极坐标系 ： 一生只做一件事

我知道的 极坐标系 解 的 题 有 ：

 

1   二体

2   史瓦西半径

3   球面短程线

 

事实上，  对于  “3   球面短程线” ，   我并不确定，   我之前 看了一眼  陈彼方 同学 发的 教科书 上 推导 球面短程线 的 资料，  看到里面 提到 变分法，  我想 球面 是 一个 多值多变量 函数，   怎么用 变分法 ？    这有点 呵呵 。

 

球面方程 是   x ² + y ² + z ² = r ²  ,      r 为 常量

 

这是一个 多值函数，   以 z 为 函数，  则

 

z  =  根号 ( r ² - x ² - y ² )

z  =  -  根号 ( r ² - x ² - y ² ) 

 

z 有 正负 两个根，    是 二值函数，    若 只取 正根，   表示 半球，  但 此时 有 x, y  两个 自变量，  仍然 是 二元函数  。

 

二元函数，  2 个 自变量，   怎么用 变分法 ？

 

后来想到，   可以用 空间极坐标系，   球面 在 空间极坐标系（球坐标系） 里 的 方程 就是 一个   r = R,    R 为 常量 。

 

这样，   对于 一个 球面，  在 球坐标系 里 ，    r, θ, φ   三个 坐标 里，   r 为常量，  这样 只剩下  θ, φ  两个变量，  既然 只有 2 个 变量，  就可以用 变分法 了 。

 

可以 写出  球面 上 任意 两点 间 任意 “不回头” 的 曲线 的 长度 的 函数表达式，  θ 为 自变量，  φ 为 因变量，  或者 φ 为 自变量，  θ 为 因变量，   都可以 。

“不回头” 就是 指 曲线 不会 绕回来，  或者 不停 的 绕回来 绕过去 。    也可以说 一个 θ 只 对应 一个 φ ，   或者 反之  。

总之就是   φ  是  θ  的 函数，   或者 反之  。

 

写出了  任意 两点 间 任意 “不回头” 的 曲线 的 长度 的 函数表达式，  这是一个 定积分 表达式，  就可以 使用 欧拉 - 拉格朗日 方程 第二种形式  来求 最小积分条件，     也就是 短程线 条件 。

 

 

回到主题，     一说起 极坐标系，  总感觉  投机取巧 。

 

极坐标系 解 的 题 是 一些 特例，    如果 让 条件 一般化，  用 极坐标系 就 解不了了 。 

 

比如，   二体，     如果 再多一个 质点，  就 成了 三体，    极坐标系 就 没法 用 了 。     短程线 也是，   对于 一般 的 曲线，  用 极坐标系 求 短程线 不会像 球面  这样 容易 。

 

所以，   在 某个 领域，   极坐标系 就 解 那么 一两个 特例，   所以说，  极坐标系 （在 某个 领域）  是 “一生只做一件事”   。

 

我刚刚也用 极坐标系 做了一个题，  可以看看 ：     《圆周摆线》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13170411.html       。