和 aa 老师 关于 0.9999…… = 1 的 一段 对话

aa954011705 ：

1、任何一个无限循环小数是一个有理数，必然能表示为一个分数m/n，其中m和n是整数；

2、很显然0.9999999...是一个无限循环小数，所以0.9999999...=M/N，其中M和N是固定的整数；

3、由于0.9999999...<=1，所以0<M<=N；

4、另外，对于指定的小数位数i，0.9999999...>0.999999..99(i个9)=(10^i-1)/10^i=1-1/10^i；

5、所以：1>=M/N>1-1/10^i，i可以是任意的正整数；

6、对于M<N，总能找到一个r，使1-1/10^r>M/N；

7、所以：0.9999999...=M/N<1-1/10^r；

8、结合7和5，1-1/10^i<M/N<1-1/10^r，而当i>r时，有1-1/10^i>1-1/10^r；

9、所以M<N不成立，只能是M=N，即0.9999999...=1

 

aa954011705 ：            小K老师，这个牛不牛啊?

 

K歌之王 ：

aa 老师， 我看穿了你的伎俩 …… 你利用了 0.9999999...=M/N 的 等号 ， 还有 等比数列求和公式 (10^i-1)/10^i，

第一个， 那个 等号 不表示 等于，而是一种 记数方法， 第二， 等比数列求和公式 要舍弃 1 / 10^i 这个 无穷小 才等于 1， 不然 等于 0.9999……

第三， “对于M<N，总能找到一个r，使1-1/10^r>M/N”， 问题是 M/N = 0.9999……， 0.9999…… 也总能找到 一个 位数 比 r 大， 看谁 跑的快， 说谁快 都对 。

 

aa 老师 你是不是 把 0.9999…… 是否等于 1 的 逻辑症结 和 争论点 都 集合到这个 证明 里 了 ？

 

 

aa954011705: 谢谢小K老师解答。

aa954011705: 网上抄来的，看着郁闷.....所以寻求帮助。

aa954011705: 小K老师解答俺好像懂了一点点，还须慢慢消化。