出一道题 ： 二分法 是 n 分法 中 最快 的 吗 ？

二分法 是 n 分法 中 最快 的 吗 ？        用 数学 表达 ：

 

n 、N 是 自然数，  n >= 2，  N >= n ，        这 称为 条件 1 。

 

二分法 的 时间复杂度 大概 可以 表示 为 将 N 二分 到 小于等于 1 的 时间复杂度，   大概 可以写成   O2( N )  = 2 * log ﹙2﹚ N  ，

 

n 分法 的 时间复杂度 大概 可以 表示 为 将 N   n 分 到 小于等于 1 的 时间复杂度，    大概 可以写成   On( N )  = n * log ﹙n﹚ N  ，

 

log ﹙2﹚ N   表示 2 为 底，  N 为 真数 的 对数，

log ﹙n﹚ N   表示 n 为 底，  N 为 真数 的 对数 。

 

试证明，  对于 满足 条件 1 的 任意 的 n 、N ，   n != 2 ，    2 * log ﹙2﹚ N  <  n * log ﹙n﹚ N   。

 

 

但，  实际上 作了 一下 计算，  发现 三分法 才是 最快的，  二分法 次之，   四分法 和 二分法 一样快  。

 

好吧，  那就 证明 三分法 是 最快的 吧  ……

 

三分法 的 时间复杂度  O3( N )  = 3 * log ﹙3﹚ N  ，    试证明，  对于 满足 条件 1 的 任意 的 n 、N ，  n != 3 ，   3 * log ﹙3﹚ N  <  n * log ﹙n﹚ N   。

 

 

也可以 证明 二分法 是 第二快 的 。

 

试证明，  

1     3 * log ﹙3﹚ N   <   2 * log ﹙2﹚ N

2     对于 满足 条件 1 的 任意 的 n 、N ，    n >= 5 ，     2 * log ﹙2﹚ N  <  n * log ﹙n﹚ N   。

 

 

也可以证明 四分法 和 二分法 一样快  。

 

四分法 的 时间复杂度 是  O4( N )  = 4 * log ﹙4﹚ N    ，    试证明，    当 N > 0 时，    4 * log ﹙4﹚ N  =  2 * log ﹙2﹚ N   。

 

 

考虑到  实际操作 的 离散性，   log ﹙2﹚ N  和  log ﹙3﹚ N  的 小数 部分 应 看作 1，  并 加 到 整数 部分，  这样一来，   二分法 和 三分法 谁 快 ？

 

进一步，  对于 三分法，   如果 最后一次 的 被分割数 只 需要 二分 就可以 小于等于 1 ，  那么， 最后一次 二分 就可以，  比 三分 少一次 操作，

 

考虑了这些，   二分法 和 三分法 的 时间复杂度 如何 ？   大家 可以 自己 算算  。