大神们 看看 这个 微分方程 怎么解

微分方程 ：     dv切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切

 

这是 二体问题 的 一个 微分方程，    也可以说是  一体问题 的 一个 微分方程  。  二体问题 可以通过 约化质量 简化为 一体问题 ， 一体问题 又称 理想公转问题， 指 一个 质点 在 万有引力 作用下 围绕 另一个 “固定” 质点 的 运动   。

“固定” 的 质点 表示 该 质点 为 惯性系，  不受 运动质点 的 引力 影响  。

 

这个 微分方程 表示 运动质点 的 线速度 的 变化规律  。   以 固定质点 为 原点 建立 极坐标系，   线速度 就是 运动质点 的 切向速度， 即 与 极径 ρ  垂直 的 方向 的 速度  。

 

方程中  v切 表示 运动质点 的 切向速度，   v径 表示 径向速度，  即 极径 ρ  方向 上的 速度 。     dv切 是 v切 微分，   dθ 是 极角 θ 微分  。

 

方程原理 ：    在 时间 t 时，   运动质点 的 位置 是   ( ρ ,   θ )   ，    当 经过 dt 时，  运动质点 的  θ 发生了  dθ  的 改变，  由此导致 原来 的 v切 不再和 ρ 正交，  v径 也 偏离了 ρ 方向，   这样，   就导致 切向速度 发生了变化，   

新的 v切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ       ，

dv切 = 新的 v切 - v切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切        ，

 

即              dv切 = v切 cos dθ - v径 sin dθ - v切        (1) 式

 

因为  运动质点 和 固定质点 间 的 引力 始终在 ρ 方向 ，   所以 引力 不直接影响 v切，  所以，  v切 变化规律 可以由   (1) 式  描述，   (1) 式 就是 线速度 的 微分方程  。

 

在  (1) 式 方程 中，    v切 v径  都是 变量，  但是  v径 在 方程中 没有 微分意义，  可以看作 常量， 即 解 这个 微分方程 时， 可以把 v径 看作 常量 。

这样说的话，   这个方程 可以算是一个  偏微分 方程  ……  ，   但是 简单点，  还是当作一个 常微分方程 就可以了，  把 v径 看作 常量 就行  。 

 

还有一个原因 是 我不喜欢 偏导数 。   ……

 

可以把     v切  写作   ρ * dθ / dt    ，    这样可以 引入 时间微分 dt ，   看会不会有助于 解方程  。

这样的话  ，   dv切 就是  ρ *  d ( dθ / dt )  ，     切线方向加速度 a切  =  dv切 / dt  =  ρ * d²θ / dt²       。

 

教科书 上 的 二体问题 解法 是 以 角动量守恒 为 前提，  推出 开普勒第一定律，   即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆，  再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程  。

 

本文 的 意图 是 不考虑 角动量守恒，  从 运动规律 入手，  先 解出 线速度 变化规律，   再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程  。

线速度 变化规律  应该是 二体问题 的 一个 突破口，      当然，  先得把 方程 解出来    。

 

 

其实 上面说的  v径 没有 微分意义，  可以看作 常量 来 解方程  是 不对 的 ，  哈哈哈哈  。   v径 是 时间 t  的 函数，  是 变量， 是 和 时间微分 dt  有关 的 量，  不能看作 常量 来 解方程 。   进一步，   经过 dθ 时，    v径 和 v切 之间 相互影响， 一起变化 。

 

本文 又名   《一体 线速度 方程》 ，  或者  《二体 线速度 方程》  。