在 兄弟们我挡不住了 中 的 回复
有 网友 在 数学吧 发了一个 帖 《兄弟们我挡不住了》 http://tieba.baidu.com/p/6462243090 ， 里面 提出了 3 道 题 ，
以下 是 在 帖 里 的 回复 ：
4 楼
做了一下 第 9 题，
因为 是 分段函数， 为了 叙述方便， 将 第一段 记为 f1(x) ， 第二段 记为 f2(x) 。
同样， 导数 也写成 2 个： f1 ′ (x) 、 f2 ′ (x)
先求 导数 ，
f1 ′ (x) = x ² - 2 x t ² + 2 x t - 4x + t ， x < 1 ，
f2 ′ (x) = 2 x t ² + t + 1 ， x >= 1
可以 先让 f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ， 看 满足 这一等式 的 t 存不存在， 于是，
2 x1 t ² + t + 1 = 2 x2 t ² + t + 1 ， x1, x2 >= 1 , x1 != x2
可以知道， 要 使 等式 成立， t = 0，
当 t = 0 时， f2(x) = 0 ² x ² + ( 0 + 1 ) x = x ， x >= 1 ，
即 f2(x) = x , x >= 1
这是一个 最简单 的 正比例函数， 函数直线 上 任一点 的 斜率 都一样， 就是说， 对于 任意 的 x1，
有无数个 x2 的 导数 和 x1 的 导数 一样 ， 所以 不满足 题目要求 。
所以， t != 0 ，
在 t != 0 的 前提 下， 再继续看 ，
接下来， 再 让 f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ， 可以把 x1, x2 看作 常量， t 为 未知数， 这是一个 t 的 一元二次方程， 根据 一元二次方程 求根公式 写出 t 的 表达式 t = g (x1, x2) ，
题目要求， 对于 任意 x1， 要有 x1 != x2 且 x2 是 唯一 的， x1 和 x2 的 导数相等，
这就表示 每一对 满足 条件 的 (x1, x2) 都是 唯一的， 不等的， 每一对 的 x1 和 其它对 的 x1 不相等， 每一对 的 x2 和 其它对 的 x2 也不相等 。
这就要求， t = g(x1, x2) 对于 任意不同 的 (x1, x2) ， 得到的 t 必须是 同一个，
就是说， 无论 取 怎样 的 (x1, x2) ， t = g(x1, x2) 计算出的 t 都 相等，
根据 g(x1, x2) 表达式（此略） 可以看出来， 这是 不可能 的 。
再看 f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ， 同理， 取任意 的 (x1, x2) ， 计算出的 t 都 相等 是 不可能 的，
再看 f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ， 同理， 取任意 的 (x1, x2) ， 计算出的 t 都 相等 是 不可能 的，
所以， 满足 题目要求 的 t 不存在， 选 A 不存在 。
不知道 这样 对不对 ？ 这道题 就算 不假思索 的 做， 也要 10 分钟， 这是 选择题 吗 ？ 呵呵 。
K歌之王: 6 楼 还有 纠正补充 。
6 楼
接 4 楼， 纠正一下， f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) 时 得出的 t != 0 不能作为 后面 f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ， f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ， f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) 三种情况 的 前提条件 。
对于 这个 分段函数， 要 满足 f ′ (x1) = f ′ (x2) ， 可以有 4 种 方式 ：
第一种 ： f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ；
第二种 ： f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ；
第三种 ： f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f1 ′ (x2) ；
第四种 ： f1 ′ (x1) = f1 ′ (x2) , f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ；
因为 f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) 不成立， 所以 第二 、第四 种 不成立， 就不用考虑了，
只要 考虑 第一 、第三 种 就行 。
上面 的 考虑 方式 也不对， 应该 是 把 比如 f1 ′ (x1) = f2 ′ (x2) 这样的 等式 看作是 x2 为 未知数 的 一元二次方程， t 、x1 为 常量， 来 判断 方程 的 根 x2 是否唯一， 如果 方程 的 根 唯一， 表示 对于 一个 x1， 只有一个 x2 ， 但这也不是确定的，这还要看 根 的 表达式， 对于 不同的 x1 ， 是否 一定 得出 不同 的 x2， 在这过程中， 再 判断 t 起到 的 作用， 看 t 会否 对 x2 的 唯一性 产生 影响， 如此 来 判断 t 是否存在， 有 一个，二个，或 无数个 。
K歌之王: “上面 的 考虑 方式 也不对” 是指 4 楼 的 考虑 方式 不对 。 考虑 满足 x2 唯一时 t 是否存在 的 思路 不对 。
8 楼
接 6 楼， 4 楼 6 楼 判断 t 是否存在 的 思路 考虑到了一些东西， 但是 还没有 说到 点子 上，
正确 的 方法 应该是， 画出 f1′ (x) 和 f2 ′ (x) 的 函数曲线， 然后 观察 过 y 轴 上 任意 一点 的 一条直线 L 与 函数曲线 的 交点 有几个， 如果 有且只有 2 个 交点， 则 满足 题目要求，
如果 有 交点 但是 只有一个 或者 大于 2 个， 则 不满足 题目要求 。
没有 交点 的 情况 不用 考虑 。
K歌之王: 观察 t 要怎么样 才 满足 有且只有 2 个 交点 的 要求 。
9 楼
接 8 楼，
f1 ′ (x) = x ² - (2 t ² - 2 t + 4 ) x + t ， x < 1 ，
f2 ′ (x) = 2 t ² x + t + 1 ， x >= 1
当 t = 0 时， f2 ′ (x) 是 一条 平行于 x 轴 的 直线， 对于 任意 的 x1， 有 无数个 x2 使得 f2 ′ (x1) = f2 ′ (x2) ， 不满足 题目 要求 。
当 t != 0 时， f1 ′ (x) 是 二次函数抛物线，开口朝上， f2 ′ (x) 是 一次函数 直线， 因为 2 t ² > 0 ， 所以，是 从 左下向右上 上升 的 直线 。
我们来看看 f1 ′ (x) 和 f2 ′ (x) 组成 的 f ′ (x) 函数图像 ：
蓝色曲线 是 f1 ′ (x) ， 橙色直线 是 f2 ′ (x) ， 红色直线 是 平行于 x 轴 的 直线 L 。
这是一种 情况， 图中 L 与 f ′ (x) 有 2 个 交点， 但是 对于 底端 的 顶点， 此处 L 只可能与 f ′ (x) 有 1 个 交点 即 顶点， 故 不符合 题目条件 。 未完，接楼下 。
10 楼
接 9 楼，
再看一种情况， 这种 情况 中间 空 的 一段 L 只能与 f ′ (x) 有 1 个 交点， 也不符合 题目条件 。
11 楼
接 10 楼，
这种 情况 L 与 f ′ (x) 有 3 个 交点， 也不符合 题目条件 。
12 楼
接 11 楼，
这种情况 仍然 是 底端 顶点 处 L 只可能与 f ′ (x) 有 1 个 交点， 不符合 题目条件 。
13 楼
接 12 楼， 所以， 无论 t 取 什么值， 都 不符合 题目条件， 所以， 满足条件 的 t 不存在， 选 A 不存在 。
这题 是 数学分析 题， 可以算是 数学分析 的 范畴， 也可以说是 数学分析 的 萌芽 。 花留前辈
花留前辈: 亮爆我眼睛了。
16 楼 （这是 另外一个 网友 的 解法）
熊猫眼Shinobi ：
以上 是 帖 中 的 回复 。
另外 2 题 的 解答 在 《在 兄弟们我挡不住了 中 的 回复 续》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12250301.html 。
下面 是 我之前 把 f2 (x) 当成 f2 ′ (x) 了， 这样 f2 ′ (x) 就成了 二次函数， 然后 我分析 f1 ′ (x) 、f2 ′ (x) 组成的 f ′ (x) 是否 满足 和 平行 x 轴 的 直线 L 有且只有 2 个 交点 的 条件 的 草图 ， 也保留在这里了 。
