证明一下 三角和 公式

三角和 公式 是 我自己 的 叫法，  根据 百度百科 的 说法，  应该叫   三角函数和角公式   。

 

写这篇文章 的 直接原因 是  看到 网友  秋叶空港  在 数学吧 发的 一个 帖  《这套公式的名字是什么》  http://tieba.baidu.com/p/6460855800  ， 里面 提到 一组公式 ：

 

平面直角坐标系 xOy 上，点（x，y）绕原点旋转 A（A>0 时逆时针地旋转；相反地，A<0 时顺时针地旋转）后的坐标是（a，b），那么：

 

 

 

 

 

我想 证明 一下 这组公式，  但是 似乎 直接 证明 有点 困难，   就 想到了 三角和 公式，  然后 对  三角和 公式 证明了一下  。

 

 

 

 

如图  ，       可以知道      三角形 ODE 、ADB 、AFB  相似 ，   所以，  ∠ ABF = α  ，所以  FB =  AB * cos ∠ ABF = AB * cos α  ，

因为 AB = OA * sin β ，  所以  FB =  AB * cos α = OA * sin β * cos α      ，

 

BC = OB * siin α ，    因为 OB = OA * cos β ，    所以，  BC = OB * siin α = OA * cos β * sin α   ，

 

FC = FB + BC = OA * sin β * cos α  +  OA * cos β * sin α     ，

AE = FC = OA * sin β * cos α  +  OA * cos β * sin α    ，

 

sin ( α + β ) = AE / OA  =  ( OA * sin β * cos α  +  OA * cos β * sin α ) / OA =  sin β * cos α  +  cos β * sin α   ，

 

即     sin ( α + β )  =   sin α * cos β  +   cos α * sin β    ，         这就是  三角和 公式      。

 

再来证明   cos ( α + β )      。

因为             OC = OD * cos α   ，     OD = OA * cos β   ，     

所以，         OC =  OA * cos β * cos α     ，

AF = AB * sin ∠ ABF = AB * sin α      ，       AB = OA * sin β ，      AF = AB * sin α = OA * sin β * sin α   ，

EC =  AF =  OA * sin β * sin α     ，

OE = OC - EC =  OA * cos β * cos α -  OA * sin β * sin α      ，

cos ( α + β )  =  OE / OA = ( OA * cos β * cos α -  OA * sin β * sin α ) / OA = cos β * cos α -  sin β * sin α     ，

 

cos ( α + β )  =  cos α * cos β  -  sin α * sin β 

 

 

根据 三角和 公式 ，  可以 容易 的 推导出  本文 开头 的  公式，     设  点（x，y）  到 原点 O 的 线段 为 r，   旋转前  r 和 x 轴 夹角 为  α   ，   逆时针 旋转 角度 A  之后 的 坐标 为  ( a ,  b )     ，

 

a = r * cos ( α + A ) =  r * ( cos α * cos A  -  sin α * sin A ) = r * ( x / r * cos A  -  y / r * sin A  ) = x cos A  -  y sinA

b = r * sin ( α + A )  =  r * ( sin α * cos A  +   cos α * sin A ) = r * ( y / r * cos A  +  x / r * sin A ) = y cosA  +  x sinA

 

a = x cos A  -  y sinA

b = y cosA  +  x sinA

 

这就是 本文 开头 的 公式   。

 

 

 

 

 

本文 已发到  反相吧     《证明一下 三角和 公式》       https://tieba.baidu.com/p/7662881342       。