极坐标系 下的 牛顿第二定律

在 一个 极坐标系 里，  可以这样 来 描述 牛顿第二定律， 如图，  图中 是一个 极坐标系，  质点 从 A 点 运动到 C 点，   极角 的 变化量 就是 ⊿θ  ，   极径 的 变化量  ⊿ρ = BC 。    其中  OA = OB，  AH 垂直于 OB，  AB 间 的 弧 记为  弧AB，   AB 间 的 线段 仍然 称为 AB    。

 

 

可以这样 来 表达 牛顿第二定律 ：

d²ρ / dt²  =  Fρ / m                  (1) 式

ρ  d²θ / dt²  =  Fθ / m              (2) 式

 

m  是 质点 的 质量  ，   Fρ  是 极径方向 的 力，  Fθ 是 切线方向 的 力  。

 

我们说一下   (2) 式   的 推导过程 ：

(1) 式   是  质点 在 极径 ρ  方向 的 加速度，  简称 径向加速度，       (2) 式 是  切线方向 的 加速度，  简称 切向加速度，

切线方向 就是 与  极径 ρ  正交 的 方向   。

切向运动 总 和 径向运动 正交，    切向位移 总是 和 径向位移 正交，    质点 从 A 运动 到 B，  ρ 不变，   θ 变， 那么 切线方向 的 路程  s切 = 弧AB，  因为 弧AB 上每个 点 都 和  极径 ρ  正交  。

如果 质点 从 A 运动 到 C，  ρ 变，   θ 变，  则 弧 AB 只有在 A 点 才和 ρ 正交，  弧 AB  不是 切线方向 的 路程  s切    。

此时，  切线方向 的 路程  s切  需要  通过 积分 求得 ：

 

s切  =   ∫  ρ ( t )  dθ                (3) 式

 

ρ = ρ ( t )   的 时刻 t 的 ρ  ，    dθ  是  时刻 t 的 dθ       。

 

对 (3) 式 两边 微分，

ds切  =  ρ ( t )  dθ

两边除以   dt ，

ds切 / dt  =  ρ ( t )  dθ / dt

ds切 / dt   就是 切向速度 v切，  即

v切  =  ρ ( t )  dθ / dt

两边 对 dt 求导，

dv切 / dt = d ( ρ ( t )  dθ / dt ) / dt

dv切 / dt   就是 切向加速度 a切，  即

a切  =  d ( ρ ( t )  dθ / dt ) / dt

因为 现在是 在 计算 切向变量，  所以  径向变量 可以看作 常量 （这是 神马 逻辑 ？） ， 所以  ρ ( t )  可以 提到 微分符号 外面 来，  于是，

a切  =  ρ ( t )  *  d ( dθ / dt ) / dt

a切  =  ρ ( t )  *  d²θ / dt²

因为 ρ = ρ ( t )  ，  ρ ( t )  可以 写成  ρ ，  于是，

a切  =  ρ  *  d²θ / dt²

即

a切  =  ρ  d²θ / dt²

根据 牛顿第二定律    a切  =  Fθ / m    ，  于是，

Fθ / m  =  ρ  d²θ / dt²

ρ  d²θ / dt²  =  Fθ / m            此即  (2) 式

 

以上 推导 称为 推导 1   。     

 

其实 还可以用 微元法 或者说 微分 的 方法 来 推导，   称为 推导 2 ：

 

设 质点 从 A 运动 到 C，  在 时刻 t 时 位于 A  。  虽然 质点 从 A 运动 到 C，  ρ 在 变化，   但是 当 ⊿θ -> 0 时，   ⊿ρ -> 0，    弧AB -> 0 ，    此时 的 弧AB 可以 认为 和  OA  正交，  OA 即 时刻 t 时 的   ρ  ，

所以 可以 用    弧AB -> 0   来 表示 时刻 t 时 的 切向路程 s切，  于是，  t 时 的 切向速度 v切 = s切 / ⊿t = 弧AB / ⊿t  ,    弧AB -> 0  ,   ⊿t -> 0     。

又因为       弧AB -> 0 = OA * ⊿θ = ρ * ⊿θ   ,      ⊿θ -> 0    ，于是，

v切 = ρ * ⊿θ / ⊿t      ,      ⊿θ -> 0  ,    ⊿t -> 0

写成 微分 的 形式 就是 

v切 = ρ * dθ / dt          

 

注意，  推导 1  中 的 “现在是 在 计算 切向变量，  所以  径向变量 可以看作 常量”   这个 原则 在 这里 仍然 适用，   因为 对于 dt，  ρ 是 有 dρ 的，   如果 在 计算 切向 速度 加速度 的 时候 再把  dρ  计算进来， 那就  ……  没完没了 了 。

 

从这里， 可以看出，   数学家 很多时候 也是 依靠 直观 直觉 的 ，   只不过 这些 不会 写在 论文 传记 教科书 里  。  

 

不然的话，   请给出 为什么 此处 计算 v切 a切 不算入 dρ ，或者说 把 ρ 当作 常量 的 证明 。

我估计 对 这个 问题 较真 会 引发 第五次数学危机   ……  ~

 

书归正传，   对 v切 求导 就是 加速度 a切，   即

a切 = ( v切 ) ′ = d ( ρ * dθ / dt ) / dt  =  ρ *  d ( dθ / dt ) / dt  =  ρ  d²θ / dt²    ，    当然， 这里把 ρ 从 微分符号 里 提出来， 又用了一次   “现在是 在 计算 切向变量，  所以  径向变量 可以看作 常量”   原则   。

于是，

a切 =  ρ  d²θ / dt²                此亦  (2) 式

 

大家可能会说   推导 1  其实 也是 以 推导 2 为 前提 的 ，  这样的话，  推导 1 是 无意义 的 循环论证   ……    随便，  你们 爱怎么想 就 怎么想 吧 ，哈哈 。

 

为什么 要 研究 极坐标系 下的 牛顿第二定律 ？    一个 直接的 需求 是 天体力学 里的 一体 二体 问题 。

 

一体 问题 就是 一个 行星 围绕 一个 恒星 公转，  恒星 不受 行星 的 引力 影响  。  恒星 不受 行星 的 引力 影响 是 一种 理想状况， 所以 一体问题 又称为 理想公转问题   。

二体 问题 和 一体 问题 的 区别 是 两个 天体 均受到 对方 引力 的 影响    。

见 《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11867972.html     。

在 《人造卫星轨道 和 天体轨道 原理》  中 提出了  一体 问题 在 直角坐标系 下 的  微分方程组， 由 x 坐标 和 y 坐标 的 2 个 方程 组成，

因为 两个 方程 之间 互相关联，  所以 方程组 难于求解   。

但是 用 极坐标系 的 话，    以 恒星 为 原点，    行星 受到 的 引力 F 永远 在 极径 方向，  这样 行星 的 运动规律 表达为 牛顿第二定律 只需要 一个 方程 ：

 

d²ρ / dt²  =  -  F / m         ，         m 为 行星质量

 

根据 万有引力公式，   F = G M m / ρ²    ，    M 为 恒星质量  ，  代入 方程，

 

d²ρ / dt²  =  -  G M / ρ²                 (4) 式

 

这就是 极坐标系 下 的 一体问题 的 微分方程，   在 极坐标系 是 牛顿第二定律 用 一个 方程 就可以 表达 出来，   一个 方程 比 方程组 易于 求解   。

 

因为 行星 可能有 初速度，  初速度 可能 包含 径向 和 切向 分量，  切向速度 会 让 θ 发生变化，  当   θ  改变 时，   行星速度 的 径向分量 和 切向分量  会 随之改变，  

在 没有 力 作用 的 情况下，   当   θ  改变 时，   行星速度 的 径向分量 和 切向分量  会 随之改变，  

也就是说，  径向速度 的 加速度 除了 由 径向 的 引力 F 引起 外，  还 包含 由 θ 变化 引起 的 成分，   θ 变化 的 原因 是 行星 的 速度 包含 切向分量 ，  行星 的 速度 包含 切向分量 的 原因 是 行星 的 初速度 包含 切向分量 ，  因为 如果 初速度 没有 切向分量，   则  行星 只会 在 径向 上 运动，  不会 产生 切向速度   。

 

所以，  还需要在 (4) 式 中 加入 θ 变化 引起 的 径向加速度    。

 

设  行星速度 为 v，  径向分量 为 v径，   切向分量 为 v切， θ 变化 引起 的 径向加速度 为  a_ρθ   ，

 

设  θ 变化 引起 的 径向速度 变化 为 ⊿ v_θ引起  ，   微分 为  dv径_θ引起 ，     则 ：

 

dv径_θ引起  =  v切 因 θ 变化 产生的 径向增量 + v径 因 θ 变化 产生的 径向增量

 

v切 因 θ 变化 产生的 径向增量  =  v切 sin dθ

v径 因 θ 变化 产生的 径向增量  =  v径 cos dθ - v径

 

dv径_θ引起 = v切 sin dθ  +  v径 cos dθ - v径 

 

因为

v切 = ρ dθ / dt

v径 = dρ / dt

 

所以，

dv径_θ引起 = ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt

两边 除以 dt，

dv径_θ引起 / dt = ( ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt，

dv径_θ引起 / dt  就是   θ 变化 引起 的 径向加速度  a_ρθ   ，

即   a_ρθ = ( ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt     。

 

行星 在 径向 总的 加速度 aρ 等于  引力 引起 的 径向加速度 a_引 加上  θ 变化 引起 的 径向加速度  a_ρθ   。   即 ：

 

aρ = d²ρ / dt² 

a_引 = - G M / ρ²

a_ρθ =  ( ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt ) / dt 

 

aρ = a_引 + a_ρθ

 

d²ρ / dt²  =  -  G M / ρ²  +  ( ρ dθ / dt sin dθ  +  dρ / dt cos dθ - dρ / dt  ) / dt       (5) 式

 

(5) 式 就是 在 (4) 式 中 加上了 a_ρθ  ，      (5) 式 就是  一体问题 在 极坐标系 下 的 微分方程 。

 

这个 微分方程  怎么解 ？    不知道   。  好处 是 把  ρ , θ   放到了 一个 方程 里，  避免了 方程组   。

这个 方程 的 解 是 ρ , θ 和 t 的 函数关系， 记为  f ( ρ , θ ) = t     ，    以 t 为 自变量 的 函数图像 应该是一个 椭圆  。

即   一体问题 行星 公转 的 轨道 是一个 椭圆，   椭圆形状 和 位置 由 恒星质量 、行星质量 、行星 初始位置 初始速度 决定   。

 

解微分方程 的 过程中 会 进行 积分，   积分 会 产生 积分常数，    行星 初始位置 初始速度 就 体现 在 积分常数，   积分常数 的 具体数值 由 行星 初始位置 初始速度 决定    。

 

二体问题 可以通过 约化质量 转化为 一体问题，  所以 也可以用 极坐标系 求解，  但 这样得到的 解 仍然 是 不完备 的，  因为 这样的解 只描述了 一个 质点 相对于 另一个 质点 的 运动状况，   没有 描述  两个质点 在 第三方参照系 中 的 运动状况 。

 

 

 

 

2021-08-08  补充 ：

在  (2) 式 的 推导 中 ，   将   ρ ( t )  提到 微分符号 外面 来 ，

 

a切  =  d ( ρ ( t )  dθ / dt ) / dt

a切  =  ρ ( t )  *  d ( dθ / dt ) / dt

 

小伙伴们，   ρ ( t )  到底 能不能 这样提到 微分符号 外面 来，   你们想到 答案了 吗 ？

 

如果 不能，   那么，  要 把   ρ ( t )   提到 微分符号 外面， 就应该 使用 偏微分，  也就是 

 

a切  =   ∂  ( ρ ( t )  dθ / dt )  /  ∂ t       ,       ρ ( t )  相对于  ∂ t  是 常量

a切  =   ρ ( t )   *   ∂ ( dθ / dt )  /  ∂ t

 

这里 的 问题 也许 可以 引出 偏微分方程 的 新解法 和 泛微分方程 时代 ，    泛微分方程 包括了 偏微分方程 的 新解法  。

 

泛微分方程 是 一个 体系，    泛微分方程  应该 可以 用于 解 第三方参照系 里 的 二体问题 和 证明 角动量守恒定律  。

 

我在  《和 东方学帝 的 一些 对话》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13757067.html   里  提到过 第三方参照系 里 的 二体问题  。

 

在  《角动量守恒定律 是 谁 发现的 ？ 能否 推导证明 ？》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12194730.html   和  《出一道题 ： 用 牛顿第二定律 证明 角动量守恒》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13730623.html    里  提到  角动量守恒定律  的 证明问题  。

 

在此之前，    东方学帝  已经 发现了  偏微分方程 的 新解法 ，  应用于 量子力学 的 波动方程，   我们这里 引出 的 东西 和 东方学帝 的 发现 会不会 有 相似之处 ， 或是  两个方向 呢 ？

 

拭目以待  。

 

 

上文中，

“

不然的话，   请给出 为什么 此处 计算 v切 a切 不算入 dρ ，或者说 把 ρ 当作 常量 的 证明 。

我估计 对 这个 问题 较真 会 引发 第五次数学危机   ……  ~

”

 

这里 原来 写的是 “第四次数学危机”，   现将  “第四次数学危机” 改成 “第五次数学危机”  。

 

原来 我以为 历史上 发生过  三次 数学危机，   现在再发生一次就是 第四次，   后来发现 历史上 已经 发生过 四次 数学危机， 罗素 那次 好像 是 第四次，  再发生一次 应该 是 第五次，   所以，就 改成 第五次  。

 

现在来看，   古人 也挺 大惊小怪 的 ，   这些 危机 现在看来  一点 也 不 危，    稳得很，     完全不是事  。

 

 

本文 开头  说   “切线方向 就是 与  极径 ρ  正交 的 方向   。”  ，    为了 和 质点 的 运动轨迹 的 切线方向 区分，   这里 的  “切线方向” 应该 改为 “角方向”  ，  v切 改为 v角 或 vω ，  称为 角向线速度，    a切 改为 a角 或 aω ，    称为  角向线加速度   。 

 

我 在 《从 角动量守恒 推导出 椭圆轨道》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13261091.html   中 开始 使用 这套 命名  。

 

 

另外，  本文开头 说   “如果 质点 从 A 运动 到 C，  ρ 变，   θ 变，  则 弧 AB 只有在 A 点 才和 ρ 正交，  弧 AB  不是 切线方向 的 路程  s切    。”，

 

“则 弧 AB 只有在 A 点 才和 ρ 正交”    这句话 似乎 有问题，  是 错误 的，    不过也不修改了，   可以回忆一下 当时 的 想法  。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

本文 已发到了 反相吧   《极坐标系 下的 牛顿第二定律》       https://tieba.baidu.com/p/6381430244      。

 

 

1 楼 推导的 微分方程  (5) 式，   用于 计算机 step by step 模拟可以，   但在 数学 和 数学公式 上，  是 有错误 的，  错在哪里   ？   错在哪里，  小朋友们，     你们 看得出来吗  ？

 

很长一段时间以前，   我想着想着，  就发现了 这个 错误，   现在把 帖子 顶上来，    也是 让     @血源萌新☜        看看 我的 数学水平   、物理水平   、科学水平   、科学思想    、奇思妙想   。