我写了 一个 偏微分 方程， 这算是 广义相对论 的 时空曲率 吗 ？

写这篇 文章 的 原因  是  最近 反相吧 大家 讨论 的 挺热闹 的，   有不少 提到了 广义相对论   。

 

如图，   在 二维平面 上，    在 直角坐标系 下，    在 y 轴 正方向 上 离  原点 O  很远 的 地方 有一个 物体 M，  质量 为 M，  M 很大，  M 产生 引力场  。

在 t = 0 时，  有一个 质点 m 以 速度 v 匀速运动，  v 方向 是 x 轴 正方向，   m 质量 为 m     。

 

 

 

 

 

 

 

根据 万有引力 定律，     m 受到 M 的 引力 F = G *  M m / r ²    ，       因为 M 很远 很大，   r 可以 近似 为 y，  y 为 m 的 y 坐标，  进一步，还可以 近似为 R，  R 为 常数    。

 

于是，    F = G * M m / R ²     ，

 

可以 令   Gf  =  G * M / R ²，      则    F =  Gf * m  ，      Gf  称为   引力场 强度   。

 

对于  m 的 运动状态，   可以 列 微分方程组 ：

 

d²y / dt² = F / m = Gf * m / m = Gf = G * M / R ²

dx / dt = v   

 

即 ：

 

d²y / dt² = G * M / R ²          (1) 式

dx / dt = v                           (2) 式

 

G 、M 、R 、v      为 常量    。

 

如果 把   d²y / dt²   和    dx / dt    改写成  偏导数，     即 ：

 

∂ ² y / ∂ t ²  =    G * M / R ²          (3) 式

∂ x / ∂ t   =       v                         (4) 式

 

(3) 式 的       ∂ ² y / ∂ t ²       是否 就是 广义相对论 的 时空曲率 ？  

 

把      ∂ ² y / ∂ t ²     看作 时空曲率，    可以看到，   ∂ ² y / ∂ t ²  =    G * M / R ²      ，   因为   G * M / R ²   是 常数，   所以，  引力场 Gf  在  y 方向 上 造成 的 时空曲率 是 均匀 的 。

 

对于，    (4) 式 ，    可以求    ∂ ² x / ∂ t ²  =   ∂ ( ∂ x / ∂ t  ) /  ∂ t  =  ∂ ( v ) /  ∂ t  =  0 ，  因为 v 是 常数，  所以  ∂ ( v ) /  ∂ t  =  0  。

 

把  ∂ ² x / ∂ t ²   看作 时空曲率，   则    ∂ ² x / ∂ t ²  = 0    表示   在 x 方向 上 没有 引力场，  或者说 引力场 没有 x 方向 上 的 分量，  所以，  x 方向 上 的 时空曲率 为 0，   x 方向 上 的 时空 是 平坦 的    。

 

(3) 式  没有 涉及 x，   (4) 式 没有 涉及  y，   所以，  (3) 式 (4) 式 仍然 是 常微分方程，  可以解，  也容易解  。

 

解 (3) 式 ：

两边 对  ∂ t  积分，    ʃ  ∂ ² y / ∂ t ²   ∂ t =   ʃ  G * M / R ²   ∂ t

∂ y / ∂ t   =  G * M / R ²   *    t

两边 对  ∂ t  积分，  

 ʃ  ∂ y / ∂ t  ∂ t   =    ʃ   G * M / R ²   *    t   ∂ t 

y = 1/2  *  G * M / R ²    *   t ²

 

解 (4) 式 ：

两边 对  ∂ t  积分，       ʃ   ∂ x / ∂ t  ∂ t  =      ʃ    v   ∂ t

x = v t

 

所以，   (3) 式  (4) 式 的 解 是 ：

y = 1/2  *  G * M / R ²    *   t ²                  (5) 式

x = v t                                                     (6) 式

 

由 (6) 式 得    t = x / v  ，       代入 (5) 式，      得 ：

y = 1/2 * G * M / R ²  *  x ²  /  v ²               (7) 式      ，        G 、M 、R 、v      为 常量    。

 

(7) 式 是 m 的 运动轨迹，    是一个 抛物线    。

 

 

可以发现，    把   ∂ ² y / ∂ t ²   、  ∂ ² x / ∂ t ²   看作 时空曲率  ，    这个 时空曲率 里 包含了 空间（x, y），  也包含了 时间 t，   所以， 这个 时空曲率 不是 人们 想象  中 的  “空间弯曲”，   是 不能 被 直观想象 的  。

 

大家 可以 试试 用 一张 白纸 来 表示 三维 视角 下 的 二维 的 时空弯曲，   可以 在 白纸 上 画图， 也可以 弯曲 折叠 白纸，  看能不能 把 二维 的 时空弯曲 描绘出来  。

 

偏微分方程  是 一种  静态 的 描述性 语言，    广义相对论 把  牛顿力学 的 常微分形式  分割 成 偏微分形式，   这就 迈出了  力学 “几何化”  的 第一步 。

 

偏微分方程   可以  约定俗成 的 用于 描述 曲面，     于是，    表示 动态连续 的 力学过程 的 牛顿力学 的 常微分方程 被 分割 为  偏微分方程 以后，    动态连续 的 力学过程 变成 了  “静态” 的 时空拓扑，   这就 把  力学  几何化 了   。

 

可以 这样 来 看待 广义相对论 的 发展史，         老爱 受到 黎曼几何 的 启发，  具体的说 是 受到 黎曼几何 短程线 的 启发，  具体的说 是 受到 黎曼几何 短程线 变分法 的 启发，     具体的说 是 发现了 牛顿第二定律 的 二阶微分形式 和 变分法 的 最小积分条件   两者 之间 具有 某种关系， 或者说 一致性  。

 

由此，   上面 计算 出 的   (7) 式 表示 的  抛物线，    应该是 在 匀强 引力场  Gf  造成 的 弯曲时空 中，    m 由 原点 O 出发，  以 速度 v 沿 x 轴 正方向 运动 经过 的 短程线    。

 

至于    老爱 创作 广义相对论 的 另外 的 原因，  比如 统一 非惯性系，  统一 引力质量 和 惯性质量，    我觉得 毫无意义 。

 

非惯性系 只是 一种 观察 事物 的 视角，   从 哲学上说 甚至 是一种  主观 的 东西，   要 统一 什么 呢   ？

 

老爱 把  引力  归为 时空弯曲，   就算是 统一 了 引力质量 和 惯性质量 吗 ？      不是 。     时空弯曲 本身 就是 建立 在 引力质量 和 惯性质量 相等 的 前提 上 的 。

 

大家 可以 说说 看法   。