自己 搞 一个 球面几何 （草稿）

写这篇文章 的 原因 是 网友  虾米1237895   在 反相吧 发的一个 帖 《不懂相对论很正常，先把非欧几何想明白在说。》  http://tieba.baidu.com/p/6356134238   。

 

看着这个 帖， 我就想，   球面几何 很 神 吗 ？      自己 也可以 搞一个 吧  ？

 

所以 我们就来 搞 一个 球面几何     。         这里 的 球面 是 标准球体 的 球面，  不是 任意曲面  。

 

搞 一个 球面几何，  最基本 的 一个 课题   是   证明 和 推导 球面 上 的 短程线    。    短程线 就是 球面上 任意 2 点 之间 距离 最短 的 线  。

 

在 平面 上，  两点 之间 直线 最短，   在 曲面 上 ，    两点 之间 距离最短 的 线 就 视 曲面  “弯曲 的 状况”  而定， 把 曲面 看作是  高低起伏 的 地表， 那么 两点间 距离最短 的 线路 就 视 地形 而定   。

 

小时候 看  爱因斯坦 爷爷 广义相对论 相关 的 科普读物，  会看到 说  “曲面 上 两点间 距离最短 的 线 不是 直线，  而是一条 曲线 。”   ，  其实 这个 说法 不太恰当，  因为 曲面 上 2 点 间 任意 一条线 都是 曲线，    没有 直线 。    因为 科普读物 是 以 地球 举例 的，  所以 我想 科普读物 想说的是 在 一个 球面 上，  2 点 间 距离最短 的 不是 从 地垂线 看下去 的 那条 线  。

 

从 地垂线 看下去 的 那条 线  就是 2 点 和 球心  三点 组成 的 平面 与 球面 的 相交线 。  对于 地表 上的 人 来说， 就是  从 A 点 “正直” 的 望向 B 点，  得到 的  AB 线   。

对于 地表 的 人 来说，  AB 线 平行于 地平面 （水平面），  垂直于  地垂线，    如果 地表 是 平面，  那么 AB 线 就是 A B  2 点 间 最短 的 线  。

但 对于 球面，  AB 线 这条 “正直”  的 线 不是 A B 间 距离最短 的 线  。

 

我被 科普读物 里  “曲面 上 两点间 距离最短 的 线 不是 直线，  而是一条 曲线 。”     这个 说法 误导了 很多年，    因为 球面 上 没有 直线，  都是 曲线， 那何来  “距离最短 的 线 不是 直线”  的 说法 呢 ？     这里说的 “直线” 应该是 刚刚 说的  球面上   A B 间  “正直” 的 那条线，   但 这条线  也是 曲线，  是一个 圆弧，  不是 直线 。

 

书归正传，    我们来  证明 和 推导 球面 上 的 短程线   。

 

设 一个 球体 O 球心 为 点 O，    半径 为  R，   球面 上  有 A 、B   2 点，   OA OB  之间 的 夹角 为  α ，    求 A 、B 间  短程线   。

 

首先，  要 证明 一点，  球面 上 两点间 的 短程线 必然 在 一个 平面 上，  即 必然 是 一个 平面 与 球面 相交 得到 的 圆弧  。

平面 与 球面 相交 得到 一个 圆 ，      短程线 是  这个 圆 上 A B  2 点 间 的 圆弧 。

当然，   可以有 无数 个 平面  过 A B   2 点 和 球面 相交，   短程线 就是 无数个 平面 与 球面 相交 得到 的 无数个  AB 圆弧 中 最短 的   那一个   。

这一点   称为          球面 短程线 定性 定理      。

 

要 证明    球面 短程线 定性 定理  ，   需要 先 证明  球面 同质线 定理  。   

 

球面 同质线 定理  是 ：              球面 上 两点间 的 同质线 的 长度 小于  连接 2 点 的 两条 或者 两条 以上 的 同质线 长度 的 和    。

 

什么是  球面 上 的 同质线  呢  ？              就是  A B  2 点 和 圆心 O  三点 组成 一个 平面 ，  称为 ABO 平面，   以 ABO 平面 为 基准，  可以来 描述 任意一个  过 A B   2 点 和 球面 相交 的 平面，      把  过 A B   2 点  和  球面 相交 的 任意平面 称为 相交面 ，    用  相交面 和  ABO 平面 之间 的 夹角 θ   就可以 描述 相交面，  一个  θ 值  对应 一个 相交面，     对于 球面 上 任意 2 点，  有 无数个 相交面，    当然，  也有 无数个  θ 值 ，    θ  ∈  [ 0,   π / 2 ]    。    

θ  是  [ 0,   π / 2 ]   区间 上 的 实数，     所以，   有 无数个   θ 值，  对应 过 A B 的 无数个 相交面   。

ABO 平面 称为 A B 2 点 的 基准面，      OA OB  之间 的 夹角 为  α   称为  A B  的 基准角  ，   基准角 决定了 A B 的 位置关系   。

过 A B   的 相交面 称为  A B 的 相交面  ，     相交面 和 基准面 之间 的 夹角 称为  相交面夹角，  记为 θ  。      A B 和 θ  决定一个 相交面  。

 

对于 球面 上 任意 的 4 个 点  A B C D ，    过 A B 有一 相交面 ，  相交面夹角 为  θ1 ，     与 球面 相交 得到 AB 间 弧线 为 弧 AB  ，

过 C D  有一 相交面 ，  相交面夹角 为  θ2 ，     与 球面 相交 得到 CD 间 弧线 为 弧 CD    ，

若   θ1 = θ2  ，      则  弧 AB 和 弧 CD  称为 同质线    。

 

显然， 因为 球面 的 各向对称性，     若  A B 的 基准角 α1  =  C D 的 基准角 α2 ，   则  A B 和 C D 的 同质线 长度 相等，  不仅仅 长度 相等，  两者 完全 相等，  是 一样 的 圆弧   。

 

于是，   球面 同质线 定理  的 内容 也可以这样 描述 ：       对于 球面 上 的 2 点  A B，    取 任意一个 相交面 可以得到 一条 弧线 弧 AB ， 

设 n 为 自然数，  n > 1   ，         

用 n 条 弧 AB 的 同质线  把  A B  2 点 连接 起来，   这段 连接线  称为  折线 AB ，

则，    弧 AB 的 长度 必然 小于  折线 AB   的  长度   。

 

比如，   在 A B 附近 取 一个 点 C，   可以用 弧 AC 、  弧 BC  把  AB 连起来，   弧 AC 、  弧 BC  构成 折线 ACB，

若  弧 AB 、弧 AC 、  弧 BC   是  同质线 ，    则  弧 AB 的 长度 必然 小于 折线 ACB    。

 

这是 可以 证明 的 ，   证明 的 根据 是  球面 的 各向对称性 ，   球面 的 各向对称性  又称为  各处同性性 ，  各处同性性 是指 球面 上 任意一点 的 性质 都是一样 的，    性质一样 是指，   取 球面 上 任意一点 A，    在 球面 上 过 A 点 有 无数条 曲线，  任意一条 曲线 在 该点 的 曲率 为 K，    在 球面 上 取 另外一点 B，  在 球面 上 过 B 点 有 无数条 曲线，    球面上  过 A 点 的 无数条 曲线 和 过 B 点 无数条 曲线 一 一 对应，   相对应 的 2 条 曲线 在 A 点 （B 点） 的 曲率 相等    。

 

具体 的 我不想 证明了，   这和  平面 上 两点之间 直线最短 ，   或者   三角形 两边之和 大于 第三边 是 类似 的 。

 

这就是   球面 同质线 定理    。

 

我们 可以这样 来 定义 球面上 2 点 间 的 折线 ：    设 n 为 自然数，  n > 1 ，    对于 球面 上  的 任意两点 A B ，  用 n 段 圆弧 把  A B  连接起来，  则 把 这些 圆弧 组成 的 折线 成为 AB 间 的 折线，     折线 的 圆弧数 为  n  。

 

接下来 证明 ：     设 折线  L  是  A B 间 的 一条 折线，    则 折线 L  的 长度 必然 大于 至少 一条 AB 间 的 圆弧  。       AB 间 的 圆弧 当然 是 由 一个 平面 过 AB 与 球面 相交得到  。

 

要 证明 这一点，  要 引入一个 相交弧长率 的 概念，   对于 球面 上 A B  2 点，  不同 的 相交面 过 A B 与 球面 相交 得到 的 弧 AB 的 长度 是 不一样的，  对于 位置 确定 的 A B   2 点，     弧 AB 的 长度 和 相交面 的  θ  有关，        

可以知道，  存在 一个   θ ，  使得  该  θ  对应 的 相交面 和 球面 相交 得到 的 弧 AB  的 长度 最小   。

 

好吧，  到这里，  我似乎 发现 我 打算 把 球面 短程线 简化 成  一个 平面 与 球面 相交  的 一段 圆弧 的 计划 要 破产 了 ，   因为 存在 这样一个 矛盾 ：

 

假设 A 、B  两点 间 的 短程线 在 一个 平面 上，  是 这个 平面 与 球面 相交 得到 的  弧 AB， 那么 任意取 弧 AB 上 的 一点 C，  则  A C  之间 也存在 一个 短程线，  因为   A C 的 位置 和 A B 的 位置 不同，  所以， A C 间 的 短程线  弧 AC  不会 和 弧 AB 重合在 一个 圆 上，  即  弧 AC 和 弧 AB 在 不同 的 平面 上，  依次类推，  弧 AC 也 也可以 取一个 点 D，    A D 间 短程线 弧 AD  、CD 间 短程线 弧 CD  、弧 AC  也不会 重合在 一个 圆 上，  可以如此 无限分割 下去   。

对于 B C   也可以 如此 无限分割 下去   。

所以，   整个 弧 AB  也可以 无限分割 下去，    于是， A B 间 短程线  不在 一个 平面 上，  不是 一个 平面 与 球面 相交 的 圆弧，  而是 在 球面 上 “弯扭” 的 一条 线  。

 

 

如果  把 短程线 简化 为 一个 平面 上 的 圆弧，  那么可以 得到 A B 两点间 任意  θ    的 相交面 与 球面 相交 得到的 弧 AB，   

设 弧 AB 长 为  L ，   可以 记为    L = f ( θ  )       ，         这样 求 短程线 就是一个 求 函数极值 问题，

可以 求 出 当  θ 等于 多少时，   L 最小，    这就是 短程线 长度，  把  θ  带入  L = f ( θ  )   ，    就是 短程线 方程     。

 

不过 现在 既然 不能 把 短程线 简化 为 一个 平面 上 的 圆弧  ，        那 求 “最小”    这个 就得 想点办法，  教科书 上  是用 变分法 ，

嗯 ……   我们 可以自己 想个 办法，          不过 懒得想了，  先这样吧     。

 

总之 这个 课题 是 可以用  微积分 + 解析几何   来  研究 的，      这个 课题 是 数学分析，   数学分析   就是 用  微积分 + 解析几何   来  研究 的  。