用 微积分 做 一道 小学生 寒假作业 题

昨天在 数学吧 里 看到一个帖 《小学的寒假作业。。。我只会用函数做，求解》  http://tieba.baidu.com/p/6452046952   ， 以下 简称 《小》 帖  ，      

 

帖 里 提出了 一道 题，  是 小学 的 寒假作业， 如图 ：

 

 

 

求 阴影面积 。           图中 红色 蓝色 的 字 和 辅助线 是 我加上的    。

 

在 《小》 帖 的 7 楼 有 网友 提出 几何解法，  作 辅助线 可 证明 三角形 AOB 和 ACB 全等，    故 阴影部分面积等于两扇形面积之和减两三角形之和   。

 

图 中 的 辅助线 就是 根据 他 的 说法 加 的   。      我们可以 试试 用 微积分 来 做做 这道题   。

 

如图，   以 正方形 左下角 顶点 O 为 原点，  两边 为 x 轴 y 轴 ， 建立  直角坐标系   。

 

设  阴影面积 为 S，    可以 把 S 看作是 由 许多 竖的 很窄 的 小矩形 组成，    写成 积分 ：

 

S = ʃ 小矩形面积

 

小矩形面积 = 高 * 宽 ，   宽 = dx，        高 = y上 -  y下       ，        y上 是 小矩形 上端点 的 y 坐标，    y下 是 下端点 y 坐标  ，

 

y上 在 下面 B 点 为 圆心 的 半圆 圆弧 上，  y下 在 上面 A 点 为 圆心 的 扇形 圆弧 上，

 

设 正方形 边长 为  a  ，      B 点 为 圆心 的 半圆 的 半径 为 a / 2，  A 点 为 圆心 的 扇形 半径 为 a  ，    可得  

 

y上 = ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方

y下 = a  -  ( a ² - x ² ) 开方

 

小矩形的 高 = y上 - y下

=   ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方  -  a  +  ( a ² - x ² ) 开方

 

S = ʃ 小矩形面积

=  ʃ   高  *  宽

=  ʃ   [  ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方  -  a  +  ( a ² - x ² ) 开方  ]   dx

 

这是 不定积分，   阴影面积 要求 x 在 [ 0,  Xc ]   区间 上 的 定积分 ，   Xc 是 C 点 的 x 坐标   。

 

C 点 是 y上 圆弧 和 y下 圆弧 的 交点，  用 解析法 求 C 点 坐标，  可以让 y上 = y下，  表示 两条 弧线 相交，  其中一个 交点 就是 C  。

 

 ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方 = a  -  ( a ² - x ² ) 开方    ，

 

两边去根号后，  这个 方程 看起来 是一个 高次方程，   这能 解 吗  ？         这个方程 的 其中一个 解  就是 C 点 的 x 坐标   。

 

还可以 用 上文提到的 《小》 帖 7 楼 的 几何法 来 求 Xc，    如图 ，   tan ∠ OAB = ( a / 2 ) / a = 1/2  ，  因为  ∠ CAB = ∠ OAB  ，   所以  tan ∠ CAB = 1/2  ，

∠ OAC = ∠ OAB + ∠ CAB = arctan 1/2 + arctan 1/2 = 2 arctan 1/2     ，

 

因为  CD /  AC = sin ∠ OAC  =  sin ( 2 arctan 1/2 )   ，     所以   CD = AC *  sin ( 2 arctan 1/2 )    ，    因为 AC = a，  Xc = CD，   所以  Xc = a *  sin ( 2 arctan 1/2 )   。   

 

所以， 求出  S =  ʃ   [  ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方  -  a  +  ( a ² - x ² ) 开方  ]  dx    在 [ 0,  Xc ]  区间 上 的 定积分 就是 阴影面积   。

 

但问题来了，      S =  ʃ   [  ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方  -  a  +  ( a ² - x ² ) 开方  ]  dx       这个 积分 怎么求 ？       

 

现在的 小学生 真厉害  啊 ！

 

 

解了一下  y上 y下  两条 圆弧 交点 的 方程   ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方 = a  -  ( a ² - x ² ) 开方   ，   还真可以解 ：

代入 a = 4 ：          ( 4  -   ( 2 - x ) ² ) 开方 = 4  -  ( 16 - x ² ) 开方  

两边平方 ：            4  -   ( 2 - x ) ²  = 16 - 8 ( 16 - x ² ) 开方  +  16 - x ² 

4 - ( 4 - 4x + x ² ) = 32 - 8 ( 16 - x ² ) 开方 - x ² 

4 - 4 + 4x -  x ² = 32 - 8 ( 16 - x ² ) 开方 - x ² 

4x = 32 - 8 ( 16 - x ² ) 开方

4x - 32 = - 8 ( 16 - x ² ) 开方

16 x ² - 256 x + 1024 = 64 ( 16 -  x ² ) 

16 x ²  - 256 x + 1024 = 1024 - 64 x ²

80 x ² - 256 x = 0      ，

 

根据 一元二次方程求根公式  ，  x1 = 3.2  ，  x2 = 0   ，     x2 就是 C 点 x 坐标，  代入  y上 = ( ( a / 2 ) ²  -   ( a / 2 - x ) ² ) 开方  或者   y下 = a  -  ( a ² - x ² ) 开方  均可得到    y = 1.6 ，   

 

所以，  C 点 坐标 就是  x = 3.2 ,  y = 1.6     。

 

本文已 发到了 数学吧 《用 微积分 做 一道 小学生 寒假作业 题》  http://tieba.baidu.com/p/6456558619  ，

民科吧 《用 微积分 做 一道 小学生 寒假作业 题》  http://tieba.baidu.com/p/6456556886     。

 

数学吧 4 楼

wyx8904wyx8904 ：