 次 多项式 的 极值点 有 无穷 个  矛盾 了  。    这是 怎么回事 ？

 

从 这里 还可以 引出 一个 课题，   设  一个 任意 的 连续光滑 的 信号   f ( t ) ，   有  n - 1 个 极值点，    因为  n 次多项式 最多有 n - 1 个 极值点，  是不是 可以用 一个 n 次 多项式 来 表示 这个 信号，  只要 给  n 次 多项式 的 各项 指定 适当 的 系数，  n 次 多项式 的 函数曲线 就会 和   f ( t )  一样，  即 两者等价 ？

 

比如   f ( t ) 有 5 个 极值点，   就 可以 尝试 用 一个 6 次 多项式 来 表示  f ( t )，   说 “无限逼近”  也行，   只要 给出 适当 的 各项系数，   6 次 多项式 的 函数曲线 就会 和  f ( t )  重合， 或者说 无限逼近  f ( t )   。   注意  6 次 多项式 的 函数曲线 只需要 在  f ( t ) 的 定义域 T 内 和  f ( t ) 重合，   这句话 好像是 废话，  但 说一下 比较 清楚  。 

 

6 次 多项式  比如     y = a6 * t ⁶  +  a5 * t ⁵  +  a4 * t ⁴  +  a3 * t ³  +  a2 * t ²  +  a1 * t  +  a0  ，    只要 给出 适当 的 各项系数   a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 ，    y 的 函数曲线 就会 和  f ( t )  重合， 或者说 无限逼近  f ( t )   。 

 

这个  设想 称为   “多项式 函数曲线 形状 猜想”，    简称   “多项式 曲线形状 猜想” 、“多项式 曲线 猜想”  。

 

严格的说， n 次 多项式 最多有 n - 1 个 极值点 + 驻点，   这里 没有 考虑 驻点，   如果  f ( t ) 有 n 个 极值点，  m 个 驻点，  那么，  应该 用   n + m + 1 次 多项式 来 表示 它  。

 

实际上，     f ( t ) 有 5 个 极值点（驻点），  不一定只是 用 6 次 多项式 来 表示  f ( t )，   也可以用 7 次 多项式，   8 次 多项式，  9 次 多项式  ……  n 次多项式，  n >= 6  。   只要 n 次 多项式 在  f ( t ) 的 定义域 T 内 和  f ( t ) 重合  。

 

所以，   若  n = 6，   有 几个 解  ？  或 无解 ？     即 有 几个  6 次 多项式 可以  表示 （无限逼近）  f ( t )  ？

若  n >= 6  ，    有 几个 解  ？  或 无解 ？  

 

 

 

 

本文 已 发到 反相吧  《傅里叶级数 和 高次多项式函数》     https://tieba.baidu.com/p/7902477319    。

 

 

4 楼

回复  3 楼  @dons222       

 

dons 老板 说的 很有 参考价值  。

 

傅里叶级数 反映的是 数学 的 一个 基本规律，   但 并不见得 和  “需求”  直接对应  。

 

在 实现需求 的 过程中，   傅里叶级数 可以 作为 一个 工具  。     也可以像  1 楼 说的  灵活 的 利用 正弦函数 的 相干性  。

 

 

 

 

5 楼

在  《【快报】美国资深物理博士宣告东方学帝是对的！》   https://tieba.baidu.com/p/7902251378   6 楼 有一些 讨论  。

 

顺便 艾特一下    @你时间改变一切    。

 

 

 

 

6 楼

信号  可以用   n 次 多项式 近似 表示，

各种函数 可以用   n 次 多项式 近似 表示，

三体问题  一段时间 内 的 解 （运动规律 / 运动状态 / 运动状况）   可以用   n 次 多项式 近似 表示，

微分方程 的 解  可以用   n 次 多项式 近似 表示，

 

粗略的看，    n 越大，   可以达到的 近似程度 越高  。

 

（偏导数） 牛顿迭代法 是 “线性化”，      那么，   用   n 次 多项式 近似 表示 各种函数  就是  “代数化”  。

 

我 前几天 在  《卷积 毫无意义》    https://tieba.baidu.com/p/6670161662   12 楼  说 

“

当代， 接下来， 我们 是不是 要把 微积分 和 代数 再次 合起来 ？ 或者 静下心 思考 一下 数学 的 未来 ？

别跟我说 微分拓扑 代数几何 就是 把 微积分 和 代数 结合起来 哈 。

应该想想， 微积分 是 实数， 代数 也是 实数， 两者 差别 在哪 ？ 它们能干吗 ？ 别跟我说 “动力系统”， 这个词 听起来像 物理词汇， 甚至更像 工程词汇， 实际上是 数学名词 。 动力系统 是 微积分 学科， 还是 代数 学科 ？

”

 

现在 这个 “代数化”   是不是 把    微积分 和 代数  两个 连 起来了 ？      其实 我还没想好  。

 

 

 

 

昨天前天 进一步 想了一些  公式推导，  主要有 用  n 次 多项式 在 一段 有限 的 定义域 上 模拟（近似表示）  y = e^x 和 y = sin x  。

 

实际上，  本文课题 也是 离散泛函 的  一部分内容  。

 

为什么 是 离散泛函 ？    为什么 是  “离散”  ？      n 次 多项式 的 系数 是   an ,  a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 ，   这 是不是 一个 数列 { an } ？   由 这个 数列 作为 系数 的  n 次 多项式 可以 （近似） 表示 各种函数，   是不是 “泛函”  ？       而 数列 { an }  是 离散 的，  是 由  离散 的 自变量 { an } 描述  函数 因变量，   所以 是 离散泛函  。   多个 数列 可 组成 矩阵，   矩阵 也是 离散 的  。

 

本来 最初 我 对 离散泛函 的 设想 是 基于特征 的 规划 分析，   但 也 总觉得 这只是个开始， 只是个 种子，  还没真正成长，  还可以 加入 别的，  到时候才真正成长 。  现在，  把  本文课题  这一类 加进来  。    我 在 早先时候 就 有了 离散泛函 的 设想，  比如 见 《关于 牛顿 一个晚上 搞定 最速降线》   https://tieba.baidu.com/p/6715083475   。

 

本文课题 和 离散泛函 也是 线性分析 的 一部分内容  。

 

所谓 线性分析，    就是  从 不同层面 观察 事物，    再 把 观察结果 综合起来  。

 

不同 的 层面，   比如 一般趋势 和 峰值预警  。    一般趋势 和 峰值预警    就是 两个 层面  。   其实 既然 是 从 不同层面 不同角度 观察事物，   这个  层面 角度 当然 很多 很丰富，  大家  尽管 开动脑筋，  发挥想象力 。

 

这种  “从 不同层面 观察 事物，    再 把 观察结果 综合起来”   的 思想，   我 在 以前 的 文章 里 提出过，   比如 《三江方士 的 中华级数 想到 数学的界限》   https://tieba.baidu.com/p/6420834774 ，  《科学发展的趋势 和 当代科技向未来发展要做的几件大事》，   《对 广义相对论 的 评价》， 《用 机器学习 逼近 求解 高阶方程》， 《数学 怎么用？》 。

 

来看个例子，   用  n 次 多项式 近似表示 微分方程 的 解，   分析 解 的 一般趋势 和 峰值预警，   需要 做 一些 不同 的 计算  。   一般趋势 要 做一些  “这样的”  计算，  峰值预警 要 做一些   “那样的”  计算，    都是  n 次 多项式 的 原理，  但 计算逻辑 不同，  也就是 计算程序 不同，  此时，  计算机程序 是 好帮手，   你 可以 为  一般趋势 编写 一段 程序，  为 峰值预警 编写 一段 程序  。

 

也由此可知，     学帝  @XDDongfang   的 那些 算法，  如果 写成 计算机程序，  将会是 应用价值 丰富 的 数学软件 。   学帝 拿着 那些 算法，   找一个 合适 的 投资，   搞一个 上市公司   绰绰有余 了  。 （笑）

 

 

 

 

不同 的 层面，

 

 

 

 

 

/******   草稿

y = e^x，  让 n 次多项式 的 n 为 无穷，   这样 永远 求导数 求不完，   不会 求导 二次函数 一次函数

 

n 次 多项式     n 项 系数

一阶导数    n -1 项 系数

二阶导数   n - 2 项 系数

三阶导数   n - 3 项 系数

……

组成  方程组，    n 个 未知数 （系数）  

 

ʃ  | a2 x ²   -   2 a2 x | dx  ->  最小

 

和 求 傅里叶级数 差不多 了，      一个 新的 傅里叶级数 分解法，     一个 周期信号 分解 为 若干个 正弦信号 

 

峰值预警    峰值点

********/

 

 

 

 

 

微分方程 描述的是  原函数 和 各阶导数 之间 的 关系，  比如

 

y﹙m﹚ + …… +  y ′′ + y ′ +  y  =  f ( x )

 

注 ：    y﹙m﹚ 是 y 的 m 阶导数 。

 

如果 用 一个 n 次 多项式 近似表示   y ，   n 次多项式 的 导数 是 一个 n - 1 次多项式，  可以用来 近似表示  y ′，   n 次多项式 的 二阶导数 是 一个 n - 2 次多项式，  可以用来 近似表示 y ′′ ，    依此类推，    n 次多项式 的 m 阶导数 是 一个 n - m 次多项式，  可以用来 近似表示  y﹙m﹚，    y﹙m﹚ 是 y 的 m 阶导数  。

 

把   n 次多项式 ,  n - 1 次多项式 ,  n - 2 次多项式   ……  n - m 次多项式  代入 微分方程，  代换   y ′ ,    y ′′  ……  y﹙m﹚，   微分方程 就变成了 一个 多项式方程，  当然，  方程右边 的  f ( x )    不一定 是 多项式，   但 方程左边 的 原函数 和 各阶导数 都变成了 多项式，   这样，   就把  微分方程 转化 成了  代数方程  。  当然，  方程右边  f ( x )   不一定 是 代数函数 。

 

n 次 多项式 的 系数 有 n 个，  算上 0 次项 的 系数，  有 n + 1 个，  0 次项 的 系数 就是 常数项，  记为 a0，  也就是 n 次 多项式 的 系数 是   an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0，  一共  n + 1 个  。  

于是，   

n - 1 次 多项式 的 系数 是 n 个，

n - 2 次 多项式 的 系数 是 n - 1 个，

n - 3 次 多项式 的 系数 是 n - 2 个，

……

 

总之 呢，    y﹙m﹚ + …… +  y ′′ + y ′ +  y  =  f ( x )   这个 微分方程  左边 包含了  原函数 y 和 一阶导数，  二阶导数  ……  m 阶导数，   

y 对应 n 次 多项式，      有  n + 1 个 系数 ：   an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0

一阶导数  y ′ 对应 n - 1 次 多项式，     有 n 个 系数 ：     an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 ，   少了  a0

二阶导数  y ′′ 对应 n - 2 次 多项式，     有 n - 1 个 系数 ：     an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 ，   少了  a1 , a0

三阶导数 对应 n - 3 次 多项式，     有 n - 2 个 系数 ：     an , a[ n - 1 ]  ……  a3 ，   少了  a2 , a1 , a0

……

m 阶导数 对应 n - m 次 多项式，    有 n - m + 1 个 系数 ：     an , a[ n - 1 ]  ……  am

 

把 这些 多项式 代入 微分方程，  替换   y ′ ,    y ′′  ……  y﹙m﹚ ，     这些 多项式 的 系数 作为 未知数，  其实 一共 还是   n + 1 个 未知数 ：    an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0   。

 

而  微分方程 就 变成了 一个 代数方程，   方程 左边 是 多项式，   右边  f ( x )   不一定 是 代数函数 。

 

n + 1 个 未知数，    需要  n + 1 个 方程 组成 方程组，  才 有 确定 的 解   an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0   。

 

求出了  an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0 ，   代回   y 对应 n 次 多项式，    也就是 知道了 y，   也就是 微分方程 的 解，  当然，  可能是 近似解  而不是  理论解  。

 

但 不是说 微分方程 一般来说 有 无数个 解  ？  称为 通解  。    就是 有 无数个 特解，   合起来 统称 通解  。

 

那好办，    这有 n + 1 个 未知数，   只要 n 个 方程，   这样，   未知数 比 方程 多一个，   就是 不定方程组，   有 无数个解  。  让  a0  取 任意值，  当 a0 确定 时，  即  a0 取 一个 已知 值，  a0 为 已知数，   则  未知数 中 就 少了 a0，  剩下  n 个 未知数  an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1  。   n 个 未知数， n 个 方程组，  是 一个  定方程组，  有 确定的解， 可能有 一个 或  若干个 解  。  

 

这样，   a0 的 一个 确定的值 可以 让 方程组  得到 一个 确定的 解  [ an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0 ]   。

 

让  a0 取 任意值，    每一个 值 对应 方程组 的 一个  确定的 解   [ an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0 ]   。 

 

a0  可以取 无数个 值，   每个 值 对应 一个 解     [ an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0 ]  ，   这样 是不是 就 得到了 微分方程 的 无数个 解  ？

 

虽然 这些 解 可能是 近似解，   但 每一个 近似解 对应 一个 理论解  。

 

大家 觉得 这个 方法 怎么样  ？

 

微分方程 的 无数个 解 由 积分常数 产生，   积分常数 的 一个值 对应 一个 特解  。     一阶微分方程 有 一个 积分常数，   二阶微分方程 有 二个 积分常数，   能不能说 三阶微分 方程 有 三个 积分常数，   四阶微分方程 有 四个 积分常数，   n 阶微分方程 有 n 个 积分常数   ……   ？

 

有的 高阶微分方程 没有 积分常数，   有的 可能 只有 一个 积分常数  ……   这些 是 特例，   先不管 这些，   对于 高阶微分方程， 如果 不能 用 推导 的 方式 对 方程式 推导变换 积分 得到 解，    那 应该也不能说 有  “积分常数”  吧  ？      于是，  虽然 这个 微分方程 有 无数个 解，   但 也不能 说 无数个 解 是 由 积分常数 产生的，   积分常数 的 一个值 对应 一个 解  吧  ？

 

就像  （一元）五次以上 的 代数方程 没有 代数解，   也就是 不能 用 推导 的 方式 对 方程式 推导变换 开方 得到 根，   于是，  复数 a + bi   对  五次以上 方程 没有 根 的 意义，  只是一个    人为定义 的 规则， 二项式规则  。

 

或许，  应该考察，  一个 微分方程，  是否 存在 这样一些 参数   C1 , C2 , C3 , C4 …… Cn  （注意， 这些参数 不出现 在 微分方程 里，  是 我们 单独定义 的），   当 这些 参数 都 取 确定的值 时，  对应 微分方程 的 一个 解，   当 其中一个 参数，  比如  C1 另取一个 值 时，    C1 , C2 , C3 , C4 …… Cn    对应 微分方程 的 另一个 解  。   即  一组 确定的  C1 , C2 , C3 , C4 …… Cn  对应 微分方程 的 一个 解  。

 

这样的话，  我们 再来问，    是否 可以 把   C1 , C2 , C3 , C4 …… Cn   认为 是 积分常数 ？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

的 未知数    a0 的 一个 确定的值 可以 让 方程组  得到 一个 确定的 解  [ an , a[ n - 1 ]  ……  a3 , a2 , a1 , a0  ] 

 

 

就有   ( n + 1 ) + n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + …… +  ( n - m + 1 )  个 未知数  。  具体多少个 先不用管，   总之 很多个，   比 n 多，  是  n 的倍数，  差不多 是 这样子  。

 

此时，  因为 用 多项式 代换了 原函数 y 和 各阶导数  y ′ ,    y ′′  ……  y﹙m﹚ ，   方程 变成了 一个 代数方程，   当然  方程右边 的  f ( x )  不一定 是 代数函数   。

 

现在，   未知数 有   n 的 倍数 个，   方程 只有 一个，    显然，  这是 不定方程，   有 无数的 解  。

 

注意，   虽然 是 代数方程，   但 不是 普通 的 代数方程，  它 是 一个 泛函方程，   即 此时 方程 中 的 x 是 变量，  不是 常量  。  如果 是 常量，  就变成 求解 x = 某个值 时 的 解 了，  解 当然 就是 那些 多项式 的 系数，  刚刚说了 这些 系数 作为 未知数  。   求出 这些 系数 ，  就知道了 微分方程 的 解  。

 

y

 

 

 

 

 

泛函方程，  x 是 变量

 

 

n 阶导数 的 相干性，   泰勒级数 也 反应了 n 阶导数 的 相干性，  泰勒级数 和 代数化  反映 的 n 阶导数 的 相干性  属于 两个 层面  。

 

用这个方法 来 解 三体方程，   不知 效果 怎么样  ？

 

这个 方法 和 Step by Step 模拟 各自的特点是，   Step by Step  必须知道 之前 的 运动状态， 才能 累积模拟 之后 的 运动状态，  是 单线 串行 的  。    代数化 是 并行的， 可以 并行计算  。

 

Step byStep 的 误差 是 积累 的，   而 代数化 的 误差 不是 “Step by Step 积累” 的，   要 叫什么好，  还没想好  。

 

也可以 结合 规划 来 进行 n 次多项式 分析  。   规划 中 可能 包括 传统 的 微分方程 数值求解 的 算法  。

 

 

连续 中 有 离散，  离散 中 有 连续，   ……    可以这样 递归 下去，    这就 很妙 了，     这有效 的 发挥了 数学 的  力量  。

 

 

 

这个 方程 是 多项式 连续 求导（积分） 产生，  从 n 次开始， 这些 导数 排列起来，  会 排列成 三角形，    把 产生 的 方程 把 这些 方程 排列 起来，  它们 的  项 ， 包括 an , a[ n - 1]  和  x^n , x^(n - 1)  ……   也 会 排列 成 一个 三角形 这样 的 图形结构，  类似 杨辉三角（当然 这里 的 三角 和 杨辉三角 不一样），  或 各种 递推公式 产生 的 三角  。

 

而 这些 三角 也 意味 着   这些 导数 间 也许 存在 着 一切 巧合 的 关系，    或 这些 方程 之间 存在 着 一些 巧合 的 关系，

可以 把 这些 导数（组）   作为 一种类型 的 公式组 来 研究，   把 这些 方程组 作为 一种类型 的 方程组 来 研究  。

 

就好像 矩阵 里 把  “稀疏矩阵” 作为一种类型 来 研究，   也许还有其它 类型 的 矩阵，  我 也 记不清 了  。

 

我 倒是 自己 碰到过 一类 元素 呈 直角三角形 阶梯分布 的 矩阵，  我 称之为   “阶梯矩阵”  。    《用 双边干涉 计算 小孔衍射》 

 

2019 年 下半年，  刚来 民科吧 和 反相吧 的 时候，   受 灵魂保卫者 启发，曾经 我 以为 小孔衍射 是 双边干涉，   之后 很长时间 都 保持 这个 想法  。 但 后来 开始 思考 《K 量子论》 之后， 应该 是 之前 @dons222 ，  又 比较 全面 深入 的 分析了 干涉 和 衍射 问题，   发现 小孔衍射 另有其 机制，    双边干涉 也存在，   但 不是 主要 效应，   是  次要效应，  且  程度 较弱  。

 

 

 

 

 

 

 

2022-10-15   写了  《《聪明人用公式计算三棱锥体积吗？》 回复》      https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/16753097.html      “回复  30 楼，     数值计算  三棱锥 体积 比如 有 两种方法， ……”    后  补充  。

对称，   可以 加入一些 其它函数  比如 对数函数 指数函数  等 来 改变 对称性，    混频 调谐  。   调频 调幅 调制   ？      解调 ？   调制解调  ？        语音信号 取样本  数字化  ？    数字信号  还原 为  模拟信号（比如 声音信号）  ？      声卡  ？

对称   的  证明思路    ʃ  f ( x ) dx  =    ʃ  f ( x + a ) d ( x + a )  =   F ( x + a )  +  C  ，    a, C 为  任意常数   。