推导 一个 圆锥 的 体积
我们来 推导 一个 圆锥 的 体积 。
一个 圆锥 可以看成是 由 很多 小圆盘 堆叠 起来 的, 小圆盘 很 薄, 随着 高度 升高, 小圆盘 的 直径 越来越小,
设 一个 圆锥 的 底 的 半径 为 r, 高 为 H, 体积 为 V, 则 体积 可以写成 积分
V = ʃ 小圆盘体积
当 高 为 h 时, 小圆盘 的 半径 为 r / H * h , 设 小圆盘 高 dh, 小圆盘体积 = π ( r / H * h ) ² * dh , 于是 ,
V = ʃ 小圆盘体积
= ʃ π ( r / H * h ) ² * dh
= ʃ π r² / H² * h² * dh
= π r² / H² * ʃ h² dh
= π r² / H² * 1/3 h³
= 1/3 π r² / H² * h³
这是 不定积分, 实际上 的 体积 是 求 h 在 [ 0 , H ] 区间 上的 定积分 , 所以,
V = 1/3 π r² / H² * H³ - 1/3 π r² / H² * 0³
= 1/3 π r² H - 0
= 1/3 π r² H
所以, 圆锥体积 = 1/3 * 底面积 * 高 。
嗯 ? 这就 完事 了 ? 我还以为 要 二重积分 呢 。
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