“小圆转了多少圈” 又 引出 一个 数学题
前几天 反相吧 吧主 incinc 在 反相吧 发了 一个 帖 《美国早期高考的一道数学题，你做得对嘛？》 https://tieba.baidu.com/p/6751019015 ，
里面 列了一道题，
这个题 可以 当作 另外一道 数学题 来做， 就是 求 圆周摆线， 所以， 我写了一篇 文章 《圆周摆线》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13170411.html 。
这几天， 网友 别问是劫是缘 发了 一个 帖 《就这么巧，刚刷到的》 https://tieba.baidu.com/p/6771961133 ， 又对 小圆转了多少圈 的 问题 接着 讨论 。
这个 帖 里， 网友 物空必能 在 9 楼 回复 了 一个 动图 ：
这个 动图 复制到这里 就 不动 了， 可以 到 帖 里 看， 哈哈 。
这个 动图 很好， 可以看到， 滚动的齿轮 滚到 静止齿轮 的 右边（滚了 1/4 圆周） 时， 就 上下颠倒了， 也就是 上下翻转了， 也就是 转动了 180 ° ，
滚动 到 静止齿轮 的 下方（滚了 1/2 圆周） 时， 又 上下翻转 了 一次， 也就是 又 转动了 180 ° ，
这样， 滚动齿轮 从 静止齿轮 的 上方 到 下方 一共 就 转动了 180 ° + 180 ° = 360 ° ， 也就是 转动了 一周 。
可以在 滚动齿轮 里 取 一条 直径， 命名 为 D， 从 上方 到 右边， D 翻转了 180 °， 首尾颠倒， 从 右边 到 下方， 又 翻转了 180 °， D 又 转回了 原来（上方） 的 方向 。 D 转回了 原来 （上方） 的 方向 表示 小圆 转了一周 。
可以这样给 “小圆转动一圈” 定义， 在 小圆 上 任取 一条直径， 记为 D， D 转回 原来 的 方向 就是 小圆 转动一圈 。
这个 定义 称为 反转标准 。
根据 反转标准， 我们可以 得出 一个 小圆转了多少圈 的 公式 ：
设 圆 O 半径 为 r， 圆 O ′ 半径 为 r ′ ， r = n r ′， n > 0 ， n 可以 大于 1， 也可以 小于 1， 也就是说， r 可以 大于 r ′， 也可以 小于 r ′ 。
圆 O ′ 沿着 圆 O 滚动， 滚动 经过的 长度 为 L， 则
圆 O ′ 转动 的 圈数 = L / ( 2 π r ′ ) * ( n + 1 ) / n (1) 式
这个公式 是 怎么来的， 大家自己思考吧， 哈哈 。
我们 把 美国 考题 的 条件 代入 (1) 式， 美国 考题 里， 大圆 半径 是 小圆 半径 的 3 倍， 即 r = 3 r ′ ，
代入 (1) 式 ：
L = 2 π r = 2 π * 3 r ′
圈数 = 2 π * 3 r ′ / ( 2 π r ′ ) * ( 3 + 1 ) / 3 = 3 * 4 / 3 = 4 圈
也就是说， 按照 反转标准， 小圆 转了 4 圈 。
incinc 吧主 用 圆心 的 移动距离 除以 小圆周长 算出 4 圈， 是一种 巧合 。 可以 推导 出， 用 incinc 吧主 的 小圆圆心 移动距离 除以 小圆周长 来 计算 圈数 的 方法 推导出 的 公式 和 (1) 式 一样 。
但这是一种 巧合， 如果 将 大圆 换为 任意曲线， 即 让 小圆 沿着 任意曲线 滚动， 则 小圆 转动 的 圈数 不能 以 小圆圆心 移动距离 除以 小圆周长 来 计算 。
还有 一种 小圆 转了 一圈 的 定义， 以 小圆 上 和 大圆 接触 的 一点 再次 和 大圆 接触 为 一圈， 这个定义 称为 啮合定义 。
按照 啮合定义 来算， 小圆 转 的 圈数 = 滚动经过的长度 / 小圆周长 = 大圆周长 / 小圆周长 = 2 π r / ( 2 π r ′ ) = r / r ′ = 3 r ′ / r ′ = 3 圈
反转标准 也好， 啮合标准 也好， 这些 是 判断 小圆 转动一圈 的 规则， 严格的说， 这些 不是 参照系 问题 。
大圆 和 “绝对参照系” 一起 静止， 所以， 以 大圆 上 的 任何一部分 作为 参照系， 观察结果 和 绝对参照系 是 一样 的 。
大圆 和 绝对参照系 观察到 的 小圆 的 “机械运动” 是 一样 的 。
既然， 机械运动 一样， 那么， 这样的 机械运动 算是 转了几圈， 这就是 转圈 的 定义， 也就是 “怎样 算是 转了一圈” 。
而 上面 我们 给出了 两种 转圈 定义， 反转标准 和 啮合标准 。
应该指出， 皮带传动 和 齿轮啮合 的 场景， 两个 轮子（齿轮） 的 圆心 是 固定 的， 不会移动的， 此时， 反转标准 和 啮合标准 等价 。
按 啮合标准 来算， 这道 美国考题 是 一道 小题， 按 反转标准 来看， 这道题 是 需要一定 技巧 和 思考 的 思考题， 也可以说是 中型题 。
如果 按 反转标准， 但 把 大圆 换成 任意曲线， 也就是说 让 小圆 沿着 某种曲线 滚动， 问 小圆 从 曲线 上 的 一点 滚到 另一点 转了几圈 ？ 这是 一道 初等 数学分析 题， 涉及到 导数 、求 曲线长度 、求 极值点 分布 。
当然， 这个 曲线 是 能让 小圆 总是 “贴着” 滚动 的 曲线 。
比如， 让 小圆 在 正弦曲线 上 滚动 试试 。 或者， 在 二次函数 曲线 上 滚动 也可以 。
本文内容 已 回复到 《就这么巧，刚刷到的》 https://tieba.baidu.com/p/6771961133 的 10 楼 。
本文 已 发到了 反相吧 《“小圆转了多少圈” 又 引出 一个 数学题》 https://tieba.baidu.com/p/6783430605 ， 下面是 帖 里的 一些 回复 ：
8 楼
K歌之王 ：
有趣的是， 在 地球 的 自转问题 上， 人们 似乎 从来 不觉得 反转标准 和 啮合标准 有 丝毫 矛盾 。
地球轨道 很大， 和 轨道 比起来， 地球 就像一个 小丸子 。 在 大圆 远大于 小圆 的 情况下， 反转标准 和 啮合标准 很接近， 相差不大 。
轨道 相当于 大圆， 地球 相当于 小圆 。
而 ， 当 轨道半径 无穷大 时， 轨道 变成 直线， 在 直线 上， 反转标准 和 啮合标准 等价 。
要 按 反转标准 来 观察， 需要 选择 一个 “固定” 的 参照物， 遗憾的是， 在 地球 的 附近， 比较靠谱 的 “固定” 的 参照物 只有 太阳，
而 太阳 又 刚好 位于 轨道 的 “圆心”， 所以， 太阳 扮演 了 圆心 的 角色， 刚好也只好 作为 啮合标准 的 参照物， 而 不能 作为 反转标准 的 参照物 。
恒星， 离 地球 很远， 可以 算是 “固定” 的， 因为很远， 所以， 地球 上 微小 的 角度偏差， 观察到 的 恒星 位置 会有 显著 的 不同 。 可以用来 测量 地球 的 反转标准 自转， 也可以说 测量 反转标准 和 啮合标准 的 相差角度 。
可以用 一些 方向性 精密 的 天文望远镜 设备 来 测量 恒星 相对于 某个 基准 的 角度， 这个 基准 通常 是 某点 的 一根 垂直于 地平面 的 直杆 。
这样， 只要 选定 一颗 恒星， 测量出 昨天 和 今天 该恒星 的 角度 差， 就可以知道 反转标准 和 啮合标准 的 相差角度 。
怎么测量 恒星 的 角度差 呢 ？ 以 某点 的 一根 垂直于 地平面 的 直杆 为 基准， 昨天， 望远镜 在 相对于 杆 的 角度 为 θ1 看到了 这颗恒星， 今天， 在 相对于 杆 的 角度 为 θ2 看到了 这颗恒星， θ2 - θ1 就是 恒星 的 角度差 。 实际上 也就是 反转标准 和 啮合标准 的 相差角度 。
也可以 根据 恒星 昨天 和 今天 在 地平线 出现 的 时间差 来 计算 反转标准 和 啮合标准 的 相差角度 。
9 楼
接 8 楼，
8 楼 说的 还没有 具体 的 考虑 公转， 地球 自转 + 公转， 效果 就像是 沿着 轨道 一边 滚动， 一边 滑动， 这个 滑动 可能是 “向前滑动”， 也可能是 “向后打滑” ， 也有可能 和 无滑动滚动 差不多 。 这要看 具体 的 公转 和 自转 速度 。
上文 小圆 在 大圆 上 滚动 是 无滑动滚动 。
2022-03-05 补充 ：
1 楼 说 小圆转动一圈 不是 参照系问题， 实际上 也是 参照系问题 。 以 大圆 的 圆心 为 原点 建立 直角坐标系， 让 这个 系 随着 小圆 公转， 在 这个 系 看来， 小圆转了一圈 就是 啮合标准 。
昨天今天 写了 惯性系， 见 《与K歌之王的交流》 https://tieba.baidu.com/p/7745278545 的 6 楼 ， 就想到了 上面这些 。
