多元函数 高维空间 是 未来 数学 的 一个 大方向

我这几天在写 《二元函数 的 极值点 怎么求 ？》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13022641.html   ，

 

感到 空间 还有 很多 性质 是 我们不知道的，   这里的 空间 指 三维空间 。   我们 对 三维空间 里 的 形状 的 性质 了解 还很少， 甚至 是 缺乏  。

对于 高维空间，  就更是如此了 。

 

高维空间 的 性质 和 三维空间 有 相似性 、相关性 、继承性 、沿袭性 、高级性 、拓展性   。   所以，  高维空间 的 研究 和 三维空间 是 自然相承，  是 一个 体系 的 。

 

闲暇中 突然产生一个 想法，   多元函数 高维空间 是 未来 数学 的 一个 大方向   。

 

从 复变函数 开始，  数学 对 方程 和 空间 的 研究 开始了 一个  宏大 的 旅程，  到 目前为止，  诞生了  复变函数 代数几何 复流形 黎曼曲面  ，   可以将 这些 学科 统称 为  代数几何  。

 

我把  以 多元函数 和  高维空间 作为 研究对象 的 新的学科  称为  空间几何 。       当然，  这里的  多元函数 包括了 二元函数，  高维空间 包括了  三维空间 。

 

代数几何 vs 空间几何 ，  如何 ？     来看一看 。

 

代数几何 研究 高次方程 和 复空间，   空间几何 研究 多元函数 和 实空间  。  

 

认真一点的讲，    代数几何 研究 的 “空间”  其实 并不太是   直观 逻辑 物理  上  的 空间，  而是 可以说是 代数空间 。

 

空间几何 研究 的 空间 是 直观 逻辑 物理  上  的 空间，    以及 人们 从 直观 逻辑 物理  上  抽象 出 的  高维空间  。

 

从 代数几何 的 发展 来看，   在 空间 的 研究 方面，    从 复变函数 开始，    人们 就已经 被 带偏 了 。

 

代数几何 是 和 直观 逆向 的，    空间几何 是 和 直观 同向 的  。

 

说的 直白 一点，    代数几何 是 反直观 的 。

 

代数几何 是 以 因变量（方程的根） 为 维度 来 构建 多维空间，     空间几何 是 以 自变量 为 维度 来 构建 多维空间 。  这是 二者 的 区别 。  也正因为这样，  代数几何 是 反直观 的 。

这一点 造成 代数几何 和 空间几何 在 根源 上 的 差别 也许 比 现在 想到的 更加 深刻 和 丰富 的 多 。

 

 

当然，   以  因变量（方程的根） 为 维度 来 构建 多维空间，   这是 代数几何 的 特色 。  其它 的 几何 并不是这样 。   一般的几何，  比如 微分几何 、微分流形 、黎曼流形，  是 以 自变量 为 维度 来 构建 多维空间 的 。

 

数学家 们 研究  微分几何 、微分流形 、黎曼流形  的 思路 和 方法 很 奇葩 。   研究的方法 是  先 制造 很多 概念 和 形式，  然后 去 寻找 这些 概念 和 形式 之间 的 关系，   又或者 把 一些 概念 和 形式 “推广” 到 “一般” 的 程度，  为了 达成 这个 推广，  当然 要做一些 “统一” 的 工作，   做这些工作的时候又 制造出 更多 的 概念 和 形式   ……         哈哈哈哈  。

 

除了 代数几何 体系，     现代数学 中 还有 另一支 几何体系 也是 研究 多维空间 的，  就是 刚刚 说的 微分几何，  及其 支系  微分流形 、黎曼流形 等  。

 

微分几何 也是 看起来 挺高深 的 那种，  尤其是 到了 微分流形 、黎曼流形  这些 支系，  就越是 眼花缭乱 不知所云 神秘深奥 的 那种 高深，  和 代数几何 一样 。

 

按理，    代数几何 研究 由 代数方程 的 根 构成 的 根空间（复空间），     那么，  微分几何 可以 致力于 研究 实空间， 或者说 三维空间，  或者说 由 二维平面 和 三维空间  抽象 扩展 而来 的 多维空间，   以及 这些 空间 里的 几何形状 。

但 看起来，     微分几何 及其 支系  （微分流形 、黎曼流形）  致力于 提出 一些 概念 和 形式， 以及 统一 这些 概念 和 形式 。

而 这些 概念 和 形式 的 数学性 很强，  所以，  微分几何 及其 支系 并没有花 太多 心思 和 力气 去 建设 空间几何，  而是 把 心思 和 力气 花在 了 空间 和 空间规则  的 “数学化”  上  。

而 这些 数学化，  又与 抽象代数 密切相关，  是 一些 抽象程度 很高 的 数学，   所以，  从这里又可以看出，   微分几何 及其 支系 的 发展方向 的 根基，  和 代数几何  是有 亲缘关系 甚或 是 一样 的  。

与其 说是 理论 的 根基一样，  更多的，  可能是 思维理念 的 一样 。

 

也因此，  实际中，     代数几何 和 微分几何 （及其 支系）  两者 似乎 经常 会 借用 对方 的 理论，   代数几何 用 微分几何 的 理论 来 描述 几何性，  微分几何 用 代数几何 的 理论 让 空间规则 更加 数学化， 让 空间规律 服从 数学规律，  或与 数学规律 统一  。

 

百度百科 词条 “霍奇猜想” 的 开头 第一段 的 最后一句话 是 “霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。”

这句话 暴露了 什么 ？

物理 要 服从 代数定理，   几何 要 服从 代数定理，   一切都是 拓扑，  拓扑 也可以表示 为 代数定理，   Oh …… Perfect  ！

 

这是 科学家们 的 伟大构想，   事实上，  确实 可以做很多工作，     这些工作 是 大量 的 形式化 的 工作，  通过 大量 的 形式化，  把  物理几何化，  几何度规化，  度规拓扑化，   拓扑代数化，    一切 归于 代数，   归于 数学，  乌拉，  万岁 ！

 

物理几何化  首先 就是 时间 空间 的 几何化，   接着 就是 时空度规化，  时空拓扑化，  时空代数化，  时空 归于 数学 。

这样，  当然，  时间 也好，    空间 也好，     都是 有 曲率 的，    有 拓扑 的  。       这算不算 “物化” 时间空间 ？

 

实际上，  科学家们 的 “野心” 不止如此，    时空之后，   就是 各种 物理定律 的 几何化 度规化 拓扑化 代数化，   m 理论 应该是 这方面 的 苗头 。

实际上，  我并未看过 m 理论 。

 

如果 m 理论 建设 “成功”，     下一步 是不是 理论物理  以外 的 其它 物理学科 也要 几何化 度规化 拓扑化 代数化  ？  比如  理论力学 、分析力学 、动力学 、电动力学 、电磁学 、流体力学 、空气动力学    ……

嗯  ？

 

还有  无线电 、电子电路 、电路分析 、电工电气  ……

 

所以，   微分几何 （及其 支系） 的 真正 目的，  不是 为 空间问题 提供 计算能力，  而是 要让 空间 、空间对象 、空间问题 代数化 、（抽象）数学化  。

或者说，   微分几何 （及其 支系）  做了 许多工作，   提供了 一套 纯数学 形式，   用于 描述 空间，   这些 纯数学 形式 是 抽象 的， 概念化 的，  杂多 的， 杂多 概念化 的，  概念 杂多化 的   。

 

抽象代数 的 抽象 是 由于 概念 杂多化 造成的，  并非 它 描述 的 事情 本身 抽象 和 高深 。  这是一种 人为 的 概念 杂多化  。 概念杂多， 就要 花费 更多 的 脑力 理解 和 建立 这些 概念 和 概念 间 的 关系，  当然 就 “抽象”  了 。

抽象代数 研究 的 对象 本身 是 一些 离散 对象，  如 向量， 矩阵，   或者一些 带有 演绎（程序 、操作） 性质 的 对象，  如  变换 。

相比 传统代数 和 微积分，   这些 对象 显得 直观 和 通俗，  这些 对象 研究起来 很容易 。  事实上  抽象代数  从 传统代数 中  另辟新径， 就是 它 将 研究对象 转到了 这些 离散 和 演绎 对象  。 

传统代数  的 研究对象 仅限于   数 和 坐标系，  坐标系 由 坐标轴 构成，  坐标轴 由 数 构成，   所以 传统代数 的 研究 离不开 “一维数” 的  范畴 。

抽象代数 只不过 跳出了 “数” 的 范畴，   选择了一些   “物” 来 研究，  仅此而已 。

而 “物”  比  “数”  直观 和 通俗，   按理，  抽象代数 应该 “更直观” 才对， 或者说，  抽象代数 应该 叫  “直观代数”  才对，    呵呵呵呵 。

 

微分几何  并不关心 这些 形式 实际 的 计算能力 。

微分几何 关心 的 是 这些 形式 能够 统一 到 一些 代数定理 里，  最终 在 数学 上 有理可依 且 自洽 。

 

而 代数几何 则  卖力 的 用 代数方程 的 根 构造 一些  稀奇古怪 的 空间对象 。  所以 微分几何 和 代数几何 两者 可谓  相得益彰 。

它们 的 目的 就是 建造 数学形式 的 大厦  。

 

也可以说，    微分几何 代数几何 微分拓扑 微分流形 代数拓扑    相得益彰， 共同进步， 共同发展，    它们 都是 “前沿”   。

 

另一方面，   霍奇猜想 、费马定理 、黎曼猜想  是否被 证明 丝毫 不影响 数学大厦 的 建造 。  这些 猜想 可以 当成 公设 来用 。  建造 数学大厦 需要的是 大量 形式化 的 工作  。     当然，  形式化 的 工作 本身 就有 许多 推导 证明 工作，   所以，  尝试证明 这三个 猜想  也是 形式化 工作 的 一部分 。

 

事实上，   我们应该i问一个问题，   建造 数学形式 的 大厦 好不好 ？    事实上，  似乎 不太有 什么 理由 反对 做这件事 。

 

但 我们 可以 提 2 个 问题 ：

 

1   自然界 的 规律 是否  和  数学自身固有的规律 一致 ？     还是 两者 互不相干，   风马牛不相及 ？   

数学自身固有的规律 是指  数数关系 、数形关系 、数理关系， 在这里，  典型的，    比如 代数方程 和 复空间 以及 由此 构造 的 空间对象 反映 出 的 代数 、几何 、拓扑 属性  。

典型的，   自然界 的 规律 指 物理  。

 

2   现在所做 的 数学 形式化 工作 对于 数学 的 能力 是否 有 帮助 、改进 、提高 ？     能不能 对 人们 带来 更大 的 帮助 ？

数学的能力 指 数学 描述问题 的 能力，  处理问题 的 能力，  计算能力 。 

代数方程 和 复空间 以及 由此 构造 的 空间对象 反映 出 的 代数 、几何 、拓扑 属性   对于 改进 、提高 数学 的 能力 有没有 帮助  ？

能不能 给 人们 带来 更大 的 帮助 ？

 

 

可以看看  《看了一下 复变函数 黎曼曲面 流形 复流形 仿射空间 射影空间》   https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13149888.html   。

 

好了，  说到这里，  就很清楚了，    数学 的 新时代 将要 开启，      接下来，   轮到 我们 东方 的 空间几何 上场 了，     哈哈哈哈  。

 

 

空间几何 可以 让  人们 充分 的 了解 空间 和 空间形状 的 性质，   会 诞生 许多 空间 和 空间形状 的 定理，    这些 定理 有很多用，   其中一个 用处 就是 可以 支援 数学 的 其它分支， 比如 数学分析 。

也可以说，  空间几何 的  发展 可以 促进 和 增强 数学 的 计算能力 和 处理问题的能力 。

广义的，   空间几何 是 一块 广阔 的 未知领域，    是 数学 的 一个 大方向  。

 

 

我在 《二元函数 的 极值点 怎么求 ？》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13022641.html   的 文末 留了一道题 ：

 

“

最后，   留一道题，   这题 在 本文 命名为 题 (5)  。

这题 是  最速降线 的 空间版，    在 三维空间 里，  有 A 、B 两点，   建立一个 三维坐标系 xyz，   z 轴 是 竖直方向（ 和 重力方向 平行）  。

A 和 B 在  竖直方向 上 不在 一个平面 上，  这是 和 二维版 最速降线 的 区别，   二维版 的 最速降线 A 和 B 在 重力方向 上 在 同一个平面  。

A 点 比 B 点 高 ，   问 小球 从 A 沿着 怎样 的 曲线 滚动 到 B 所用 的 时间 最短 ？   当然，  这条 曲线 就是 A 、B 间 的 最速降线，  也是 空间 中 的 最速降线 。

”

 

事实上，   最速降线 可以 推广到  n 维空间，   可以 推导出  n 维空间 里 的 最速降线  。