排列组合

前几天  弦中子 老师 在  反相吧 发了一个 帖 《快递员问题可否这样思考？》   https://tieba.baidu.com/p/6763029470     。

 

1  楼 提出了一个 “快递员问题” ：

有一个快递员从家里出发，要经过n个点后回到家里，请问他走的最短路程是哪一条？

 

 

 

 

我 在 10 楼 这样回复 ：

“

弦老师 的 这种 情况， 光 绝对 摸不着 头脑 该走 哪一个路径 是 “最近” 的 ，

那个 光， 估计 会 站在 那里 一直想 ， 一直想 …… 于是 光速 为 0 了 。

假设 有 n 个 节点， 求 这些 节点 的 排列数量 = n ! ， 每一个 排列 组成一条 路径， 计算 每一条 路径 的 长度， 排个序， 就知道 最短 的 路径 是 哪条 了 。

”

 

这里 引出 了 一个 排列组合 的 问题 。   排列 和 组合 都是 组合，  排列区分元素顺序，  组合不区分元素顺序，  比如 AB 和 BA 是 不同 的 排列，  是 同一个 组合 。

假设 有 ABCD  4 个 字母，   从中 拿出 2 个 字母 来 排列， 有多少种 排列 ？       排列考虑元素顺序，  不同的顺序算不同的排列 。

会有    4^2 = 4 * 4 = 16 种 排列  。  具体是 

 

AA, AB, AC, AD

BA, BB, BC, BD

CA, CB, CC, CD

DA, DB, DC, DD

 

如果 是 从 ABCD 中 拿出 3 个 字母 来 排列，  则 会有   4^3 = 4 * 4 * 4 = 64   种 排列  。

 

这种 排列 允许 同一个 字母 在 一个 排列 中 重复使用，  比如 AA,  BB,   AAA,   BBB,   AAB,   BBD   。

 

如果 不允许 同一个 字母 在 一个 排列 里 重复使用，    那么 从 ABCD 中 拿出 2 个 字母 来 排列，  有多少种 排列 ？

有   4 * 3 = 12   种 排列 。   具体是 

AB, AC, AD

BA, BC, BD

CA, CB, CD

DA, DB, DC

 

不允许 同一个 字母 在 一个 排列 里 重复使用，   从 ABCD 中 拿 3 个 字母 来 排列，  有   4 * 3 * 2 = 24 种 排列，

ABC  ABD, ACB, ACD, ADB, ADC

BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC

CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB

DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

 

不允许 同一个 字母 在 一个 排列 里 重复使用，   从 ABCD 中 拿 4 个 字母 来 排列，  有  4 * 3 * 2 * 1 = 4 !  种 排列，    这跟 上面 拿 3 个 字母 来 排列 是 一样 的，

ABCD  ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB

BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA

CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA

DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA

 

如果 把 ABCD 看作 4 个 点，    这  4 !   种 排列 就是 把 4 个  点 连起来 可能 得到 的 路径，  就是 本文开头 的 快递问题 里 的 n 个点 可以 有 多少种 路径  。

 

 

再来看看 组合 。    ABCD  4 个 字母 拿 2 个 字母 出来 组合，  有多少种 组合 ？

 

有  4 - ( 2 - 1 ) + 3 - ( 2 - 1 ) + 2 - ( 2 - 1 )  = 3 + 2 + 1 = 6  种 组合 。

 

具体是   AB, AC, AD, BC, BD, CD   。

 

ABCD 中 拿  3 个 字母 出来 组合，  有多少种 组合  ？

 

有   4 - ( 3 - 1)  +  3 - ( 3 - 1 )  +   3 - ( 3 - 1 )  =   2 + 1 + 1 = 4  种

 

具体是     ABC  ABD  BCD  ACD    。

 

ABCDE  5 个 字母 拿 2 个 字母 出来 组合，   有多少种 组合 ？

 

有    5 - ( 2 - 1 ) + 4 - ( 2 - 1 ) + 3 - ( 2 - 1 ) + 2 - ( 2 - 1 )= 4 + 3 + 2 + 1 = 10 种

 

具体是   AB AC AD AD AE BC BD BE CD DE   。

 

ABCDE  5 个 字母 拿 3 个 字母 出来 组合，   有多少种 组合 ？

 

有  5 - ( 3 - 1 ) + 4 - ( 3 - 1 ) + 3 - ( 3 - 1 ) + 4 - ( 3 - 1 ) + 3 - ( 3 - 1 ) + 3 - ( 3 - 1 ) =  3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10 种

 

具体是  ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE   。

 

ABCDE  5 个 字母 拿 4 个 字母 出来 组合，   有多少种 组合 ？

 

有  5 - ( 4 - 1 ) + 4 - ( 4 - 1 ) + 4 - ( 4 - 1 )  =  2 + 1 + 1 = 4 种

 

具体是   ABCD  ABCE   ACDE   BCDE     。

 

 

排列组合 问题 如果 让 条件 丰富一些，  解起来也会很麻烦的， 甚至有点变态 。  比如 让 组合 里 同一个字母 可以重复出现 。

比如    ABCDE 5 个 字母 里 拿 4 个 字母 出来 组合，   允许同一个 字母 在 一个组合 里 重复出现的话，  就会有   AABC  ABBD BACA   CCCE   DDDD    这样 的，

当然，  因为 组合 不区分 元素顺序，      AABC 和 BACA  是 同一个 组合 。

 

研究 排列组合 还有  把 一些 节点 连起来 形成  一些 路径 等等，   这一类 的 数学 称为 组合数学，   组合数学 研究 离散场景，  所以 也叫 离散数学 。

组合数学 这个 名字 总让人 想起 一些 标有数字 的 小球  排列 堆叠 成 一些  图形，  还有 把 一些 点 连成 路径 什么的，   所以 很自然的，  会 把 研究 这些 问题 的 数学 叫做 组合数学 。

 

我以前说过 “组合数学 是 人的本能， 根本不用学习” ，    其实 也 差不多，   我觉得吧，   组合数学 是 最业余 的 数学，  微积分 是 最专业 的 数学，   代数几何 是 最有范  的 数学   。

 

 

数学，   分成   代数 、几何 、微积分 、组合数学   这样 几大类 就可以了，   哪有 那么多 啰里啰唆  。

 

组合数学 是 一个 有趣 的 数学，    可以 比较 娱乐性 的 来 学习 研究，   而且 也 挺有 实用性  的  。