做一道题 ： 一个 古灵精怪 的 重积分 （讨论篇）

我前几天 发了一篇文章 《做一道题 ： 一个 古灵精怪 的 重积分》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13681399.html    ，

 

网友   nigffb   在  《出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》   https://tieba.baidu.com/p/6947806936     的  7 楼  贴出了 部分 答案  ，

 

下面 是 我在 《出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》   里 的 一些 回复  。

 

 

9 楼

K歌之王: 原来 是 7 楼 那样 积 啊， 我说 这个 积分 里 有 椭圆积分， 怎么积 ？ 7 楼 的 做法 技巧性 太高了， 属于 棋弈型 。

 

K歌之王: 什么 是 棋弈型 ？ 就像 研究 棋谱 和 象棋 围棋 残局 一样， 坐在那里 几十年 ， 就在 想 那些 棋谱 和 残局 ……

 

K歌之王: 我在想， 当 我 步入 老年 的 时候， 会不会 也变成 棋弈型 ……     @银河科学院 @东方学帝

 

 

10 楼

不过 这样一来， 椭圆积分 也可以用 这种 方法 积出来 。

 

关键 是 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 这个公式 。

 

 

11 楼

你们 的 积法 用到了 无穷级数， 这算不算 犯规 ？

 

好吧， 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 展开式 比 泰勒级数 简单多了 ……

 

这题 可以 再叫 一个 题目 “椭圆积分 展开为 无穷级数” 。

 

 

12 楼

这题 还可以 叫作 “万能去根号法 之 级数法” 。

 

 

13 楼

好像 也可以用 泰勒级数 给 1 / 根号 ( 1 + x ) 去根号， 好像 也 不复杂 。

 

等， 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 这似乎 就是 泰勒级数 ？

 

用 泰勒级数 给 分母 去根号 后， 分母 也 不存在了， 可以 容易 的 算出 级数 的 每一项 的 重积分， 级数 积分 的 结果 也是 一个 级数 。

 

不知 7 楼 还有 那么 多 步骤 干嘛 ？

 

是 要 把 结果 从 级数 合并 为 一个 值 吗 ？

 

 

14 楼

好吧， 我想简单了一点， 用 泰勒级数 去根号 后，

 

每一项 要计算 的 积分 是 ʃ ( sin α )^n dα 这种类型的， 并不简单 。

 

要是 ʃ ( sin α )^n d ( sin α ) 就 简单了 ， 呵呵呵呵 ……

 

 

15 楼

 ʃ ( sin α )^n dα  

=    ʃ   ( sin α )  *  ( sin α )^(n-1) dα  

=      ʃ  ( - cos α ) ′  *  ( sin α )^(n-1) dα  

=    ( - cos α )  *  ( sin α )^(n-1)   -    ʃ  ( - cos α ) *  [ ( sin α )^(n-1) ]  ′  dα  

=    ( - cos α )  *  ( sin α )^(n-1)   +    ʃ  cos α   *   [ ( sin α )^(n-1) ]  ′  dα  

=    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ʃ  cos α  *   ( n - 1 )  *  ( sin α )^(n-2)  *  cos α   dα  

=    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ  ( cos α ) ²  *  ( sin α )^(n-2)   dα  

=    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   [  1 - ( sin α ) ²  ]  *  ( sin α )^(n-2)   dα  

=    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   [   ( sin α )^(n-2)  -  ( sin α )^n  ]   dα  

=     -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   ( sin α )^(n-2)   dα   -    ( n - 1 )  *   ʃ   ( sin α )^n   dα  

 

n   *    ʃ ( sin α )^n dα    =    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   ( sin α )^(n-2)   dα 

 ʃ ( sin α )^n dα   =    -  1/n  *  cos α  *  ( sin α )^(n-1)     +    ( n - 1 ) / n   *   ʃ   ( sin α )^(n-2)   dα             (1) 式

 

根据 (1) 式，  只要 知道    ʃ sin α dα ，  就可以 得到   ʃ ( sin α ) ³ dα ，    ʃ ( sin α ) ⁵ dα ，    ʃ ( sin α ) ⁷ dα   ……

只要 知道    ʃ ( sin α ) ² dα ，  就可以 得到   ʃ ( sin α ) ⁴ dα ，    ʃ ( sin α ) ⁶ dα ，    ʃ ( sin α ) ⁸ dα   ……

 

 ʃ sin α dα   =   - cos α         (2) 式

 

 ʃ ( sin α ) ² dα 

=   ʃ ( - cos α  ) ′  sin α  dα 

=    - cos α  sin α    -    ʃ  - cos α  ( sin α ) ′  dα 

=     - cos α  sin α    -    ʃ  - cos α  cos α  dα 

=     - cos α  sin α    +    ʃ  ( cos α ) ²  dα 

=    - cos α  sin α    +    ʃ   [  1 - ( sin α ) ²  ]  dα 

=    - cos α  sin α    +   ʃ  dα    -     ʃ   ( sin α ) ²   dα 

 

2   ʃ ( sin α ) ² dα   =     - cos α  sin α    +   ʃ  dα

2   ʃ ( sin α ) ² dα   =     - cos α  sin α    +   α

ʃ ( sin α ) ² dα   =     -  1/2 * cos α  sin α    +   1/2 * α             (3) 式

 

 

2747293287q （飞天意面教徒） ：        你在整啥

 

 

16 楼

回复 15 楼   2747293287q （飞天意面教徒），

 

用 泰勒级数 去根号 后， 原式 变成一个 级数， 对 级数 的 四重积分 可以 变成 对 级数 的 每一项 的 四重积分，

 

而 每一项 四重积分 的 每一重 都是 ʃ ( sin α )^n dα 的 形式， 所以， 只要 求出 ʃ ( sin α )^n dα 就可以 得到 每一项 的 每一重 积分， 进而 得到 每一项 的 积分，

 

得到了 每一项 的 积分， 就得到了 本题 结果， 当然 这个 结果 还是 个 级数 。

 

15 楼 是在 求 ʃ ( sin α )^n dα 。