三等分角 化圆为方 可以 考虑 用 无穷级数 的 方式 来 实现

写这篇文章 的 原因 是  受到 了  民科吧 反相吧  网友 专业证伪 的 启发   。

 

专业证伪  发表 过 一些 文章，  提出 对 三等分角 化圆为方  的 一些 解决方法，   具体 的 没细看，  大致 瞟了一下  示意图，  后来 产生了一个  想法 ，

 

三等分角   化圆为方  能不能 用 无穷级数 的 方式 来  实现    ？

 

比如，    三等分  ∠ α ，  可以 从  ∠ α 的 一边 先 切割 一个 ∠ β1 ，  再邻着  ∠ β1 继续 切割 ∠ β2，  如此 一直 切割 到  ∠ βn，   n -> 无穷  ，

使得    ∠ β1 > ∠ β2 > ∠ β3 > …… >  ∠ βn    ，     ∠ βn ->  0    ，         ∠ β1 + ∠ β2 + ∠ β3 + …… +  ∠ βn = 1/3 * ∠ α           。

 

如图 ：

 

 

 

化圆为方 是 已知 圆，  用 尺规作图 求出 和 圆  面积 相等 的 正方形 。    对于   化圆为方，     可以这样，  如下图，   过 点 B 作 射线 BD 二等分  ∠ CBA ，   BD  与  圆 O  相交于  D 点，    这样 可以 作出   黄色 小正方形，   依此类推，   可以作出  橙色 小正方形，    以及 无数个 小正方形 来 填满 正方形 和 圆 之间 的 “空缺”    。

 

 

 

 

 

但 这样 就 牵扯出 一个 “化零为整” 问题，      化零为整  问题 是 这样，   已知 正方形 A 的 边长 为 a ，  正方形 B 的 边长 为 b，  设 正方形 C 的 面积 等于  A 和 B 的 面积 之 和，   求 C 的 边长 c 是多少 ？  用 a 、b 和 尺规作图 表示 出 c   。

 

另外 还 引出 一个  “化长为方”  问题，    化长为方  是 把 一个 长方形 化为 面积相等 的 正方形  。     化长为方  也是  化零为整  问题 ，  因为 一个 长方形 可以 分割为  有限个 或者 无限个 正方形   。

将 长方形 分割 为 n 个 正方形，   再把 这些 正方形 化零为整  就 得到 面积 和 长方形 相等 的  正方形   。

 

另外，   化方为圆 问题 又怎么样？       化方为圆 是 化圆为方 的 逆操作，    已知 一个 正方形，  用 尺规作图 求出 和 正方形  面积 相等 的 圆   。

 

还有，   化圆为方 周长版 又 怎么样 ？      化圆为方 周长版  是  已知 一个 圆，   用 尺规作图 求出 和 圆  周长 相等 的 正方形    。 

当然，   还有  化方为圆 周长版  ，        化方为圆 周长版 是 已知 一个 正方形，  用 尺规作图 求出 和  正方形  周长 相等 的 圆    。

 

 

2020-06-15     补充 ：

化零为整 可以这样实现，  设 正方形 A 、B 、C  的 面积 是  Sa, Sb, Sc， 

 

Sc = Sa + Sb

c ² = a ² + b ²

c = 根号 ( a ² + b ² )

 

这就是 勾股定理 嘛，   就是说，   以 a 、b  为 直角边 画一个 直角三角形，  斜边 就是 c   。

 

这样，   化零为整  就可以 实现了，    化长为方 也就可以 实现了，   化圆为方 也可以 实现了 。

 

化圆为方 就是 如 上文 图中所示，   先在 圆 里 分出一个 正中 的 大正方形，  再 继续 分出 填满周围 “空缺” 的 无数个 小正方形，  把 大正方形 和 小正方形 化零为整 就可以得到 和 圆 面积 相等 的 正方形，  也就 实现了 化圆为方 。

当然，   填满 空缺 的 小正方形 的 数量 是 无穷个， 且 小正方形 越来越小，   小正方形 的 面积 趋于 0，  所以 这是一个 无穷级数  。