我邀请 民科吧 网友 来 反相吧 数学探讨 和 数学辩论

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本文 发到了 反相吧  《我邀请 民科吧 网友 来 反相吧 数学探讨 和 数学辩论》   https://tieba.baidu.com/p/6407504187   ，

 

记录一下 帖 里 的 一些 内容  。

 

14 楼

K 歌之王  ：

 

证明 傅里叶级数 不一定 从 周期函数 入手，    可以从 相干性 入手  。

 

证明了 相干性，  就 证明了 傅里叶级数  。

 

相干性  指  两个 或 多个 正弦函数 相加 可以 产生  额外 或 任意 的 极值点 和 拐点  。   这一性质 可以带来 形状多样化 ，  函数曲线 的 形状多样化  。

 

傅里叶级数  的 正弦函数 们 是  倍频 的 关系，   即 频率 是 基频 的 整数倍，   实际上，   任意 的 两个 或 多个 不同 频率 的 正弦函数  都 有 相干性  。   

 

试了一下，   两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 还是 一个 同频率 的 波形 像 正弦函数 的 函数，   不会产生额外 的 极值点 ，   嘿嘿嘿  。

 

两个 相同频率 但有 相位差 的 正弦函数 相加 可以 写成

 

y  =  sin ( ω t )  +  sin ( ω t + ψ )       ,       t 为 变量，   ω 、ψ  为 常量

 

因为 频率相同，  也就是  ω  相同，   可以把   ω t   写成  α  ，

 

y  =  sin α  +  sin ( α + ψ )

根据 三角和角公式 ，

=    sin α  +   sin α  cos ψ  +  cos α  sin ψ

=    ( 1 +  cos ψ ) sin α  +  cos α  sin ψ      ,      α 为 变量 ，  ψ 为 常量

 

可以写成 

 

y  =   A sin α   +   B cos α       ,       A 、B 为 常量

 

这一看，  有点傻眼，     A sin α   +   B cos α  是 什么 鬼 ？   既不是 正弦函数，  又不是 余弦函数，  用  《一个 周期信号 分解为 若干个 正弦信号》 https://tieba.baidu.com/p/6698544745   文章结尾 的 演示程序 演示了一下，    sin α  +  sin ( α + ψ )   的 波形 类似 正弦函数，  没有 产生 额外 的 极值点，   频率（周期） 和   sin α   一样  。

 

那 问题来了，   要怎么证明      A sin α   +   B cos α     的  波形 类似 正弦函数，  没有 产生 额外 的 极值点，   频率（周期） 和   sin α   一样  ？

 

有点 困难  。

 

简单一点，   粗略的，     我们 来 寻找     A sin α   +   B cos α    上 相距最近 的 2 个 极值点  。

 

对  A sin α   +   B cos α  求导

( A sin α   +   B cos α )  ′

=   A cos α   -   B sin α

 

让   导数  =  0

A cos α   -   B sin α  =  0

A cos α  =  B sin α

sin α  / cos α  =  A / B

tan α  =  A / B

 

A / B   是 常量，    tan α  的 周期 是  π  ，   也就是，   α  每隔  π ， tan α 等于一次 A / B  ，   也就是  α  每隔  π  ，   ( A sin α   +   B cos α )  ′  =  0  ，   也就是    α  每隔  π ，   A sin α   +   B cos α   出现一次 极值点，    也就是，    A sin α   +   B cos α   相距最近 的 2 个 极值点 之间 相距  π  。

 

波峰之后 要 经过 波谷 才会 再 出现 波峰，   波峰 和 波谷 之间 相距  π ，    波峰 和 波峰 之间 相距  2 π  ，   所以  A sin α   +   B cos α  周期 和  sin α  一样，  都是  2 π  ，   也没有 额外 的 极值点，   大致 可认为 波形 和  sin α  相似  。

 

这是 周期一样 的  两个 正弦函数，   相加 不会 产生 额外 的 极值点 （和 拐点） ，   但是，   如果 周期 不一样，   两个 正弦函数 相加 是 会 产生 额外 的 极值点 的，  这个 我也用 演示程序 演示过了  。

 

由此，   将 一个 信号 分解 为 正弦分量，  不一定 要 按照 傅里叶级数 的 倍频关系，   而是 可以 根据 需要 选择 适当 的  频率，   也就是说，  可以 用 任意 的 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数 相加 来 表示 一个 信号，  这些 正弦函数 都是 信号 的 正弦分量  。    换句话说，  一个 信号 可以 分解 为 任意 频率 相位 振幅 的 任意 个 正弦函数  。  简单的说，    一个 信号 可以 分解为 任意 的 一些 正弦函数  。

 

这样 就 比 傅里叶级数 灵活，   正弦分量 本身 就 可以 接近  信号 的 特征分量，   也可以说 这种做法 融合了  傅里叶级数 和 特征分量 两种 方法  。

 

 

顺带引出一个 问题 ：

 

众所周知，    三角函数 可以 展开 为 泰勒级数，    泰勒级数 是 高次多项式，    多个 正弦函数 相加 可以 表示为 多个 泰勒级数 相加，

 

正弦函数 相加 产生 额外 的 极值点 和 拐点，   多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，

 

那么，  把 多个 正弦函数 表示 为 多个 泰勒级数，   一个 正弦函数  对应 一个 泰勒级数，     这些 正弦函数 相加 会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，

 

那么，  按理，   这些  泰勒级数 相加  也会  产生 额外 的 极值点 和 拐点，    但 另一方面，  泰勒级数 是 多项式，  多项式 相加 不会 产生 额外 的 极值点 和 拐点，

 

这就 矛盾了，    这是 为什么  ？