小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖

小梦  在 民科吧 发了一个 帖   《民科编程大赛：用四则运算开平方》  https://tieba.baidu.com/p/6809881927    ，

 

标题 还是 红颜色 的   ……     哦  ……

 

早在 古代，   我们的 先人 根据 杨辉三角，  就已经 发明了  开任意次方 的 方法  。      So   ？

 

ylyyjjlh2     ，   你们 的  插值法 、插花法 、二分法 、二叉树法 、树叶法，      效率 比不上 先人 的 方法 吧 ？ 

你在   《民科编程大赛：用四则运算开平方》  https://tieba.baidu.com/p/6809881927     的  19 楼  说  ：   “小数后15位，这已经到极限了。”  ，

 

 

 

 

 

如果 用 先人 的 方法 的 话，    小数点 后 几百位 也是 分分钟 啊  。

 

 

本吧开心死了 （绮梦璇）    skywalkerwyj （青莲剑歌）     天辩阮幼台 （陈彼方）   

 

 

本文 已 发到了 反相吧  《小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖》  https://tieba.baidu.com/p/6811112759    。

 

 

下面 记录 帖 里 的 一些  回复  。

 

2 楼

ylyyjjlh2 ：    浮点数精度多少啊？你编程编糊涂了？

K歌之王 ：     浮点双精度 嘛， 差不多 就是 15 位 到 18 位 的 样子， 不过 我们 完全 可以 用一个 数组 编写 一个 无限位数 的 开平方 程序 啊 。

ylyyjjlh2: 回复 K歌之王 :别尽吹牛，你来啊，不准用库，算它1000位试试。

K歌之王 :回复 ylyyjjlh2 :可以啊， 库 也是 人 写 的 啊， 我最喜欢 造 轮子 。

K歌之王 :回复 ylyyjjlh2 :当然， 我不打算 近期 写， 你们也不用等着， 我最近在学习研究 其它 东西 。

 

 

3 楼

K歌之王 ：

回复 2 楼      ylyyjjlh2  ， 

 

数据 的 长度 不是 重点，  我想说的是，  如果 不利用  和平方 公式 的 话，  你们 的 那些 什么 插值法 二分法  等等 的 所谓 “数值计算”  “数值分析”  方法  的 性能 都 存在问题 。     

 

如果要 对  n  开平方，   当 n 的 位数 很多 时 ，   你们 的 时间复杂度  会 很大  。

 

 

ylyyjjlh2: 能不胡扯吗！

K歌之王 :回复 ylyyjjlh2 :你从 昨天晚上 到 今天早上 憋了 9 个小时， 就 憋出来 这么 一句话 ？

 

 

4 楼

80 年代 的 计算器 已经有了 开平方 的 功能，   那是 用 硬件电路 实现 的 。       只能说，  80 年代 的 水平 真的 高 啊 ！

 

我们现在 用   Power Shell  、Python   玩 这些  ……

 

我们可以 玩 个 升级版 的，     设计一个 算法，   用 硬件电路 实现 这个 算法，  硬件电路 的 部分 只要 设计 逻辑电路 就可以，   就是说，  画出 逻辑电路 的 设计图   。

 

小梦，  如何 ？

 

本吧开心死了 （绮梦璇）    skywalkerwyj （青莲剑歌）     天辩阮幼台 （陈彼方）       ylyyjjlh2   

 

 

8 楼

回复 7 楼      ylyyjjlh2 ，

 

先用 byte 数组 实现一个 无限位数 的 浮点类型， 这个 浮点类型 只要求 有 加 操作， 主要 是 实现 进位 。

 

不要求 有 其它 操作， 比如 减 、乘 、除 等 。

 

这样 ， 这个 浮点类型 还是 容易 实现 的 。

 

 

然后， 再用 先人 的 开方法 。

 

 

ylyyjjlh2: Talk is cheap.Show me the code.

K歌之王 :回复 ylyyjjlh2 :Talk is great , code is cheap .

 

 

 

9 楼

别问是劫是缘 ：      其实以前有人用普通计算器的加减乘除就可以手动开平方

 

 

10 楼

回复 9 楼   别问是劫是缘    ，

 

我将 根据 杨辉三角 开任意次方 的 方法 称为  杨辉三角 开方法  。

 

我想了一下  杨辉三角 开方法 的 步骤，   还是有一点 繁琐 的 。    以 开平方 来说，   在 迭代开方 的 过程中 ，   除了有 余量，  还有一个  累积量  。

 

这个 累积量  会 增加 一些 步骤，    也就是 会 增加 一些  时间复杂度  。

 

但不管怎么说，    杨辉三角 开方法 是 一个 正统 的 方法 。   它 的 好处 是 它 是 一个  “级数”  。

 

虽然 累积量  会 增加 一些 时间复杂度，    但是，  总的来说，   当 开方结果 的 位数 很大 时，    它 的 效率 仍然 优于  一般 的 数值分析 方法  。

 

累积量 是 一个 级数，   开方结果 也是 一个 级数，   开方结果 级数 里 包含了  累积量 级数  。

 

在 开高次方 时，   杨辉三角 开方法 的 累积量 有 多个，  比如 开 n 次方，  则 有 n - 1 个 累积量，   从 n - 1 次方 到 1 次方，  每个  次方  有一个 累积量  。

 

此时，   累积量 的 计算步骤 （公式）   会 膨胀 变得 复杂，   累积量 的 数值 也会 膨胀 急剧 增大，   这会让 程序 变得 复杂，   也会 增加 时间复杂度，   但是，  理论上，   仍然  可以用  杨辉三角 开方法   写出  无限位数  开任意次方  的  程序  。

 

累积量 也是  余项系数  。

 

 

 

别问是劫是缘: 我没关注过杨辉三角形开方，但是N-1个累积量，一个数组不就解决了？

 

 

 

11 楼

回复 10 楼   别问是劫是缘    ，

 

比如 开三次方，   a ³  可以写成     

 

a ³  =   ( a1 + b ) ³

= a1 ³ + 3 a1 ² b  +  3 a1 b ² + b ³  ，   

 

a1 已知，    b 未知   。

这里 产生了 一个 b 的 一次项  3 a1 ² b  ，   一个 b 的 二次项  3 a1 b ²   ，   

开 n 次方 会 产生 n 个 余项，  最后一个 n 次方 的 余项 的 系数 永远 是 1，   不用管 。  需要 累积 系数 的 余项 是 前面 的 n - 1 个  。

开三次方 会 产生  3 - 1 =  2   个 需要 累积 系数 的 余项，    这里 是 第一次 迭代，   3 a1 ² b  、3 a1 b ²   就是 第一次 迭代 时 产生 的 这 2 个 余项  。

 

令  b = b1 + c ，   则，

 

a1 ³ + 3 a1 ² b  +  3 a1 b ² + b ³   

=  a1 ³ + 3 a1 ² ( b1 + c )  + 3 a1 ( b1 + c ) ²  +  ( b1 + c ) ³

=  a1 ³ + 3 a1 ² ( b1 + c )  + 3 a1 ( b1 ² +  2 b1 c + c ² )  +  b1 ³ + 3 b1 ² c + 3 b1 c ² + c ³

=  a1 ³ + 3 a1 ² b1 + 3 a1 ² c  + 3 a1 b1 ² +  3 a1 * 2 b1 c + 3 a1 c ²   +  b1 ³ + 3 b1 ² c + 3 b1 c ² + c ³

 

可以看到，

3 a1 ² ( b1 + c )   中 产生了  c 的 一次项  3 a1 ² c  ，

3 a1 ( b1 + c ) ²   中 也 产生了 c 的 一次项  3 a1 * 2 b1 c  ，

( b1 + c ) ³  中 也 产生了  c 的 一次项  3 b1 ² c  ，

 

这 3 个  一次项  可以 合并为 一个，  这个项 就是 本次 迭代 产生 的 一次余项  。

 

同理，

3 a1 ( b1 + c ) ²   中 也 产生了 c 的 二次项  3 a1 c ²  ，

( b1 + c ) ³  中 也 产生了  c 的 二次项  3 b1 c ²  ，

 

这 2 个 二次项 可以 合并为 一个，   这个项 就是 本次 迭代 产生 的 二次余项   。

 

接下来 的 开方过程 是  令   c = c1 + d  ，    重复 上述过程  。

 

所以，   n - 1 个 累积量，  也就是 余项系数，  可以用 一个  长度 为 n - 1 的 数组 保存，   但 每一个 余项系数  都 是 由 上述 的 迭代过程 计算产生，  这个 迭代计算 过程 比较 繁琐，  如果 能将 这个 迭代过程 归纳为 公式，  大概 是 一个 数列 的 通项公式  。

 

如果 不能 把  余项系数 的 计算过程 归纳 为 通项公式，   那么，  每 迭代一次，  余项系数 的 公式 就会 ”膨胀“  一点，  当然， 这只是一个 形象 的 比喻 。

另一方面，   从上面的 计算过程 可以看出，   余项系数 是 相乘 一个 倍数 之后 再 相加，  得到 新的 余项系数  。  这可以看作是 成倍增长，  也差不多是 几何级数 。     这是  数值 上 的 ”膨胀“   。

 

余项系数  膨胀 的 速度 和 开方 的 次方 有关，  次方 越大，    余项系数  膨胀 的 越快  。

 

另外，    次方 越大，    余项 越多，   一个 余项 需要 合并 的 项  也 越多  。

 

 

 

 

12 楼

小梦 在 《民科编程大赛：用四则运算开平方》  https://tieba.baidu.com/p/6809881927     的  20 楼  说  这是 “用泰勒级数进行逼近运算” ：

 

 

 

 

这是 泰勒级数 ？    这不像是 泰勒级数，   这像是 一个 有 二分性质 的 迭代逼近 算法  。

 

这个 算法 是，   设 b 为 被开方数，   任取一个 正数 a，   令   c  =  ( b - a ² )  /  ( 2 a )  ，   令  a = a + c ，    重复若干次 这个过程，   a 就 很接近 b 的 平方根    了  。

 

这个 算法 适合 在 计算器 上 使用，  简单，  容易 由  程序 或者 逻辑电路 实现  。

 

本吧开心死了 （绮梦璇）                  ylyyjjlh2

 

 

 

 

绮梦璇: 傻子 [ 滑稽 ] 到现在都没看出一阶泰勒展开式？ 

绮梦璇: 回复 K歌之王 :傻子 [ 滑稽 ] 到底看懂了泰勒展开式没

K歌之王: 回复 绮梦璇 :我看到的是 “小梦级数” 。   [ 滑稽 ] 

 

 

 

 

13 楼

ylyyjjlh2 ：

废话那么多，等到花儿都谢了，还没做出来，真的让人着急。下面看看，我对2开方700位，刚好一屏。

 

 

 

 

 

ylyyjjlh2: 没有金刚钻，就别揽瓷器活。不会做也没人说你是傻瓜，偏要吹牛。

 

 

 

 

 

14 楼

回复 12 楼        本吧开心死了 （绮梦璇）

 

一阶泰勒展开式 ？   就是 泰勒级数 的 第一项 吧 ？         ( b - a ² )  /  ( 2 a )     这个式子 看起来 像 泰勒级数 第一项 ，   但 这只是 “形似”，  实际上 和 本题 没有关系  。

 

第二，   你 利用    ( b - a ² )  /  ( 2 a )     循环迭代，   这不是 泰勒级数，   可以叫做 “小梦级数”，    你的 滑稽 表情 说明了 这一点  。

 

第三，   你能 证明 这个 迭代 的 极限 是 根号 b   吗 ？     [ 滑稽 ] 

 

 

 

 

15 楼

回复 13 楼   ylyyjjlh2  ，

 

Congratulations  !     But,   Talk  is  great ,   believe  me     ...

 

设 a 为 中间结果， 也是 最终结果，    你的 这个算法 避免了 每次迭代 都要 计算    a ²   吗 ？

 

 

 

ylyyjjlh2: 楼主吵，你除了吹牛还眼瞎，在那个贴子中，1我已经贴出了一堆大数运算的例子，你还在说你们也没有动作，还要啥动作？2我也贴出了代码，你还同我计算问题。真是个憨豆先生？

K歌之王: 回复 ylyyjjlh2 :吵 is talk, Talk is great , believe me ...

 

 

 

 

16 楼

回复 15 楼 @ylyyjjlh2 ，

 

你们 在 《民科编程大赛：用四则运算开平方》 https://tieba.baidu.com/p/6809881927 里 提出了 不少 算法，

 

不过 我没细看， 因为 我想 留着 自己研究 。

 

不过 不看 也知道， 你们 没有 避免 每次 迭代 计算 a ² 。

 

小梦 的 算法 号称 “泰勒级数”， 明目张胆 的 在 每次 迭代 计算 a ² ， 你来 评论看看 。

 

 

 

 

ylyyjjlh2: 东拉两扯，就是不干正事，我到看看你后面还有什么花样？ 

K歌之王: 回复 ylyyjjlh2 :我的 花样 可多着 呢 。

 

 

 

 

 

我在 12 楼 说了，  小梦 的 算法 简单小巧，   适合 用在 计算器 上，   我们可以 设计一个 硬件电路 来 实现 它  。

 

先画 一个 逻辑电路图 ：

 

                    

 

 

                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

左边 的   a 、b 、c 、diff 、v1 、v2 、abs_c 、max_diff   是  存储单元，  也就是 内存，   也就是 内存单元，    假设 每个 存储单元 是 64 位 的，   可以 存储  64 位 浮点数  。

 

右边 的   F1 、F2 、F3 、F4 、F5 、F6   是  控制单元，   具体 的 控制 和 运算 逻辑 就在 控制单元 里 实现  。

 

橙色线 和 橙色箭头 是  控制信号线路 和 信号传递方向，    蓝色线 是 数据线路，     一根 线 在 实际中 可能是 多位 的  。

绿色线 和 绿色箭头 也是 控制信号线路，    表示 和 橙色 不同 的 控制分支 。

 

F1 、F2 、F3 、F4 、F5 、F6    都 会有 数据线 和  相关的 存储单元 相连，    图中 用 蓝线 简略 的 表示，  并没有 画出 具体 的 连接 线路  。

 

我们 定义 ：      有电压 为 1，  无电压 为 0     。

 

开始运算 时，    输入端  输入 一个  1 脉冲，  就可以 触发 电路 开始 进行 开平方 运算  。    注意 是  1 脉冲，   不是 持续 的 1  。

 

先介绍一下 存储单元，   

 

a   存放 a，    a 是 中间结果，  也是 最终结果

b   存放 b，    也就是 被开方数

v1   存放  a ²  

diff   存放   b  -  a ²   

v2    存放   2 * a   

c   存放   diff / v2   

abs_diff   存放  diff 的 绝对值

max_diff   存放 精度值，   当    b  -  a ²   的 绝对值 ， 也就是  abs_diff   小于  max_diff  时，  a 为 达到 精度 的 开方结果 ，  可以输出  。

 

开始 运算 前，     先 把 被开方数  存到  b，    同时 任取一个 正数， 比如 1 ，  存到 a  。

 

然后，   向 输入端 输入 一个   1 脉冲，   F1  接收 到  1 脉冲 后 接通电路，  开始工作 。   F1 的 工作 是 发信号 给 运算器，  让 运算器 计算 a ²，  运算器 计算 结束后，   F1 把 计算结果 存放到  v1 ，   同时 发出 一个  1 脉冲，  触发  F2  开始工作  。

 

运算器 在  这个 图 里 没有 画出来，    运算器 是 一个 公共部件，     F1 、F2 、F3 、F4 、F5 、F6  都会去调用  。

 

F1  的 内部电路  会 在 下文 画出来，   里面 会 画出  F1  调用  运算器 的  电路 和 逻辑  。

 

F1  的 内部电路  如下 ：

 

           

                 

 

 

 

 

 

 

输入端 接收 到  1 脉冲，   这个 1 脉冲 会让  “让 寄存器 A 变成 写入状态”   电路 接通，  这个电路 会 向  寄存器 A  发出 信号，   告诉 寄存器 A 变成 写入状态，

同时，  输入端  的  1 脉冲  还会 让  “让 寄存器 B 变成 写入状态”  电路 接通，  这个电路 会 向 寄存器 B  发出 信号，   告诉 寄存器 B 变成 写入状态，

同时，  输入端  的  1 脉冲  会 触发   延时开关，    延时开关 在 一段时间 后 输出 一个  1 脉冲 ，   这个  1 脉冲 会 接通 下一个 操作 的 电路 。

 

这样 就可以 在 一个 操作 完成后 触发 下一个 操作 执行  。

 

为什么要用 延时开关 呢 ？    是 为了  确保 上一个 操作 完成 后，  才 触发 下一个 操作  。   因为  电路 的 运行 需要时间， 每一段电路 运作 需要 的 时间 也 不完全相同，  所以 需要 延时开关 在 一段时间 后 发出 1 脉冲 触发 下一个 操作，   这段时间 应该 足够 完成 当前操作，   这样 来 确保 触发 下一个 操作时，  当前 操作 已经 完成  。  

 

从 图上 可以看到，      “让 寄存器 A 变成 写入状态”    和    “让 寄存器 B 变成 写入状态”   是  F1  的  第一个 步骤，  这 2 个 操作 是 同时执行 的，  也可以说是 并行 执行 的  。

 

第 1 个 步骤 有 一个 延时开关，   当   “让 寄存器 A 变成 写入状态”    和    “让 寄存器 B 变成 写入状态”    完成 后，   延时开关 发出 1 脉冲，   触发 下一个 步骤  。

 

第 2 个 步骤 包含 2 个 操作，    “打开 a 和 寄存器 A 的 通路，  让 a 的 数据 写入 寄存器 A”  和  “打开 a 和 寄存器 B 的 通路，  让 a 的 数据 写入 寄存器 B”  ，

这 2 个 操作 也是 同时执行 的，    第 2 个 步骤 也 有 一个  延时开关，   这 2 个 操作 完成 后，     延时开关 发出 1 脉冲，   触发 下一个 步骤  。

 

到 目前为止，   每一个 操作 是 一段 电路，   这一段 电路 在 输入端 输入 1 脉冲 时 工作，   1 脉冲 结束 后 电路 停止  。

1 脉冲  是 有电压，  这个 电压 使得 电路 接通 并 工作，    1 脉冲 结束 后，   无电压，   电路不工作 。  延时开关 被 触发 后，   即使  输入端 的 1 脉冲 结束，  也会 在 设定好 的 时间 后 在 输出端  发出  1 脉冲   。

 

当然，  我们需要 知道 每一个 步骤 完成 的 最大时间，  以此 来 设置 这个 步骤 的 延时开关 的 延迟时间，    延迟时间 应该 比 步骤 完成 的 最大时间 更大一点，   这样 有一点 冗余，    有利于 电路 的 稳定运行  。

 

延时开关 的 输出端 连接 了