如果没有 角动量守恒定律 ， 二体 微分方程 是 解不出来 的

二体 微分方程，    就是 二体问题 的 微分方程，   二体问题，  就是 天体力学 n-体 问题 中 n = 2 时 的 二体  。

 

就是  2 个 质点 在 万有引力 作用下  的 运动  。

 

严格的说，    二体 微分方程，  应该是  一体 微分方程 ，     一体 问题 又称 理想公转问题，   指 2 个 质点 A 、B，   A 是 “固定” 的， 是 惯性系，  B 在 万有引力 作用下 围绕  A 公转  。

 

一体 和 二体 的 区别 是 ，    二体 的 质点 A  不是 固定 的 ，  不是 惯性系，      A 、B 在 对方 引力 下 相互运动  。 

 

可以  通过  约化质量  把  二体问题 简化 为 一体问题 ，     即 让 B 使用 约化质量，  这样可以把 A 看作 “固定” 的， 是 惯性系 ，  这样 二体问题 就 简化为了 一体问题  。

 

所以，  所谓 的 二体 微分方程（组），     实际上是  一体 微分方程（组）   。

 

我在 《一体方程 二体方程 三体方程》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12075154.html    中 提出了  直角坐标系 下  的 一体 方程组 ：

 

d²x / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  x

d²y / dt²  =   - G M / (x² + y²) 3/2次方  *  y

 

也 提出了 极坐标系 下 的 微分方程 ，         但是 这些 方程（组）   是  无法求解 的   。

 

教科书 上 的 二体问题（一体问题） 解法 是 以 角动量守恒 为 前提，  推出 开普勒第一定律，   即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆，  再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程（一体运动方程）  。

 

教科书 的 二体解法  利用了  二体问题 的 若干个 特殊性，  包括   极坐标系 、 约化质量 、 机械能守恒 、 角动量守恒   。   如果 没有 二体问题 的 这些 特性，  单纯 的 微分方程 是 解不出来 的   。

 

而 其中，  最关键 的 一个 特性 是   角动量守恒 ，    根据 角动量守恒 推出 开普勒第一定律，  即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆，   将 椭圆轨道 作为 条件 代入 才能 解出 二体（一体）  微分方程  。

 

如果 没有 椭圆轨道 条件，   则  一体 微分方程 的 条件不足，   不能求解 。      当然 可以根据 牛顿第二定律 和 运动学规律 再 列出一些 微分方程  来 补足条件，   但是， 这样 微分方程 就 不止一个，  是 若干个，   这就 成了 方程组，        这些 微分方程组 是  无法求解   的 。

 

可以 把 机械能守恒  作为 条件 加入 来 帮助 求解方程，    但 如果 没有 椭圆轨道 条件 ，     机械能守恒 条件   仍然 起不了 什么 作用  。

 

除了 以  角动量守恒 为 基础，   其实 也可以 用 定性分析 的 方法 解  一体 微分方程组，  比如 上文提到的 直角坐标系 下 的 微分方程组  。

定性分析 就是 凑一个 解   出来 看是否满足 微分方程组，   比如，  知道 一体 的 公转轨道 是 椭圆，  可以 凑一个 椭圆运动方程 来 满足 微分方程组  。

 

二体问题 可以通过 约化质量 转化为 一体问题，    一体问题 可以在 角动量守恒 的 基础 上 求解， 或者 用 定性分析 求解，   但 这样得到的 解 仍然 是 不完备 的，  因为 这样的解 只描述了 一个 质点 相对于 另一个 质点 的 运动状况，   没有 描述  两个质点 在 第三方参照系 中 的 运动状况 。

 

所以，  网上说 “二体问题 已经 圆满解决”，    其实 也不算 太圆满，    还 值得 探究 啊  ！ 

 

所以，   数学 也没什么 高深 的，   传统 数学 的 能力  也就是 到  二体 为止，    呵呵  。

 

我们 接下来 要 发展 数学 描述 空间  的 能力，  包括 描述 空间形状 和 空间事件 的 能力   。

 

所以，   以后 如果 有 学生党 跟 你 秀 数学，   你就跟他说，  “哎，  你把 二体问题 的 完备性 解决了吧 ！”  ，  二体问题 的 完备性 就是 刚刚说的，  求出  两个质点 在 第三方参照系 中 的 运动状况  ，   哈哈哈哈   。